75. Застосування теорії операційного числення до розв’язання диференціальних рівнянь.

Оригинал и изображение

Преобразованием Лапласа, называется соотношение

которое ставит в соответствие дейст. переменного функцию комплексного переменного . Функция – ядро преобразования Лапласа, – параметр преобразования.

Оригиналом называется комплексная функция действительного переменного , которая удовлетворяет условиям:

1. – однозначно непрерывна или кусочно-непрерывная ф-ция вместе со своими производными -го порядка в интервале ;

2. , когда <0;

3. существуют такие постоянные >0 и , что для всех >0 < .

Простейшим примером функции-оригинала есть единичная функция Хевисайда: .

Изображением функции-оригинала называется функция комплексного переменного , которая определяется інтегралом Лапласа:

Свойства преобразования Лапласа:

1. Свойство линейности. Если и – любые комплексные постоянные, то .

2. Теорема подобия. Если и число >0, то .

3. Теорема запаздывания. Если и число >0, то .

4. Теорема смещения. Если и – любое комплексное число, то .

5. Дифференцирование оригинала. Если и функции есть оригиналами, то

,

где .

6. Дифференцирование изображения. Если , , то

7. Интегрирование оригинала. Если , , то

8. Интегрирование изображение. Если , и интеграл сходиться в полплощади , то , .

9. Изображение периодичного оригинала. Если , то .

76. Класичне поняття ймовірності. Геометрична ймовірність. Формула повної ймовірності. Формула Байєса.

Ймовірність – це число, яке є мірою об’єктивної можливості здійснення події. Ймовірність події позначають P(A). Найпростішими подіями, що відбуваються в даній ситуації є рівноможливі. Ймовірність появи кожної з n рівноможливих подій повної сукупності подій .

Повна сукупність несумісних подій – це події ,що попарно-несумісні, тобто для всіх і хоча б одна з них відбувається, тобто .

Геометрична ймовірність. На прямій виберемо відрізок Е і усередині нього відрізок (чи сукупність відрізків) А. Всередину відрізку Е «кидається» точка. Ймовірність її попадання на А знаходиться за формулою:

. (1)

де і - довжина А і Е відповідно. Ймовірність події А, знайдена за формулою (1), називається геометричною ймовірністю на прямій.

Аналогічно, якщо точка «кидається» всередину квадрата Е, то ймовірність її попадання в область А, що лежить усередині Е, знаходиться за формулою:

, (2)

де і - площі і відповідно.

Ймовірність попадання точки всередину тривимірної області А при її киданні всередину куба Е аналогічним чином знаходиться за формулою:

,

де і - об’єми і відповідно.

Формула повної ймовірності. Нехай відбувається експеримент, про умови котрого можна зробити припущень (гіпотез), що взаємно виключають одна одну: . Кожна з гіпотез – це деяка подія; в сукупності вони попарно несумісні і утворюють повну групу. Ймовірність гіпотез може бути заздалегідь знайдена і нехай вони дорівнюють .

Зауваження.Якщо при розв’язанні задачі гіпотези введені правильно та їх ймовірність знайдена вірно, то справедлива рівність . Тепер розглянемо деяку подію А, ймовірність якої треба визначити. При цьому спочатку знайдемо умовну ймовірність , ,…, . Ймовірність події А обчислюється за такою формулою повної ймовірності:

.

Формула Байєса. Якщо - повна група подій , а А – довільна випадкова подія , така, що , то

.