45. Друга квадратична форма поверхні .Нормальна кривизна кривої на поверхні.

Def: Нехай область в з декартовими корд. . Параметризованою поверхнею заданою на наз. неперервне відображення , таке що кожній впорядкованій парі відповідає . наз. параметрами поверхні.

Рівняння являється векторним рівнянням поверхні.

Def: Поверхня , наз. поверхнею класу , якщо функція має в кожній точці неперервні часткові похідні до порядку включно, якщо при цьому в кожній точці області , то поверхня наз. регулярною.

Відображенням Вейнгартена поверхні в її точці наз. диференціал Гаусового сферичного відображення поверхні в т. , взятий зі знаком « - ».

Теорема: Матриця відображення Вейнгартена в базисі має вигляд: , де - матриця першої квадратичної форми.

Другою квадратичною формою поверхні наз. квадратична форма , асоційована з відображенням Вейнгартена

, де , - дотична площина заданої поверхні .

Теорема: Матрицею другої квадратичної форми поверхні в базисі є Гаусова матриця . , де , , ,

Нормальна кривизна кривої на поверхні

- векторне рівняння регулярної поверхні , - крива на цій поверхні і має наступні внутрішні рівняння кривої , де - довжина дуги, зовнішні рівняння кривої мають вигляд , , - наз. вектором кривизни.

Def: нормальною кривизною кривої, що лежить на поверхні наз. скалярна проекція вектора кривизни цієї кривої на нормаль поверхні . .

Теорема: нормальна кривизна кривої обчислюється за формулою:

Властивості :

1. Мєньє.

2. Всі криві поверхні, які проходять через точку М цієї поверхні і мають в ній спільну дотичну пряму, мають у цій точці одну й ту ж саму нормальну кривину.

3. нормальна кривизна нормального перерізу співпадає з точністю до знаку з його кривизною. ,

46. Асимптотичні напрямки на поверхні. Асимптотичні лінії поверхні. Класифікація точок поверхні.

Def: напрямок поверхні в даній її точці наз. асимптотичним , якщо нормальна кривизна поверхні в цьому напрямку в даній точці дорівнює нулю.

Нехай - вектор асимптотичного напрямку, тоді , тобто

- квадратне відносно

Якщо

Def: крива на поверхні наз. асимптотичною лінією, якщо в кожній її точці дотичний вектор має асимптотичний напрямок

Теорема: (Критерій асимптотичної лінії)

Крива на поверхні є асимптотичною лінією т. і т.т., коли вона або прямо, або в кожній її точці стична площина співпадає з дотичною площиною до поверхні.

Def: точка поверхні наз. гіперболічною (параболічною) якщо в ній існують два різних (співпадаючих) дійсних асимптотичних напрямки;

точка поверхні наз. еліптичною, якщо в ній не існує асимптотичних напрямків;

точка поверхні наз. планарною, якщо в ній будь-який напрямок є асимптотичним.

Відомо, що

Таким чином через гіперболічну точку проходить дві різних асимптотичних лінії ( ), через параболічну точку – одна асимптотична лінія ( ), через еліптичну – не проходять асимптотичні лінії ( , через планарну – нескінчене багато асимптотичних ліній.