79. Решение систем линейных уравнений методом простых итераций

В основе метода заложено понятие сжимающего отображения. Говорят, что функция осуществляет сжимающее отображение на , если:

1.

2.

Рассмотрим систему уравнений:

Д ля неё итерационное вычисление будет выглядеть так:

Сходимость метода будет осуществлять

С ледует отметить, что для оценки сходимости вычисляется не определитель матрицы, а норма матрицы. Поэтому в данном случае поставлены двойные вертикальные черты, а не одинарные.

Алгоритм: Условие преобразуется к виду . Задается начальное приближение с точностью . Вычисляется очередная итерация . Если то и возврат к предыдущему шагу, иначе и остановка.

Пример.

Решение уравнения x-cos(x)=0 по методу простой итерации,

очередная итерация: xn+1=cos xn,

начальное приближение: x1 = -1

80. Решение нелин. Алгебраических ур-ий методом Ньютона.

Этот метод весьма эффективен для решения алгебраич. Ур-й. Его основное преимущество состоит в том, что при сравнительно простой схеме вычислений он обладает быстрой сходимостью.

Пусть единственный корень ур-ия

(1)

расположен внутри интервала , причем и непрерывны и сохраняют определенные знаки . .

Пусть нач. прибл-е известно. Заменим отрезком из ряда Тейлора

и за следующее прибл-е возьмем корень уравнения , т. е.

.

Вообще, если итерация известна, то следующее приближение в методе Ньютона определяется по правилу

, (2)

Нач. прибл-е и должно удовлетворять условию

(3)

Метод Ньютона наз-ют также методом касательных, так как новое прибл-е является абсциссой точки пересечения касательной, проведенной в точке к графику функции , с осью .

Этот метод имеет квадратичную сходимость, т. е. в отличие от линейных задач погрешность на следующей итерации пропорциональна квадрату погрешности на предыдущей итерации: .

Для оценки точности приближения можно воспользоваться формулой

,

где ,

Метод Ньютона обладает очень быстрой сходимостью. Такая быстрая сходимость гарантируется лишь при очень хороших, т. е. близких к точному решению нач. прибл-ях. Если нач. прибл-е выбрано неудачно, то метод может сходиться медленно, либо не сойдется вообще.

81. Численное интегрир-е. Ф-ла трапеций.

Часто требуется вычислить определенные интегралы

(1)

Если ф-я непрерывна на отр. и известна ее первообразная, то используют ф-лу Ньютона-Лейбница. Если усл-я не вып-ся или ф-ия задана таблично, то исп-ют методы численного интегрир-я. Задачи численного интегрир-я основаны на замене интеграла (1) конечной суммой

, (2)

где - числовые коэффициенты и - точки отрезка , . Приближенное равенство

наз-ся квадратурной ф-лой, а сумма вида (2) – квадратурной суммой. Точки наз-ся узлами квадратурной формулы, а числа - коэф-тами квадратурной формулы. Разность

наз-ся погрешностью квадратурной формулы. Погрешность зависит как от расположения узлов, так и от выбора коэф-тов.

Формула трапеций.

Основана на том, что на отрезке дуга кривой заменяется хордой, окаймляемой концы этой дуги. При этом площадь криволинейной трапеции заменяется площадью трапеции с основаниями и и высотой

(3)

Тогда суммируя рав-во (3) получим квадратурную формулу трапеции

Погрешность этой ф-лы оценивается следующим образом:

,

.

Т. о., ф-ла трапеций имеет второй порядок точности