Теория экономического анализа

Считая формулу связи линейной (у = а0 4- ахх), определим зависимость выпуска промышленных изделий от их запуска. Для этого решается система нормальных уравнений:

naQ + a,£x, = £у,;

a^Lxj + a^Lxt2 — Ех,_у,.

Величины Z J C 2 2 H I X,J>, представлены в следующей таблице (табл. 6.4).

Значение а0 определяем из первого уравнения:

боо + 102а, = 95,4; 102а0 + 1798а, = 1686,3;

а0 = 95,4—102а, , или а0 = 15,9—17а,.

Подставляя найденное выражение а0 во второе уравнение, находим значение а,:

102 (15,9— 17а,) + 1798а, = 1686,3;

1621,8 —1734а, + 1798а, = 1686,3; 64а, = 1686,3 —1621,8; 64а, = 64,5; а, = 1,01;

00=15,9—17-1,01; а0 = 15,9—17,17; а0 = —1,27.

Итак, уравнение регрессии в окончательном виде получило следующий вид:

J = —1,27+ 1,01 х Проверка:

у= —1,27 + 1,01 • 17 = —1,27 + 17,17;

У= 15,9.

160

6.3. МЕТОДЫ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ

Методы линейного программирования применяются для решения многих экстремальных задач, с которыми до­ вольно часто приходится иметь дело в экономике. Решение таких задач сводится к нахождению крайних значений (ма­ ксимума и минимума) некоторых функций переменных ве­ личин.

Линейное программирование основано на решении систе­ мы линейных уравнений (с преобразованием в уравнения и не­ равенства), когда зависимость между изучаемыми явлениями строго функциональна. Для него характерны математическое выражение переменных величин, определенный порядок, по­ следовательность расчетов (алгоритм), логический анализ. Применять его можно только в тех случаях, когда изучаемые переменные величины и факторы имеют математическую определенность и количественную ограниченность, когда в ре­ зультате известной последовательности расчетов происходит взаимозаменяемость факторов, когда логика в расчетах, мате­ матическая логика совмещаются с логически обоснованным пониманием сущности изучаемого явления.

С помощью этого метода в промышленном производстве, например, исчисляется оптимальная общая производитель­ ность машин, агрегатов, поточных линий (при заданном ассор­ тименте продукции и иных заданных величинах), решается задача рационального раскроя материалов (с оптимальным выходом заготовок). В сельском хозяйстве он используется для определения минимальной стоимости кормовых рационов при заданном количестве кормов (по видам и содержащимся в них питательным веществам). Задача о смесях может найти применение и в литейном производстве (состав металлургичес­ кой шихты). Этим же методом решаются транспортная зада­ ча, задача рационального прикрепления предприятий-потреби­ телей к предприятиям-производителям.

Все экономические задачи, решаемые с применением линей­ ного программирования, отличаются альтернативностью ре­ шения и определенными ограничивающими условиями. Ре­ шить такую задачу — значит выбрать из всех допустимо возможных (альтернативных) вариантов лучший, оптималь­ ный. Важность и ценность использования в экономике метода линейного программирования состоят в том, что оптималь­ ный вариант выбирается из весьма значительного количества альтернативных вариантов. При помощи других способов ре­ шать такие задачи практически невозможно.

161

Вкачестве примера рассмотрим решение задачи рациона­ льности использования времени работы производственного оборудования.

Всоответствии с оперативным планом участок шлифовки за первую неделю декабря выпустил 500 колец для подшип­ ников типа А, 300 колец для подшипников типа Б и 450 колец для подшипников типа В. Все кольца шлифовались на двух взаимозаменяемых станках разной производительности. Ма­ шинное время каждого станка составляет 5000 мин. Трудоем­ кость операций (в минутах на одно кольцо) при изготовлении различных колец характеризуется следующими данными (табл. 6.5).

Следует определить оптимальный вариант распределения операций по станкам и время, которое было бы затрачено при этом оптимальном варианте. Задачу выполним симплексным методом.

Для составления математической модели данной задачи введем следующие условные обозначения:

д;,, х2, хъ, — соответственно количество колец для подшип­ ников типов А, Б, В, производимых на станке I; х4, х5, х6, — соответственно количество колец для подшип­ ников типов А, Б, В, производимых на станке II.

