16. Вычисление определенного интеграла. Формула Ньютона-Лейбница.
F(x)=Ф(х)+C
х=а F(а)=Ф(а)+с
=
х=b
F(b)=Ф(b)+c=
Ф(х)=
где F(x)
– это некоторая первообразная f(x),
и это называется функцией Ньютона-Лейбница
Замечание.1) f(x) – непрерывна на [a;b] функция F(x)= f(x) на всем [a;b]
Следствие: Ф(х)=F(x)+c –некоторая первообразная f(x) –неопределенная интегрированная.
Интегрирование по частям, замена переменных в определенном интеграле.
Теорема. Если функции u=u(x) и v=v(x) непрерывны вместе со своими производными на отрезке [a,b], то
{a;b}∫ u dv = [uv]│ba -{a;b} ∫ v du.
Док-во:
Имеем, {a;b}∫(uv)`dx ={a;b} ∫(uv`+u`v)dx ={a;b} ∫u dv +{a;b} ∫ v du. (*)
Все эти интегралы существуют, т.к. подынтегральные функции непрерывны. Но согласно формуле Ньютона-Лейбница
{a;b}∫∫ (uv)`dx = [uv]│ba. (**)
Сравнив формулы (*) и (**), получим равенство
{a;b}∫∫ u dv +{a;b} ∫ v du = [uv]│ba ,
откуда и следует нужная нам формула.
----------------------------------------------------------------------------------
Пусть вып-ны следующие условия:
1. f(x) непрерывна на [a,b];
2. [a,b] – мно-во значений некоторой ф-ции g(t)=x, определенной на
α<=t<=β и имеющей на этом сегменте непрерывную производную.
3. g(α)=a, g(β)=b.
При этих условиях справедлива формула:
{a;b}∫∫ f(x)dx = {α;β}∫∫ f(g(t))g`(t)dt.
Док-во:
Рассмотрим некоторую первообразную F(x) ф-ции f(x).
По ф-ле Н.-Л. Имеем:
{a;b}∫∫ f(x)dx = F(b) – F(a).
Т.к. ф-ции F(x) и x=g(t) дифф-мы на соответствующих сегментах, то сложная ф-ция F(g(t)) дифф-ма на [α, β], поэтому, применяя правило дифф-ния сложной ф-ции, получим (d/dt)F(g(t)) = F`(g(t))g`(t) (*), причем производная F` вычисляется по аргументу x: F`(g(t)) = F`(x),где x=g(t). Поскольку F`(x)=f(x), то при x=g(t), получим F`(g(t)) = f(g(t)). Подставляя это значение F`(g(t)) в правую часть рав-ва (*) получим
(d/dt)F(g(t)) = f(g(t))g`(t), следовательно F(g(t)), определенная и непрерывная на [α,β], является на этом сегменте первообразной для ф-ции f(g(t))g`(t) и поэтому согласно ф-ле Н.-Л.
{α;β}∫ f(g(t))g`(t)dt = F(g(β)) – F(g(α)), т.к. g(β)=b, g(α)=a, то
{α;β}∫ f(g(t))g`(t)dt = F(b) – F(a), {a;b}∫ f(x)dx = F(b) – F(a), левые части равны, значит и правые равны: {a;b}∫ f(x)dx ={α;β}∫ f(g(t))g`(t)dt
17.Формулы прямоугольников и трапеций для приближенного вычисления интегралов. Оценка погрешности.
Сделаем важное замечание для дальнейшего доказательства.
Замечание. Пусть f(x) непрерывна на [a,b], а x1,x2,…xn – некоторые точки отрезка [a,b]. Тогда на этом отрезке найдётся точка ξ такая, что (f(x1)+f(x2)+…+f(xn))/n = f(ξ).
Д о к – в о. Пусть M и m точные грани f(x) на отрезке [a,b]. Тогда для любого i справедливо:
m f(xi) M. Отсюда m (f(x1)+f(x2)+…+f(xn))/n M
Т. к. непрерывная ф-ия принимает любое промежуточное значение между m и M, то на отрезке [a,b] найдется ξ такая, что (f(x1)+f(x2)+…+f(xn))/n = f(ξ).
1.Метод прямоугольников:
Пусть нам требуется вычислить интеграл ∫{x [a,b]}f(x) dx.
Разобьем отрезок [a,b] на n равных частей при помощи точек a=x0<x1<…<x(2n)=b. Пусть x(2i-1) средняя точка отрезка [x(2i-2),x(2i)]. Метод прямоугольника – замена интеграла суммой
((b-a)/n)*[f(x1)+f(x2)+…+f(x(2n-1))] площадей прямоугольников с высотами равными f(x(2i-1)), и основаниями равными x(2i)-x(2i-2)=(b-a)/n. Таким образом справедлива формула
∫{x [a,b]}f(x) dx = ((b-a)/n)*[f(x1)+f(x2)+…+f(x(2n-1))] + R, (1)
где R – остаточный член. (1) – формула прямоугольников.
