Теория экономического анализа

Это отклонение образовалось под влиянием изменений чис­ ленности работающих и производительности их труда. Чтобы определить, какая часть общего изменения объема выпуска продукции достигнута за счет изменения каждого из факторов в отдельности, необходимо при расчете влияния одного из них элиминировать влияние другого фактора.

Формула (2) соответствует данному условию. В первом сомножителе элиминировано влияние производительности труда, во втором — численности работающих, следовательно, прирост объема выпуска продукции за счет изменения числен­ ности работающих определяется как разность между числи­ телем и знаменателем первого сомножителя:

ДЛГГЯ = £ /)„/?, — ЕВД.

Прирост объема выпуска продукции за счет изменения производительности труда работающих определяется анало­ гично по второму сомножителю:

AN/ = I,DlRl — l,DQRl.

Изложенный принцип разложения абсолютного прироста (отклонения) обобщающего показателя по факторам пригоден для случая, когда число факторов равно двум (один из них количественный, другой качественный), а анализируемый по­ казатель представлен как их произведение.

Теория индексов не дает общего метода разложения аб­ солютных отклонений обобщающего показателя по факторам при числе факторов более двух.

Метод цепных подстановок. Этот метод заключается, как указывалось в гл. 3, в получении ряда промежуточных значе­ ний обобщающего показателя путем последовательной заме­ ны базисных значений факторов на фактические. Разность двух промежуточных значений обобщающего показателя в цепи подстановок равна изменению обобщающего показателя, вы­ званного изменением соответствующего фактора.

В общем виде имеем следующую систему расчетов по методу цепных подстановок:

уп —/(афпС^...) — базисное значение обобщающего показателя;

факторы

У» —f(a\boC<>d<i~-) — промежуточное значение; Уъ =/(аАс(Д>"-) — промежуточное значение;

.Ус =У(а]ЬхСф...) — промежуточное значение;

ух =f(ajbxcxd\..^ — фактическое значение.

120

Общее абсолютное отклонение обобщающего показателя определяется по формуле

АУ = У\ ~Уо =f(axbxcxdx...)—f(aj)0c0d0...).

Общее отклонение обобщающего показателя раскладыва­ ется на факторы:

за счет изменения фактора а

&Уа = У*—Уо =/(аф0с0с10...)--/(а0Ь0с0(10...),

за счет изменения фактора b

4Ув = Уъ —ул =/(а\Ьхсйф3...)—/(афйс<&)...)

и т. д.

Метод цепных подстановок, как и индексный, имеет недо­ статки, о которых следует знать при его применении. Вопервых, результаты расчетов зависят от последовательности замены факторов; во-вторых, активная роль в изменении обо­ бщающего показателя необоснованно часто приписывается влиянию изменения качественного фактора.

Например, если исследуемый показатель z имеет вид функ­ ции z = f(x, у) = ху, то его изменение за период At = tx —10 выражается формулой

Az —х0Ау -f уйАх + АхАу,

где Az —приращение обобщающего показателя; Ах, Ау —приращение факторов; *о> Уй —базисные значения факторов;

t0, t\ —соответственно базисный и отчетный периоды времени.

Группируя в этой формуле последнее слагаемое с одним из первых, получаем два различных варианта цепных под­ становок.

Первый вариант:

Az = (х0 + Ах)Ау + у0Ах = ххАу + у0Ах.

Второй вариант:

Az = хдАу + (Уо + Ау)Ах = х0Ау + _у, Ах.

На практике обычно применяется первый вариант при условии, что х — количественный фактор, a j - — качественный.

121

В этой формуле выявляется влияние качественного фактора на изменение обобщающего показателя, т.е. выражение (х0 + Ax)Ay более активно, поскольку величина его устанавлива­ ется умножением приращения качественного фактора на отчет­ ное значение количественного фактора. Тем самым весь прирост обобщающего показателя за счет совместного изменения фак­ торов приписывается влиянию только качественного фактора.

Таким образом, задача точного определения роли каждого фактора в изменении обобщающего показателя обычным ме­ тодом цепных подстановок не решается.

В этой связи особую актуальность приобретает поиск путей совершенствования точного однозначного определения роли отдельных факторов в условиях внедрения в экономическом анализе сложных экономико-математических моделей фактор­ ных систем.

Поиск путей совершенствования метода цепных подстано­ вок (способа разниц) осуществлялся с двух позиций:

экономическое обоснование определенной последователь­ ности подстановок путем исследования сущности хозяйствен­ ных процессов и связей экономических факторов, при котором порядок расчетов определяется не порядком расположения показателей в расчетной формуле, а их конкретным содержа­ нием с выделением количественных и качественных факторов;

нахождение рациональной вычислительной процедуры (ме­ тода факторного анализа), при которой устраняются условно­ сти и допущения и достигается получение однозначного ре­ зультата величин влияния факторов.

Метод простого прибавления неразложимого остатка. Не находя достаточно полного обоснования, что делать с остат­ ком, в практике экономического анализа стали использовать прием прибавки неразложимого остатка к качественному или количественному (основному или производному) фактору, а также делить этот остаток между двумя факторами поровну. Последнее предложение теоретически обосновано С. М. Югенбургом [85, с. 66—83].

