26.Перша теорема двоїстості.

Перша теорема двоїстості. Якщо одна з пари двоїстих за­дач має оптимальний план, то інша задача також має розв'язок, причому значення цільових функцій для оптимальних планів дорівнюють одне одному, тобто mах F = min Z, і навпаки.

Якщо ж цільова функція однієї з пари двоїстих задач не обмежена, то друга ззадача взагалі не має розв'язків.

Доведення:

Допустимо, що початкова задача має оптимальний план, який отриманий симплекс-методом.

Не порушуючи загальності можна вважати, що останній базис складається з перших m векторів А1,A2,…,An

Позначимо через D матрицю, що утворена з компонентів векторів А1,A2,…,An останнього базису в першій симплекс-таблиці.

В= DХ*

Звідси ми можемо виразити Х*= D^-1В

Симплексна таблиця містить коефіцієнти розкладу векторів А1,A2,…,An початкової системи обмежень задачі за векторами базису:

Аj =DAj’

Аj’= D^-1 A

Значения оптимального плану данної задачі знаходиться у виді F= C*X

Допустимо, що Y*= C* D^-1 та доведемо, що це так.

Система обмежень двоїстої задачі у матричній формі YA>=C

YA- C>=0

Y*A- C>=0

C* D^-1 A- C>=0 →C8Aj- C>=0

Y*A>=0

Z( Y*)= Y*B= C* D^-1 B= C*X*= maxF

Отже, якщо х=( х₁*, х₂*…,x_n*) та y= (y₁*,y₂*…,y_n*) допустимі розвязки відповідно прямої та двоїстої задач, для яких виконується рівність F (х*)= Z (у*), то вони є оптимальні розвязки відповідних задач. Звідси У* є оптимальним планом. Теорему доведено.

Якщо пряма задача лінійного програмування має оптимальний план X*, визначений симплекс-методом, то оптимальний план двоїстої задачі У* визначається зі співвідношення

У*=С_баз D^-1

де С_баз — вектор-рядок, що складається з коефіцієнтів цільової функції прямої задачі при змінних, які є базисними в оптималь­ному плані; D^-1— матриця, обернена до матриці D, складеної з базисних векторів оптимального плану, компоненти яких узято з початкового опорного плану задачі. Обернена матриця D^-1 зав­жди міститься в останній симплекс-таблиці в тих стовпчиках, де в першій таблиці містилася одинична матриця.

За допомогою зазначеного співвідношення під час визначення оптимального плану однієї з пари двоїстих задач лінійного про­грамування знаходять розв'язок іншої задачі.

27.Друга теорема двоїстості.

Друга теорема двоїстості для симетричних за­дач. Для того, щоб плани X та Y відповідних спряжених задач були оптимальними, необхідно і достатньо, щоб вико­нувалися умови доповнюючої нежорсткості:

х_j*(Σ a_ij у_i*-c_j )=0, j=1,n

у_i*(Σ a_ij х_j*-b_i )=0, i=1,m

Доведення. Необхідність. Нехай X та Y— оптимальні плани відповідно прямої та двоїстої задач. З першої тео­реми двоїстості відомо, що

F(X*) =Z(Y*)= Σ c_j х_j*= Σ b_i у_i*

а також компоненти векторів X та Y задовольняють системи обмежень прямої ( x_j ≥0, j= 1,n) та двоїстої (y_i ≥0, i= 1,m) задач, тобто:

Σ a_ij х_j*≤b_i , i=1,m (1)

Σ a_ij у_i*≥c_j, j=1,n (2)

Помножимо (1) на у_i*, а (2) — на х_j* і підсумуємо праві та ліві частини. Отримаємо:

Σ Σ a_ij х_j* у_i*≤ Σ b_i у_i*

Σ Σ a_ij х_j*у_i*≥ Σ c_j х_j*

Праві частини останніх двох нерівностей не збігаються, але оскільки їх ліві частини однакові, то це означає, що разом вони виконуються лише за умови рівностей, тобто:

Σ Σ a_ij х_j* у_i*= Σ b_i у_i*

Σ Σ a_ij х_j*у_i*= Σ c_j х_j*

Виконаємо перетворення для кожного рівняння:

Σ у_i*( Σ a_ij х_j*-b_i)=0 (3)

Σ х_j*( Σ a_ij у_i*-c_j)=0 (4)

Оскільки Σ a_ij х_j*≤b_i, то в рівнянні (3) кожна з компонент

( Σ a_ij х_j*-b_i)≤0 , а у* >0,і = 1,т, тому виконання рівняння (3))

можливе лише у тому разі, коли кожний доданок виду у_i*( Σ a_ij х_j*-b_i)=0. Аналогічне міркування проведемо для (4), після чого можна висновувати, що х_j*( Σ a_ij у_i*-c_j)=0. Отже, не­обхідність умов додаткової нежорсткості доведено. Достатність. За умовою виконуються рівняння

у_i*( Σ a_ij х_j*-b_i)=0 i=1,m

х_j*( Σ a_ij у_i*-c_j)=0 j=1,n

Необхідно довести, що X* та Y* — оптимальні плани відповід­но прямої та двоїстої задач.

У кожному рівнянні розкриємо дужки та підсумуємо перше рівняння по і,(і = 1,т), а друге — по j (j = 1,п). Отримаємо:

Σ Σ a_ij х_j* у_i*= Σ b_i у_i*

Σ Σ a_ij х_j*у_i*= Σ c_j х_j*

Ліві частини цих рівнянь однакові, отже, Σ b_i у_i*= Σ c_j х_j*. Тоді за першою теоремою двоїстості, оскільки значення цільових функцій цих задач збігаються, можна висновувати, що X* та Y* — оптимальні плани спряжених симетричних задач. Теорему до­ведено.

Наслідок. Якщо в результаті підстановки оптимального плану однієї із задач (прямої чи двоїстої) в систему обмежень цієї зада­чі i-те обмеження виконується як строга нерівність, то відповідна j-та компонента оптимального плану спряженої задачі дорівнює нулю.