Найдём R. Пусть наша ф-ия f(x) имеет на отрезке [a,b] непрерывную вторую производную. Для начала оценим интеграл ∫{x [-h,h]}f(x) dx. Обозначим через F(x) первообразную ф-ии f(x). Тогда ∫{x[-h,h] }f(x) dx = F(h)-F(-h). Имея в виду, что ф-ия F(x) имеет на отрезке [a,b] три непрерывных производных, разложим эту ф-ию (по формуле Маклорена с остаточным членом в форме Лагранжа).
F() = F(0) + F′ (0)x + F″ (0)(x²/2) + F′′′ (ξ) (x³/6), (2)
где ξ – некоторая точка отрезка [-h,h]. Учитывая, что F′(0)=f(0), F′′(0)=f′(0), F′′′(ξ)=f′′(ξ), и x=h,x=-h, получим
∫{x [-h,h] }f(x) dx = F(h)-F(-h) = [F(0) + f (0)h + f ′(0)(h²/2) + f ′′(ξ1) (h³/6)] –
- [F(0) - f(0)h+ f ′(0)(h²/2) – f ′′(ξ2) (h³/6)] = 2f(0)h + (h³/3)*( f′′ (ξ1) + f′′ (ξ2))/2.
В силу замечания, доказанного выше, на отрезке [-h,h] найдётся точка η такая, что
( f′′ (ξ1) + f′′ (ξ2) )/2 = f′′ (η). Тогда
∫{x [-h,h] }f(x) dx = 2f(0)h + R’, где R’ = (f′′ (η)(2h)³)/24 {-h η h}. (3)
Т. к. 2f(0)h – площадь прямоугольника с высотой f(0) и шириной 2h, то ошибка, совершаемая при замене ∫{x [-h,h] }f(x) dx приближенной площадью, имеет порядок h³.
Делаем вывод. Формула ∫{x [-h,h] }f(x) dx ≈ 2f(0)h тем точнее, чем меньше h. Поэтому для вычисления интеграла ∫{x [a,b] }f(x) dx естественно представить его в суммы достаточно большого числа n интегралов.
Учитывая при этом, что длина сегмента [x(2i-2),x(2i)] равна (b-a)/n, мы получим формулу прямоугольников, в которой
R = R’1 + R’2 +…+R’3 = (b-a)³/(24n³)[f′′(η1) + f′′(η2) +…+ f′′(ηn)] =
= [(b-a)³/(24n²)]*(f′′(η1)+f′′(η2)+…+f′′(ηn))/n = [(b-a)³/(24n²)]*f′′(η).
2.Метод трапеций:
Пусть нам требуется вычислить интеграл ∫{x [a,b]}f(x) dx.
Разобьем отрезок [a,b] на n равных частей при помощи точек a=x0<x1<…<xn=b.
Метод трапеций заключается в замене интеграла суммой
((b-a)/2n)*{[ f(x0) + f(x1) ] + [ f(x1) + f(x2) ] +…+ [f(x(n-1)) + f(xn)] }=
= ((b-a)/2n){ f(a) + f(b) + 2 ∑{i [1,n-1]}f(xi)}
площадей трапеций с основаниями равными f(x(i-1)) и f(xi), и с высотами, равными
xi – x(i-1) = (b-a)/n. Таким образом справедлива формула
∫{x[a,b]}f(x) dx = ((b-a)/2n){ f(a) + f(b) + 2 ∑{i [1,n-1]}f(xi)} + R, (4)
R – остаточный член, (4) – формула трапеций.
Найдём R. Пусть наша ф-ия f(x) имеет на отрезке [a,b] непрерывную вторую производную. Для начала оценим интеграл ∫{x [-h,h]}f(x) dx. Последовательно производя интегрирование по частям, получим
∫{x [-h,h]}f(x) dx = ∫{x [-h,h]}f(x) d(x + h) = f(x)(x + h){x [-h,h]} - ∫{x [-h,h]}f′(x)(x +h)dx =
= f(h)2h - ∫{x [-h,h]}f′(x)(x +h)d(x-h) = f(h)2h – f′(x)(x +h)(x-h) {x[-h,h]} +
+ ∫{x [-h,h]}f′′(x)(x +h)(x-h)dx + ∫{x [-h,h]}f′(x)(x - h)dx.
Последний интеграл равен ∫{x [-h,h]}f′(x)(x - h)dx = f(-h)2h - ∫{x[-h,h]}f(x) dx,
получим
∫{x[-h,h]}f(x) dx = [f(h) + f(-h)] h + 1/2∫{x[-h,h]}f′′(x)(x²-h²) dx.