С учетом изложенного можно получить следующий набор формул.

Первый вариант

Azx = Аху0+ АхАу = Ах(у0 + Ау) = Ахух; Az{y) = Ayx0.

Второй вариант

Агх = Аху0; Azy — Аух0+АхАу = Ау(х0 + &х) — Av*i-

122

Существуют и другие предложения, которые используются в практике экономического анализа редко. Например, отнести

А. И. Ежова, являются «универсальными» и разрешают про­ блему «остаточного члена». Эту методику расчета защищает и В. Е. Адамов. Он считает, что «несмотря на все возражения, единственно практически неприемлемым, хотя и основанным на определенных соглашениях о выборе весов индексов, будет метод взаимосвязанного изучения влияния факторов с исполь­ зованием в индексе качественного показателя весов отчетного периода, а в индексе объемного показателя — весов базисного периода» [1, с. 65].

Описанный метод хотя и снимает проблему «неразложимого остатка», но связан с условием определения количественных и ка­ чественных факторов, что усложняет задачу при использовании больших факторных систем. Одновременно разложение общего прироста результативного показателя цепным методом зависит от последовательности подстановки. В этой связи получить однознач­ ное количественное значение отдельных факторов без соблюдения дополнительных условий не представляется возможным.

Метод взвешенных конечных разностей. Этот метод состоит в том, что величина влияния каждого фактора определяется как по первому, так и по второму порядку подстановки, затем результат суммируется и от полученной суммы берется сред­ няя величина, дающая единый ответ о значении влияния фак­ тора. Если в расчете участвует больше факторов, то их значе­ ния рассчитываются по всем возможным подстановкам.

Опишем этот метод математически, используя обозначе­ ния, принятые выше.

123

Как видно, метод взвешенных конечных разностей учиты­ вает все варианты подстановок. Одновременно при усредне­ нии нельзя получить однозначное количественное значение отдельных факторов. Этот метод весьма трудоемкий и по сравнению с предыдущим методом усложняет вычислитель­ ную процедуру, так как приходится перебирать все возмож­ ные варианты подстановок. В своей основе метод взвешен­ ных конечных разностей идентичен (только для двухфакторной мультипликативной модели) методу простого прибавле­ ния неразложимого остатка при делении этого остатка между факторами поровну. Это подтверждается следующим преобоазованием формулы

_ ух Ах + урАх _ Ах (У1~Уо)= Ах (у0 + у + у{)_

АхАу = у0Ах + —

Аналогично

Следует заметить, что с увеличением количества фактора, а значит, и количества подстановок, описанная идентичность методов не подтверждается.

Логарифмический метод. Этот метод, описанный В. Федо­ ровой и Ю. Егоровым [66, с. 71—73], состоит в том, что достигается логарифмически пропорциональное распределе­ ние остатка по двум искомым факторам. В этом случае не требуется установления очередности действия факторов.

Математически этот метод описывается следующим об­ разом.

Факторную систему z = xy можно представить в виде lgz=lgx + lgy,

тогда Дг = lgz,—lgz0 = (lgx, — lgjc0) + (lgLVi —1&Уо)

или

где lgz, = lgx, + lgy{; lgz„ = lg x0 + lgy0.

124

Разделив обе части формулы на lg —— и умножив на Az,

z 0

Выражение (4) для Az представляет собой не что иное, как его логарифмическое пропорциональное распределение по двум искомым факторам. Именно поэтому авторы такого подхода назвали этот метод «логарифмическим методом раз­ ложения приращения Az на факторы». Особенность логариф­ мического метода разложения состоит в том, что он позволяет определить безостаточное влияние не только двух, но и многих изолированных факторов на изменение результативного пока­ зателя, не требуя установления очередности действия.

В более общем виде этот метод был описан еще А. Хумалом, который писал: «Такое разделение прироста произведе­ ния может быть названо нормальным. Название оправдывает­ ся тем, что полученное правило разделения остается в силе при любом числе сомножителей, а именно: прирост произведения разделяется между переменными сомножителями пропорцио­ нально логарифмам их коэффициентов изменения» [69, с. 207]. Действительно, в случае наличия большего числа сомножи­ телей в анализируемой мультипликативной модели факторной системы (например, z = xypm) суммарное приращение резуль­ тативного показателя Az составит:

Po Щ

Разложение прироста на факторы достигается за счет ввода коэффициента к, который в случае равенства нулю или взаимного погашения факторов не позволяет использо-

125

вать указанный метод. Формулу (4) для Az можно записать иначе:

В таком виде эта формула (5) в настоящее время использу­ ется как классическая, описывающая логарифмический метод анализа. Из этой формулы следует, что общее приращение результативного показателя распределяется по факторам про­ порционально отношению логарифмов факторных индексов к логарифму результативного показателя. При этом не имеет значения, какой логарифм используется (натуральный In N или десятичный lg N).