Линейная форма, отражающая критерий оптимальности, будет иметь вид:

min а {х) = 4JC, +10х2 +10х3 + 6х4+8х5+20х6 при ограничениях

162

Преобразуем условие задачи введением дополнительных (вспомогательных) и фиктивных переменных. Условие запи­ шем так:

min a(x) = 4х,-|-10х2+10Хз + 6х4 + 8х5 + 20х6+ + Мх9+Мх10+Мх,,

Система уравнений, отражающая ограничительные усло­ вия машинного времени и количество произведенной про­ дукции:

Решение этой задачи представлено в табл. 6.6. Опти­ мальный вариант получен на седьмом этапе (итерации). Если бы на станке I производилось 125 колец подшипников типа А, 450 колец подшипников типа В, на станке II — 375 колец подшипников типа А и 300 колец подшипников типа Б, то при такой загрузке оборудования было бы высво­ бождено 350 мин машинного времени станка II. Общие затраты времени по оптимальному варианту составили бы 9650 мин, тогда как фактически затрачено 10000 мин ма­ шинного времени.

Весьма типичной задачей, решаемой с помощью линейного программирования, является транспортная задача. Ее смысл заключается в минимизации грузооборота при доставке това­ ров широкого потребления от производителя к потребителю, с оптовых складов и баз в розничные торговые предприятия. Она решается симплекс-методом или распределительным ме­ тодом.

Решение транспортной задачи распределительным мето­ дом было дано в третьем издании учебника «Теория экономи­ ческого анализа» («Финансы и статистика», 1996).

ш

Продолжение

6.4.МЕТОДЫ ДИНАМИЧЕСКОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ

Методы динамического программирования применяются при решении оптимизационных задач, в которых целевая функ­ ция или ограничения, или же первое и второе одновременно характеризуются нелинейными зависимостями. Признаками нелинейности является, в частности, наличие переменных, у ко­ торых показатель степени отличается от единицы, а также наличие переменной в показателе степени, под корнем, под знаком логарифма.

Примеры нелинейных зависимостей достаточно обширны. Например, экономическая эффективность производства воз­ растает или убывает непропорционально изменению масш­ табов производства; величина затрат на производство партии деталей возрастает в связи с увеличением размеров партии, но не пропорционально им. И в том, и в другом случае мы, по существу, сталкиваемся с проблемой переменных и условнопостоянных издержек..

Известно, что себестоимость с увеличением объема выпу­ скаемой продукции понижается, но при нарушении ритмич­ ности производства она может и возрастать (за счет оплаты сверхурочных работ в конце отчетного периода). Здесь затра­ ты представляются, как и в вышеприведенной ситуации, нели­ нейной функцией от объема производства.

Нелинейной связью характеризуются величины износа про­ изводственного оборудования в зависимости от времени его работы, удельный расход бензина (на 1 км пути) — от скоро­ сти движения автотранспорта и многие другие хозяйственные ситуации.

Использование в экономическом анализе метода динами­ ческого программирования покажем на простейшем примере1.

Имеется некое транспортное средство грузоподъемно­ стью W. Требуется заполнить его грузом, состоящим из пред­ метов ^различных типов, таким образом, чтобы стоимость всего груза оказалась максимальной.

Для этого введем соответствующие обозначения:

Pt—вес одного предмета /-го типа; V.—стоимость одного предмета /-го типа;

х( — число предметов /-го типа, загружаемых на имеющееся транспортное средство.

1 Более сложные задачи, решаемые методами математического модели­ рования, требуют применения ЭВМ.

168

Необходимо подобрать груз максимальной ценности с уче­ том грузоподъемности транспортного средства W.

Математически формализовать данную экстремальную за­ дачу можно следующим образом:

тахф(х) = max E xj V.—СТОИМОСТЬ груза

при ограничениях:

(1)Д xf^W;

(2) х. = 0, 1,... (Т. е. предметы груза неделимы).

Решение задачи разбивается на п этапов, на каждом из которых определяется максимальная стоимость груза, состо­ ящего из предметов 1-го типа (первый этап), 1-го и 2-го типов (второй этап) и т. д. Для этого воспользуемся рекуррентным соотношением (критерием оптимальности Беллмана):

Будем считать, f0(W) = 0 для любого W. Последовательно найдя значение функций /,(JP), !•&№)•>••••> fiJW)> можно полу­ чить полное решение сформулированной задачи.

Пусть:

груза).

Найдем последовательно значения функций bAW): fx(W), /2(Ю,/3(Ю,МЮ при различных значениях Щ0< W< 10).

169