23.Особисті випадки при вирішенні задач лінійного програмування.

У разі застосування симплекс-методу для розв'язування задач лінійного програмування можливі такі випадки.

1. Якщо в оцінковому рядку останньої симплексної таблиці оцінка ∆_j =0 відповідає вільній (небазисній) змінній, то це озна­чає, що задача лінійного програмування має альтернативний оп­тимальний план. Отримати його можна, вибравши розв'язувальний елемент у зазначеному стовпчику таблиці та здійснивши один крок симплекс-методом.

2. Якщо при переході у симплекс-методі від одного опорного плану задачі до іншого в напрямному стовпчику немає додатних елементів а_ік, тобто неможливо вибрати змінну, яка має бути ви­ведена з базису, то це означає, що цільова функція задачі лінійного програмування є необмеженою й оптимальних планів не існує.

3. Якщо для опорного плану задачі лінійного програмування всі оцінки ∆_j ( j=1,n) задовольняють умову оптимальності, але при цьому хоча б одна штучна змінна є базисною і має додатне значення, то це означає, що система обмежень задачі несумісна й оптимальних планів такої задачі не існує.

24.Двоїста задача. Економічний зміст двоїстої задачі й двоїстих оцінок.

Економічну інтерпретацію двоїстої задачі розглянемо на прикладі задачі оптимального використання обмежених ресурсів.

Для виробництва п видів продукції використовується т видів ресурсів, запаси яких обмежені значеннями b_i (і= 1, т). Норма вит­рат кожного ресурсу на одиницю продукції становить а_ij (j = 1, п; і = 1, т). Ціна одиниці продукції j-го виду дорівнює с_j (j= 1, п). Математична модель задачі має такий вигляд:

maxZ =max Σc_j x_j

Σa_j x_j ≤ b_i (і = 1, т)

x_j ≥0 (j = 1, п)

Пряма задача полягає у визначенні такого оптимального плану виробництва продукції X * =(х₁*, х₂*, ..., х _п*), який дає найбіль­ший дохід.

Двоїста задача до поставленої прямої буде така:

F=Σb_i y_i→min

Σa_ij y_i ≥ с_j (j= 1, п)

y_і≥0 (і = 1, т)

Економічний зміст двоїстої задачі полягає ось у чому. Визначити таку оптимальну систему двоїстих оцінок ресурсів у_i , вико­ристовуваних для виробництва продукції, для якої загальна вартість усіх ресурсів буде найменшою. Оскільки змінні двоїстої задачі означають цінність одиниці і-го ресурсу, їх інколи ще на­дають тіньовою ціною відповідного ресурсу. За допомогою двоїстих оцінок можна визначити статус кожного ресурсу прямої задачі та рентабельність продукції, що виго­товляється.

25.Правила побудови двоїстої задачі. Симетричні й несиметричні двоїсті задачі.

Для побудови двоїстої задачі необхідно звести пряму задачу до стандартного виду. Вважають, що задача лінійного програму­вання подана у стандартному вигляді, якщо для відшукання max значення цільової функції всі нерівності її системи обмежень приведені до виду « ≤», а для задачі на відшукання min значення — до виду «≥ ».

Якщо пряма задача лінійного програмування подана в стандарт­ному вигляді, то двоїста задача утворюється за такими прави­лами:

1. Кожному обмеженню прямої задачі відповідає змінна двоїс­тої задачі. Кількість невідомих двоїстої задачі дорівнює кількості обмежень прямої задачі.

2. Кожній змінній прямої задачі відповідає обмеження двоїс­тої задачі, причому кількість обмежень двоїстої задачі дорівнює кількості невідомих прямої задачі.

3. Якщо цільова функція прямої задачі задається на пошук найбільшого значення (mах), то цільова функція двоїстої задачі — на визначення найменшого значення (min), і навпаки.

4. Коефіцієнтами при змінних у цільовій функції двоїстої задачі є вільні члени системи обмежень прямої задачі.

5. Правими частинами системи обмежень двоїстої задачі є коефіцієнти при змінних в цільовій функції прямої задачі.

6. Матриця

a₁₁ a₁₂ … a_1n

A = a₂₁ a₂₂ … a_2n

……………..

a_m1 a_m2 …a_mn

що складається з коефіцієнтів при змінних у системі обмежень прямої задачі, і матриця коефіцієнтів в системі обмежень двоїстої задачі

a₁₁ a₂₁ … a_m1

A^Т = a₁₂ a₂₂ … a_m2

……………..

a_1n a_2n …a_mn

утворюються одна з одної транспонуванням, тобто заміною ряд­ків стовпчиками, а стовпчиків — рядками.

Двоїсті пари задач лінійного програмування бувають симетричні та несиметричні.

У симетричних задачах обмеження прямої та двоїстої задач є нерівностями, а змінні обох задач можуть набувати лише невід'ємних значень.

У несиметричних задачах обмеження прямої задачі можуть бути записані як рівняння, а двоїстої — лише як нерівності.

Цьому разі відповідні змінні двоїстої задачі набувають будь-якого значення, не обмеженого знаком.

Пряма задача Двоїста задача

Симетричні задачі

max F = СХ min Z = ВУ

АХ ≤ В А^ТУ ≥ С

X ≥ 0 Y ≥0

min F = СХ mах Z = ВУ

АХ ≥ B А^ТУ ≤ С

X ≥ 0 У ≥ 0

Несиметричні задачі

mах F = СХ min Z = ВУ

АХ = В А^ТУ ≥ C

Х≥О Ує ]-∞;∞[

min F = СХ mах Z = ВУ

АХ = В А^ТУ ≤ С

Х ≥0 Ує ]-∞;∞[