60. Высказывания и операции над ними. Таблицы истинности.

Высказывание –это повествовательное предложение о котором можно сказать, что оно истинно или ложно (2*3=5 –ложное). Высказывания могут являться истинными или ложными.

Логические операции над высказываниями:

1. Отрицание – высказывание А, высказывание не А которое истинно тогда

и только тогда, когда А – ложное.

2. Коньюнкция ( )– высказывание А и В, которое истинно тогда и только

тогда, когда А – истинно и В – истинно.

3. Дезьюнкция (АvВ (А или В)) – высказывание А и В которое ложно , если А

и В – ложны.

4. Импликация (А => B) – высказывание А и В, которое будет ложно т. и т. т.,

к. А –истино и В – ложно.

5. Эквиваленция (АB)– высказывание А и В, которое истино т. и т. т., к. А=В.

Теперь построим таблицу истинности для данных высказываний:

А	В			АvВ	А => B	АB
0	0	1	0	0	1	1
0	1	1	0	1	1	0
1	0	0	0	1	0	0
1	1	0	1	1	1	1

Формула логики высказываний называется тавтологией, если она истина при

любых значениях, входящих в нее элементарных высказываний. Например:

А		Аv
0	1	1
1	0	1

Формула логики высказываний называется тождественно ложной ( ), если она ложна при любых значениях, входящих в нее элементарных высказываний. Формула В (А₁,…,А_n В) называется логически выводимой из А₁,…,А_n , если при любом выборе элементарных высказываний, входящих в состав формулы А₁,…,А_n формула В будет истина всякий раз, когда будет истина вся формула А₁,…,А_n. Формулы А и В называются равносильными или логически эквивалентными, если они принимают одинаковые значения при любом выборе элементарных высказываний (т.е. если их таблицы истинности совпадают).

Законы Де – Моргана: 1) ; 2) .

Теорема: - тавтология.

Можно привести такие наиболее встречающиеся формулы логических высказываний:

1. 5) 9) (А*В)*С=А*(В*С

2. 6) 10) (АvВ) С=АСvВС

3. 7) 11)

4. 8) А*В=В*А 12) АvАВ=А

13) А=>В=

14) АВ=(А=>B)(B=>A) 17) AB=

15) AB= ) 18) A

16) AB=AB 19)

61. Сравнения по простому и составному модулю. Решение сравнений.

Два целых числа а и в сравнимы по модулю натурального числа m є N, если при делении на m они дают одинаковый остаток. .

Теорема (критерий сравнимости): . Следствие 1: каждое число сравнимо по модулю m со своим остатком от деления на m: . Следствие 2: число сравнимо по модулю m, т. и т. т., к. оно делится на этот mod.

Основные свойства сравнения: 1). Относительные сравнения являются относительно эквивалентными. 2). Сравнения по одному и тому же модулю можно почленно вычитать: . Слагаемое можно переносить из одной части в другую, при этом знак меняем на противоположный. 3). В каждой части сравнения можно прибавлять любое число, кратное модулю: сравнения по одному и тому же модулю можно почленно умножать. Следствия: 1. Обе части сравнения можно возводить в любую натуральную степень. 2. Обе части сравнения можно умножать на любое натуральное число. 4). Обе части сравнения и модуль можно умножить на одно и то же число или сократить на любой их общий делитель. 5). Если сравнение имеет место по нескольким модулям то оно имеет место и по модулю, который равен их наибольшему кратному или наибольшему общему делителю

6). Если сравнение имеет место по модулю m, то оно имеет место и по любому

делителю числа m. 7). Общий делитель одной части сравнения и модуль является делителем другой части сравнения: , .

Малая теорема Ферма: если a и m – взаимнопростые числа, тогда . Функция Эйлера – это число положительных чисел, не превосходящие n и взаимнопростые с n. Если целое число a взаимнопростое с m, то . Теорема Эйлера: если целое число a взаимнопростое с m, то . Теорема Ферма: 1. Если целое число a не делит p, где р – простое, то . 2. Если р – простое и а –любое целое число, тогда . Отношение сравнимости – это классы эквивалентности. Классы эквивалентности также называются классами вычетов, а их эквивалентности называют вычетами.

Решение сравнений: Пусть , , mєN. Тогда называется сравнением к – степени с одним неизвестным и имеет не более, чем m классов решений. Решениями данного сравнения будут являться классы вычетов по модулю m. Сравнения первой степени с одной неизвестной можно записать в виде: если: 1). это сравнение не имеет решения (например 5x ). 2). Если решение этого сравнения. 3). .

Теорема: Пусть , , то , d – класов решений mod m. Методы решения сравнений: 1). Метод испытания полной системы вычетов. 2). Метод преобразования коэффициентов. Прибавляется или вычитается из правой части любое число, кратное модулю, заменяя коэффициенты в левой части на число сравнений с модулем. Можно преобразовать сравнения так, что его можно будет сократить на а и получить решение.

Пример: 5x . 3). Решение сравнений с помощью системы Эйлера: . Тогда . . (5х

=> ).