14.Властивості розв’язків задачі лінійного програмування. Геометрична інтерпретація задач лінійного програмування.

Властивості розв'язків задачі лінійного програмування формулюються у вигляді чотирьох теорем.

Властивість 1. (Теорема 2.2) Множина всіх планів задачі лінійного програмування опукла.

Властивість 2. (Теорема 2.3) Якщо задача лінійного програ­мування має оптимальний план, то екстремального значення ці­льова функція набуває в одній із вершин її багатогранника розв'яз­ків. Якщо ж цільова функція набуває екстремального значення більш як в одній вершині цього багатогранника, то вона досягає його і в будь-якій точці, що є лінійною комбінацією таких вершин.

Властивість 3. (Теорема 2.4) Якщо відомо, що система векторів А₁,А₂, ..., Ак (к<=n) у розкладі А₁x₁ +А₂x₂ + ... + А_пХ_n = Ао, Х>= 0 лінійно незалежна і така, що

А₁Х₁ + А₂х₂ + ...+ А_кх_к = Ао,

де всі x_j >= 0, то точка X= (х₁, х₂, ..., x_k,, 0, ..., 0) є кутовою точкою багатогранника розв'язків.

Властивість 4. (Теорема 2.5) Якщо Х= (х₁ х₂,.., х_n) — куто­ва точка багатогранника розв'язків, то вектори в розкладі А₁Х₁ + + А₂Х₂ + ... + А_nх_n = Ао, X >= 0, що відповідають додатним Xj, є лі­нійно незалежними.

Геометрична інтерпретація задачі

Р озглянемо на площині x₁Ох₂ сумісну систему лінійних нерів­ностей:

а₁₁х₁ + а₁₂х ₂ <= b₁;

а₂₁ х₁ + а₂₂х₂ <= b₂; область допустимих

…………………. значень

a_m1 х₁ + а_m2х₂ <= b_m

0

х₁ >= 0, х₂ >= 0.

Кожна нерівність цієї системи геометрично визначає півплощину з граничною прямою а₁x₁ + а₂х₂ =bi, (і= 1, 2, ...,т). Умови невід'ємності змінних визначають півплощини з граничними прямими х₁ = 0 та x₂ = 0. Система сумісна ( має розвязок), тому півплощини як опуклі множини, перетинаючись, утворюють спільну частину, що є опуклою множиною і являє собою сукупність точок, координа­ти кожної з яких є розв'язком даної системи.

Сукупність цих точок (розв'язків) називають багатокутником розв 'язків, або областю допустимих планів (розв 'язків) за­дачі лінйного програмування. Це може бути точка (єдиний розв'язок), відрізок, промінь, бага­токутник, необмежена багатокутна область.

Цільову функцію Z=c₁x₁+c₂x₂+…+c_nx_n в п-вимірному просторі можна геометрично інтерпретувати як сім'ю паралельних гіперплощин, положення кож­ної з яких визначається значенням параметра Z.

Отже, геометрично задача лінійного програмування являє со­бою відшукання координат такої точки багатогранника розв'яз­ків, при підстановці яких у цільову лінійну функцію остання на­бирає максимального (мінімального) значення, причому допус­тимими розв'язками є усі точки багатогранника розв'язків.

15.Означення планів задачі лінійного програмування (допустимий, опорний, оптимальний).

max (min)Z= c₁x₁+c₂x₂+…+c_nx_n (1)

за умов:

a₁₁x₁+a₁₂x₂+…+a_1nx_n{<=,>=,=}b₁;

a₂₁x₁+a₂₂x₂+…+a_2nx_n{<=,>=,=}b₂; (2)

…………………………………………

a_m1x₁+a_m2x₂+…+a_mnx_n{<=,>=,=}b_m.

x₁>=0, x₂>=0, …., x_n>=0 (3)

Вектор Х=(х₁, Х₂ ..., х_n), координати якого задовольняють систему обмежень (2) та умови невід'ємності змінних (3), нази­вається допустимим розв'язком (планом) задачі лінійного про­грамування.

Допустимий план Х= (х₁, Х₂ ..., х_n ) називається опорним пла­ном задачі лінійного програмування, якщо він задовольняє не менше, ніж т лінійно незалежних обмежень системи (2) у вигляді рівностей, а також обмеження (3) щодо невід'ємності

змінних.

Опорний план Х= (х₁, x₂ ..., х_n), називається невиродженим, якщо він містить точно т додатних змінних, інакше він вироджений.

Опорний план X* =( х₁*, х₂* ..., х_n*), за якого цільова функція (1) досягає максимального (чи мінімального) значення, назива­ється оптимальним розв'язком (планом) задачі лінійного про­грамування.