82 Интерполирование функций. Интерпол. Полином лагранжа

Задача определ. произвольной функции либо интеграла от ф.-ии y=f(x) по заданным дискретным значениям y_і=f(x_і ) использует понятие апроксимации ф.-ии. Аппроксимация также использ.-ся при построении сеточных уравнений.

Суть задачи аппроксимации зал. в след. Пусть дана некот. неизвестная в аналитическом смысле ф.-ия y=f(x), и известно лишь ее поведение на отрезке [a, b]. Такую ф.-ию наз. аппроксимируемой. Требуется построить другую ф.-ию y=F(x), наз. аппроксимирующей ф.-ией, которая была бы близка к ф.-ии y=f(x) некот. погрешностью. Т.е. задача аппроксимации сост. в том, чтобы по зад. значениям ф.-ии y=f(x) в нескольких точках отрезка [a, b], получить ее значения в остальных точках этого отрезка. При этом необх. выполнение след.:

1. задание дискретных значений ф.-ий y_і=f(x_і )

2. класс аппроксир.-щих ф.-ий, из кот. конструируется ф.-ия y=F(x)

3. вид критерия согласия между ф.-ями y=f(x) и y=F(x)

4. оценка погрешности аппроксимации

Вид задания ф.-ии y= F (x) зависит от класса решаемых задач. При исследовании напряженно-деформированного состояния по методу конечных элементов в задачах механики деформир.-го тела аппроксим.-щие ф.-ии предст.-ся комбинацией ф.-ий 1,х,…,х^п, либо сплайнами.

Критерий согласия либо близости аппрокс.-мой и аппрокс.-щей ф.-ий опр.-ся из условия минимума расстояний между ними. Например, самым распространенным критерием явл. критерий Чебышева:

Другой критерий (метод наименьших квадратов)может быть записан в виде:

Вопросы оценки погрешности зависят от трех первых требований и рассм.-ся отдельно для каждого случая аппроксимации. Геометр. процесс интерполяции:

Если f(x) и F(x) совпадают в узлах аппроксимации, то этот вид аппрок.-ии наз. интерполируемым. Если же х[a, b], то имеет место интерполяция, х [a, b], то имеет место экстраполяция.

При  = 0 в узлах интерполяции значение интерп.-мой и интерп.-щей ф.-ии совпадают, т.е. f(x_і )= F (x_і), (1)

a₀ + a₁ x_i ¹+a₂ x_i²+…+a_nx_i ⁿ= f(x_i). (2)

В этом случае F(x) – интерполирующий полином порядка n ,

коэф.-ты а_к – неизвестны . Они нах.-ся из равенства (1), что эквив.-но (2).

a₀ + a₁ x_i ¹+a₂ x_i²+…+a_nx_iⁿ = f(x_i) (і=0, 1, 2,…,n)

Получим матрицу:

- определитель Вандермонда

W0, если нет несовпадаемых условий, то из системы (2) всегда можем найти а_к, т.е. построить интерпол. полином.

Интерполяц. полином Лагранжа. Задача: найти F(x), надо знать а_і.Эта задача трудна, но можно ее обойти. L_n (x)- полином Лагранжа, n – порядок (n=1,2,..). При n=1 – полином 1-го порядка,…., n-го порядка: . (1)

Интерпол. полином представляется через значения самой ф.-ии в узлах интерполирования. С_к(х) – коэф.-ты разложения. Удовлетворяя услов. Чебышева:

(2) С_к(х) обладают свойством: (3)

С_к(х) =  _к(х-х₀)(х-х₁)…(х-х_к-1)(х-х_к+1)…(х-х_п) (4).

Учитывая (4),  _к=1  (х_к – х₀)(х_к – х₁)…(х_к – х_п). Подставив  _к в (3), (3) в (2) – получим интерпол. полином Лагранжа:

всего применяется линейная интерполяция при n=1

83. Решение задачи коши для обыкновенного диф. Ур. Методом эйлера

F (x, y, y, y… y⁽ⁿ⁾) = 0 – обыкн. диф. уравнение. (1)

Иногда диф. ур. удается выразить произвольной высшей степени:

y⁽ⁿ⁾ = f (x, y, y, y, …, y^(n-1) ) (2)

Для (1), (2) имеет место три осн-х задачи: задача Коши, краевая задача и задача на собственное знач-е.

Для диф. ур. (2) можно сформулировать теорему о существовании и единственности реш-я ур-я.

В частном случае (2) можно записать диф ур.-ем первого порядка: y= f (x, y) (3)

Теорема Коши: если функция f (x, y) и f_у – непрерывны в области определения, то существует единственное решение у (х), удовлетворяющее начальному условию.у_{х =х0} = у₀ у (х₀) = у. (4)

След.-но общее решение (3): у =  ( х, с ), (с – const)

Частное решение : у =  ( х, с₀ ).

Если обратиться к (2), то решение имеет вид

у =  ( х, с₁, с₂, …, с_п ), где const.-ы определяются из : (5)

Для решения обыкн. диф. ур. как первого, так и высших порядков существует аналитич. методы, уже известные нам. Но при более сложных видах уравнений и нач. условий эти методы не позволяют дать решение. След.-но прибегают к числ. методам, для реализации кот. вводится понятие сетки. Отрезок [a,b] , на кот. ищется решение, разбивается на n частичных с шагом h. Если h = const, т.е. сетка является равномерной, то

x_k = x₀ + k h (k = 1,2,..)

В основе числ. решения лежит идея замены диф. ур. его дискретным аналогом.

(а₀)  0 (6)

Получение решения определяется по к предыдущим решениям. Этот метод наз. многошаговым. При к =1 – одношаговый

(7)

К одношаговым методам относ.: мет. Эйлера, видоизмен. мет. Эйлера, мет. Рунге-Кутта.

В (3) вместо независ. переменной х может быть t, следовательно, изучаются процессы, связанные со временем. Важной становится схема, по кот. реализуется решение (7):

1) явная схема: y_n+1 = y_n+ f (x_n, y_n ) h (8)

2)неявная схема: y_n+1 = y_n+f (x_n, y_n, y_n+1 ) h (9)

1)последнее решение ищется через предыдущее,

2) для нахождения последнего реш.-я надо решать систему нелинейных ур-й.

Выбор схемы влияет на скорость схождения решения и зависит от постановки задач.

Метод Эйлера. Пусть дано обыкн. ДУ (1) с нач. усл-ями (2): y= f (x, y) у (х₀) = у₀

у (х₀, у₀) = f (x₀ , y₀ )= tg ₀. В точке М₁ ищем y :

у (х₁, у₁) = f (x₁ , y₁ )= tg _1.

Полученная ломаная, наз. ломаной линией Эйлера, и есть реш-ем ур-я. При х_і = х_і+1 – х_і  0 и ломанная линия Эйлера  к истинному решению y= f (x) в силу теоремы Коши.

у₀ , у₁ = у₀ + f (x₀ , y₀ ) h ,

у₂ = у₁ + f (x₁ , y₁ ) h, … у_п+1 = у_п + f (x_п , y_п ) h.

Для удобства составляем таблицу

х	у	f (x, y)	f (x, y) h
х0	у0	f (x0, y0)	f (x0, y0) h
х1	у1	f (x1, y1)	f (x1, y1) h
…….