55. Квадратичні форми. Матриця квадратичної форми. Зведення квадратичної форми до канонічного виду.

Квадратичной формой переменных наз однородный многочлен второй степени зависящий от переменных.

Многочлен называется однородным в степени

общий вид квадратич формы. Говорят что квадратичная Форма имеет канонический вид если ее матрица является диагональной если все коэфициенты стоящие не при квадратных переменных =0. Квадратичная форма имеет нормальный вид если ее матрица является диагональной и все элементы главной диагонали = или 1, или -1, или 0, или коэфиц при квадрат форме =1, -1, 0, а все остальные коэфиц =0

Преобразование переменных называется линейным если оно имеет вид или в матричной форме

Линейное преобразование называется невырожденным если матр - невырожденная

Приведение к каноническому виду: Путем невырожденного линейного преобразования(НЛП) вид квадратичной формы можно упростить к тому чтобы она имела канонический вид.

Наиболее простым способом приведения квадратичной формы является Метод выделения полного квадрата (Метод Лагранжа).

Пусть дана квадрат форма 1)

если , то сделаем замену переменных:

- это слагаемое есть квадратичная форма меньшая числа и к ним применяем то же самое

- коэффициент при квадратичной переменной =0 и существует хотя бы один коэфициент при квадрате то поменяем местами переменные и сведем задачу к предыдущей.

Опр. Две квадратичные формы называются эквивалентными если 1) они зависят от одинакового количества переменных 2) сущ НЛП переводящее одну из них в другую.

Th: 2 квадрат формы от одинакового числа переменных эквивалентны т и т т когда у них совпадают ранги и сигнатуры.

Опр. Две квадратичные формы над полем наз эквивалентными если они содержат одинаковое число неизв и сущ НЛП переводящее одну в другую.

Th: Две квадратичные формы над полем зависящие от одинак числа перемен эквивалентны т и т т когда у них совпад ранги.

Опр. Квадратичная матрица называется унитриугольной если она является верхнетреугольной и по главной диагонали стоят еденицы.

Th: пусть ранг квадратичной формы = если первые угольных миноров матрицы квадратичной формы отличны от нуля то существует унитриугольное преобразование приводящее квадратичную форму к каноническому виду. , , , здесь - это -й главный угловой минор.

56. Додатньо визначені квадратичні форми. Зведення пари квадратичних форм до канонічного виду одним перетворенням.

Квадратичной формой переменных называется однородный многочлен второй степени зависящий от переменных.

Многочлен называется однородным в степени

общий вид квадратичной формы.

Говорят что квадратичная Форма имеет канонический вид если ее матр явл диагональной если все коэфициенты стоящие не при квадратных переменных =0

Квадратичная форма имеет нормальный вид если ее матрица является диагональной и все элементы главной диагонали = или 1, или -1, или 0, или коэфициенты при квадратичной форме =1, -1, 0, а все остальные коэфициеннты =0.

Квадратичная Форма наз положительно определенной (отрицательно определенной) если при любых значениях переменных (кроме случая когда они все =0 одновременно) квадратичная Форма принимает положительные (отрицательные) значения. ( - положительно определенная; - отрицательно определенная). Квадратичная Форма положительно определенная если 1) , 2) т и т т когда . Квадратичная Форма называется неотрицательно определенной (полуопределенной) если она может принимать только неотрицательные значения ( - неотрицательная. - неположительная.).

На практике используют критерий Сильвестра: квадратичная Форма будет положительно определенной т и т т когда все главные миноры >0.

Приведение к ф к каноническому виду при помощи ортогональных преобразований

1. записываем матрицу квадратичной формы и строим характеристический многочлен

2. находим собственные значения

3. записываем канонический вид квадратичной формы где - это собственные значения

4. находим собственные вектора

5. если все собственные значения различные то нормируем ( где - собственный вектор)

Если есть кратные собственные значения то полученные собств векторы отвечающие этим собственным значениям предварительно ортогонализируют

6. записываем мат перехода и запис соотв преобразования.

Приведение пары квадратичных Форм к канонич виду при помощи одного НЛП(невырожденного линейного преобразования):

1. находим какая из форм является положительно определенной (Критерий Сильвестра)

2. Методом Лагранжа положительно определенную квадратичную форму приводим к нормальному виду. Находим как меняется при этом 2-я

3. С помощью ортогонального преобразования измененную 2ю квадратичную форму приводим к каноническому виду при этом 1-я форма остается в нормальном виде

4. Выписываем требуемое преобразование как композицию 2-х преобразований

Метод выделения полного квадрата (Метод Лагранжа).

Пусть дана квадратичная форма 1) если , то сделаем замену переменных

- это слагаемое есть квадратичная форма меньшая числа и к ним применяем то же самое

- коэффиц при квадр переем =0 и существует хотя бы один коэфициент при квадрате то поменяем местами переменные и сведем задачу к предыдущей.