52. Лінійні оператори у векторному просторі. Ядро, образ, ранг, дефект.

Опр. Линейное (векторное) пространство над полем наз множ (Эл которого наз векторами) на котором введено 2 операции сложения и умножения на число (элем поля ) и выполн. след. аксиомы:

0)

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

Опр. Пусть - 2 лин пространства. Отображение из в наз линейным если выполн. аксиомы: 1) 2) _.

Опр. Лин оператором наз лин отображение векторного пространства в себя..

Опр. Матрица лин оператора в данном базисе наз матр по столбцам кот записаны корд образов базисных векторов в этом базисе.

Опр. Ядро лин оператора наз. множ всех векторов лин пр-ва , кот этот оператор переходят в нулевой вектор.

Опр. Дефектом лин опер наз размерность его ядра ( ).

Опр. Образом оператора наз. мн-во Im всех векторов пр-ва , каждый из кот-х имеет прообраз (то есть такие вектора в которые лин оператор _{переводит вектора из лин векторного пр-ва} )

Опр. Ранг лин опер наз размерность его образа _.

Th: Для любого лин опер вектор-го пр-ва имеет место следующее равенство

53. Власні вектори і власні значення лінійного оператора. Умови діагоналізіруемості мтриці лінійного оператора.

Линейное (векторное) пространство над полем называется множество (Элементы которого называются векторами) на котором введено 2 операции сложения и умножения на число (элементы поля ) и выполняются следующие аксиомы: 1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

Пусть - 2 линейных пространства. Отображение из в называется линейным если выполняются аксиомы:

1) ,

2) _.

Линейным оператором называется линейное отображение векторного пространства в себя.

Вектор (ненулевой ) называется собственным вектором линейного оператора если при этом число называется собственным значением оператора .

Число называется собственным числом линейного оператора если существует такой ненулевой что _.

Теорема: собственные векторы отвечающие различным собственным значениям линейно не зависимы.

Следствие: кол-во собственных значений линейного оператора превосходит размерности пр-ва.

Множество всех собственных значений линейного оператора называется спектром _.

Если собственное значение оператора то . Система уравнений кот должна иметь нетривиальное решение, то есть нулевое.

Используя теорему Крамера получаем, что данная система будет иметь не тривиальное решение тогда и только тогда, когда полученное уравнение называется характеристическим, собственные значения и только они являются корнями характеристического уравнения.

Теорема: Для того, чтобы комплексное число  было собственным значением линейного оператора А необходимо и достаточно, чтобы это число являлось корнем характеристического уравнения det (А-)=0.

54. Евклидово пр-во. Ортонормированный базис.

Евклидовым пространством называется линейное векторное пространство с заданным на нем скалярным произведением.

Скалярным произведением на векторном пр-ве наз. отображение

1) симметричность ;

2) линейность ;

3)

Пусть Е-п-мерное Евклидовое пр-во - базис тогда можно расписать в виде тогда обозначим тогда

2 вектора ортогональны равносильно тому, что угол между ними = , т. е. 2 вектора ортогональны т. и т. т. к. их скалярное произведение =0.

Система векторов называется ортогональной, если вектора этой системы попарно ортогональны.

Система векторов наз. ортонормированной, если она является ортогональной и все вектора этой системы имеют единичную длину ортонормированный базис, тогда

в ортонормированном базисе скалярное произведение = сумме произведений соответствующих координат.

Пусть в евклидовом пр-ве Е задан ортонормированный базис . Тогда вектор . Домножим скалярно правую и левую части последнего равенства на . Получим:

Т. о., в ортонормированном базисе координаты вектора равны скалярному произведению этого вектора на соответствующий базисный вектор.

Из любой системы векторов евклидового пространства можно получить ортонормированный базис. Значит в любом евклидовом пространстве ортонормированный базис.