Основным недостатком логарифмического метода анализа является то, что он не может быть «универсальным», его нельзя применять при анализе любого вида моделей фактор­ ных систем. Если при анализе мультипликативных моделей факторных систем при использовании логарифмического ме­ тода достигается получение точных величин влияния факторов (в случае, когда Az = 0), то при таком же анализе кратных моделей факторных систем получение точных величин влияния факторов не удается.

Так, если краткую модель факторной системы представить в виде

х- ^ - \ T O l g - ^ l g - i ^ ,

УJo"1 Л

тогда аналогичную формулу (5) можно применять к анализу кратных моделей факторных систем, т. е.

Az = Az'x + Az'y+ AzKx + AzKy,

где

126

Таким подходом воспользовались Д. И. Вайншенкер и В.М.Иванченко при анализе выполнения плана по рен­ табельности. При определении величины прироста рентабе­ льности за счет прироста прибыли они воспользовались ко­ эффициентом Кх'.

Не получив точного результата при последующем анализе, Д. И. Вайншенкер и В. М. Иванченко ограничились применением логарифмического метода лишь на первом этапе (при определе­ нии фактора Az'J. Последующие величины влияния факторов они получили при помощи пропорционального (структурного) коэффициента L, который представляет собой не что иное, как удельный вес прироста одного из факторов в общем приросте со­ ставляющих факторов. Математическое содержание коэффици­ ента L идентично «способу долевого участия», описанному ниже.

Следует заметить, что последующее расчленение фактора Az^, методом логарифмирования на факторы Az^. и Az^ осуществить на практике не удается, так как логарифмический метод в своей сути предусматривает получение логарифмических отношений, которые для расчленяющихся факторов будут примерно один­ аковыми. Именно в этом и заключается недостаток описанного метода. Применение «смешанного» подхода в анализе кратных моделей факторных систем не решает проблемы получения изо­ лированного значения из всего набора факторов, оказьшающих влияние на изменение результативного показателя. Присутствие приближенных вычислений величин факторных изменений до­ казывает несовершенство логарифмического метода анализа.

Метод коэффициентов. Этот метод, описанный И. Б. Белобжецким, основан на сопоставлении числового значения одних и тех же базисных экономических показателей при разных условиях.

127

И. Б. Белобжецкий предложил определять величины влия­ ния факторов следующим образом:

Уо

Описанный метод коэффициентов подкупает своей просто­ той, но при подстановке цифровых значений в формулы ре­ зультат у И. А. Белобжецкого получился правильным лишь случайно. При точном выполнении алгебраических преобразо­ ваний результат суммарного влияния факторов не совпадает с величиной изменения результативного показателя, получен­ ного прямым расчетом.

Метод дробления приращений факторов. В анализе хозяй­ ственной деятельности наиболее распространенными являют­ ся задачи прямого детерминированного факторного анализа. С экономической точки зрения к таким задачам относится проведение анализа выполнения плана или динамики экономи­ ческих показателей, при котором рассчитывается количествен­ ное значение факторов, оказавших влияние на изменение ре­ зультативного показателя. С математической точки зрения задачи прямого детерминированного факторного анализа представляют исследование функции нескольких переменных.

Дальнейшим развитием метода дифференциального исчис­ ления явился метод дробления приращений факторных при­ знаков, при котором следует вести дробление приращения каждой из переменных на достаточно малые отрезки и осуще­ ствлять пересчет значений частных производных при. каждом (уже достаточно малом) перемещении в пространстве. Степень дробления принимается такой, чтобы суммарная ошибка не влияла на точность экономических расчетов.

128

где п — количество отрезков, на которые дробится приращение каж­ дого фактора;

Ошибка 6 убывает с увеличением п.

Например, при анализе кратной модели факторной систе-

X

мы вида z = —- методом дробления приращений факторных

признаков получим следующие формулы расчета количест­ венных величин влияния факторов на результирующий по­ казатель:

Az = &zx + Azv;

у

- " 1 Azx = А." = Д х £ —-

/=1 о0 Уо+iA'y '

&2Х = А;=—А'У £

XQ + г'Д х

;=0 (Уо+'Ау)

г можно пренебречь, если п будет достаточно велико. Ме­ тод дробления приращений факторных признаков имеет пре­ имущества перед методом цепных подстановок. Он позволяет определить однозначно величину влияния факторов при зара­ нее заданной точности расчетов, не связан с последователь­ ностью подстановок и выбором качественных и количествен­ ных показателей-факторов. Метод дробления требует соблю­ дения условий дифференцируемости функции в рассматрива­ емой области.

Интегральный метод оценки факторных влияний. Даль­ нейшим логическим развитием метода дробления приращений факторных признаков стал интегральный метод факторного анализа. Этот метод основывается на суммировании прираще­ ний функции, определенной как частная производная, умно­ женная на приращение аргумента на бесконечно малых проме­ жутках. При этом должны соблюдаться следующие условия:

1) непрерывная дифференцируемость функции, где в каче­ стве аргумента используется экономический показатель;

2) функция между начальной и конечной точками элемен­ тарного периода изменяется по прямой I e;

129