62. Мультиплікативна числова функція.

В теории чисел, мультипликативная функция ― арифметическая функция f(m), такая что

f(m1m2) = f(m1)f(m2) для любых взаимно простых чисел m1 и m2

f(1) = 1

При выполнении первого условия, требование f(1) = 1 равносильно тому, что функция f(m) не равна тождественно нулю.

Следует отметить, что вне теории чисел под мультипликативной функцией понимают любую функцию f, определенную на некотором множестве X, такую что

f(x1x2) = f(x1)f(x2) для любых .

В теории чисел такие функции, то есть функции f(m), для которых условие мультипликативности выполнено для всех натуральных m1,m2, называются вполне мультипликативными.

Мультипликативная функция называется сильно мультипликативной, если

f(pα) = f(p) для всех простых p и всех натуральных α.

Примеры

Функция τ(m) ― число натуральных делителей натурального m.

Функция σ(m) ― сумма натуральных делителей натурального m.

Функция Эйлера .

Функция Мёбиуса μ(m).

Функция является сильно мультипликативной.

Степенная функция f(m) = mα является вполне мультипликативной.

Если f(m) — мультипликативная функция, то функцияg(m) = ∑ f(d)

d | m

также будет мультипликативной. Обратно, если функция g(m), определенная этим соотношением является мультипликативной, то и исходная функция f(m) также мультипликативна.

Более того, если f(m) и g(m) — мультипликативные функции, то мультипликативной будет и их свертка Дирихле

63. Многочлены от одной переменной. Теорема Безу. Теорема Штурма.

Функция вида , в которой наз. многочленом степени . Числа наз. коэфициентами многочлена (в общем случае они будут комплесными), а наз. переменной, которая принимает любые комплесные значения.

Два мн-на наз. равными, если совпадают их степени и совпадают коэф-ты при соответствующих степенях переменных.

1 Теорема Безу: остаток от деления мн-на на мн-н -с равен значению мн-на при , т. е. .

2 Теорема Безу: Число будет корнем многочлена , тогда и только тогда, когда делится на -с без остатка.

Теорема Штурма: если многочлен с действ. коэф-ми не имеет кратных корней, то кол-во корней на промежутке равно разности кол-ва переменных знаков в последовательности Штурма, вычисленных в точках и , т.е. .

64. Симметрические многочлены.

Среди мн-нов от нескольких переменных выделяются те, которые не меняются ни при какой перестановке неизвестных. В такие мн-ны все неизв. входят симметричным образом и поэтому эти мн-ны назыв. симметрическими мн-нами (или симметрическими функциями).

Простыми примерами будут: сумма всех неизв. сумма квадратов неизв. , произведение неизвестных и т. д.

Будем рассматривать сим. мн-ны от неизвестных с коэф.-тами из некоторого поля сумма разность, произведение сим. мн-нов сами будут сим. мн-нами, т. е. сим. мн-ны составляют подкольцо в кольце всех мн-нов от неизв. над полем называется кольцом симметр-ких мн-нов от неизв. над полем .

К этому кольцу принадлежат все эл-ты из (мн-ны нулевой степени). Всякий другой сим. мн-н непримерно содержит вес неизв. и даже имеет по ним одну и ту же степень: если сим. мн-н обладает членом в который неизв. входит с показателем , то он обладает и членом, получ. из неготранспозицией неизвестных, и т. е. содержащие неизв. в той же степени .

Следующие сим. мн-нов от неизвестных назыв. элементарными сим. мн-нами

Т. к. сим. мн-ны от неизвестных над полем составляют кольцо, то очевидно след. утв. сим-ким мно-ном будет всякая целая положит. степень любого из элементов сим. мн-нов, а также произведение таких степеней, притом взятое с любым коэф-том из , , наконец, всякая сумма указанных произведений. Иными словами всякий мн-н от элементарных сим. мн-нов с коэф-тами из , рассматиривается как мн-н от неизвестных будет сим-ким.

Пусть и возьмем мн-член заменяя их выражения, получим: справа стоит очевидно сим-кий мн-н от .

Обращением этого результата явл, основная теорема о сим-ких мн-нах: «любой сим-кий мн-н от n-переменных может быть выражен через основные сим. мн-ны от n-переменных».

65. Не приводимые многочлены над Q, R, С

Мн-н называется не приводимым над полем Р, если не может быть представлен в виде произведения двух других мн-нов с коэф-ми из поля Р, степени которых меньше степени данного мн-на.

Мн-н нулевой степени (const) не причисляется ни к приводимым, ни к не приводимым.

Над полем С не приводимы только мн-ны первой степени. Всякий мн-н может быть разложен на лин-ые множители, т.е. всякий мн-н в виде: a₀xⁿ+ a₁x^n-1+…

Над полем R не приводимы только мн-ны 1-ой степени и мн-ны 2-ой степени, не имеющие действит.корней.

Над полем Q существуют не приводимые мн-ны различных степеней.

Пример: xⁿ+2, nєN.

Непроводимость мн-на над Q определяется по критерию Эйзенштейна: Если для мн-на n>0 с целыми коэф-ми существует простое число p: старший коэф-т , все остальные коэф-ты , а свободный член , i=1,n. То этот мн-н – не приводим над полем Q.

Пример: 1) x⁴+1 – над Q. 2) x⁴+1= - над R. 3) - над С.

Если степень мн-на > 0 => не разрешимые в радикалах.