Т. к. ф-ия (x²-h²) 0 на отрезке[a,b], то по Теореме о среднем на этом отрезке найдётся точка η такая, что
1/2∫{x[-h,h]}f′′(x)(x²-h²) dx = 1/2 f′′( η)∫{x[-h,h]} (x²-h²) dx = -[(2h)³/12]*f′′( η)
Итак,
∫{x[-h,h]}f(x) dx = 2h*[f(h) + f(-h)]/2 + R’, где R’ = -[(2h)³/12]*f′′( η) , (5)
{-h η h}.
Т. к. 2h*[f(h) + f(-h)]/2 представляет собой площадь трапеции, то ошибка, совершаемая при замене ∫{x[a,b]}f(x) dx указанной площадью, имеет порядок h³
Для вычисления интеграла , как и в методе прямоугольников, нужно представить его в виде суммы достаточно большого числа n интегралов.(Чем больше n, тем меньше h, тем выше точность).
18.Формула Симпсона.
Пусть нам требуется вычислить интеграл ∫{x [a,b]}f(x) dx.
Разобьем отрезок [a,b] на n равных частей при помощи точек a=x0<x1<…<x2n=b. Пусть x2i-1 средняя точка отрезка [x2i-2,x2i]. Метод прямоугольника – замена интеграла cуммой
((b-a)/6n)*{[f(x0) + 4f(x1) + f(x2)] + [f(x2) + 4f(x3) + f(x4)] +…+
n – 1 n - 1
+ [f(x2n-2) + 4f(x2n-1) + f(x2n)]} = ((b-a)/6n)*{f(a)+ f(b) + 2∑f(x2i) + 4∑f(x2i+1)}
i = 1 i = 0
площадей фигур, представляющих собой криволинейные трапеции, лежащие под параболами, проходящими через три точки графика ф-ии f(x) с абсциссами x2i-2, x2i-1 и x2i.
{Докажем, что площадь криволин. трап. вычисляется по формуле Si = ((b-a)/6n)*[f(x2i-2) +
+ 4f(x2i-1) + f(x2i)]. Пусть ри точки, через кот. проходит трапеция имеют координаты [-h, f(-h)],
[0, f(0)], [h, f(h)]. Через них проходит лишь одна парабола f(x)=Ax²+Bx+C. Подставим координаты точек в уравнение.
Ah-Bh+C=f(-h)],
C=f(0)
Ah+Bh+C=f(h).
Эта система имеет единственной решение. А=[ f(-h) - 2f(0) + f(h) ]/(2h²), B= [ f(h) + f(-h) ]/(2h), С= f(0).
h h
Si=∫ (Ax²+Bx+C)dx= [(Ax³)/3 + (Bx²)/2 + Cx]|= 2(Ah³)/3 + 2Ch = (h/3)( f(-h) + 4f(0) + f(h)) .
-h -h
Учитывая, что h = (b-a)/(2n) получаем, что Si = ((b-a)/6n)*[f(x2i-2) + 4f(x2i-1) + f(x2i)]. Ч,Т,Д }
Таким образом справедлива формула
n – 1 n - 1
∫{x [a,b]}f(x) dx = ((b-a)/6n)*{f(a)+ f(b) + 2∑f(x2i) + 4∑f(x2i+1)} + R, (1)
i = 1 i = 0
где R – остаточный член. Эта формула называется формулой парабол или формулой Симпсона.
Оценка погрешности формулы Симпсона.
n – 1 n - 1
∫{x [a,b]}f(x) dx = ((b-a)/6n)*{f(a)+ f(b) + 2∑f(x2i) + 4∑f(x2i+1)} + R-
i = 1 i = 0
формула Симпсона.
Найдём R(сделаем оценку погрешности). Пусть наша функция f(x) на отрезке [a,b]
имеет непрерывную четвертую производную.
h
Для начала оценим интеграл ∫f(x)dx. Производя последовательное
-h
интегрирование по частям получим
h h h h h
∫f(x)dx = ∫f(x)d(x-h) =f(0)h - ∫f ´(x)(x-h)dx = f(0)h – x(x-h)f ´(x)| + ∫f ´(x)xdx +
0 h 0 h 0 h 0 0
+ ∫f ″(x)x(x-h)dx = f(0)h + ∫f ´(x)xdx + ∫f ″(x)x(x-h)dx ,
0 0 0
Аналогично
0 0 0 0
∫f(x)dx = ∫f(x)d(x+h) = f(0)h + ∫f ´(x)xdx + ∫f ″(x)x(x+h)dx ,
-h -h -h -h
Мы получаем, что
h 0 h h
∫f(x)dx = 2f(0)h + ∫f ″(x)x(x+h)dx + ∫f ″(x)x(x-h)dx + ∫f ´(x)xdx. (1)
-h -h h 0 -h h
Последний интеграл равен ∫f ´(x)xdx = h [f(h) +f(-h)] - ∫f(x)dx (2)
-h -h
Из (7) и (8) получим
h 0 h
4∫f(x)dx = 4f(0)h + 2h [f(h) +f(-h)] + 2∫f ″(x)x(x+h)dx + 2∫f ″(x)x(x-h)dx (3)
-h -h 0
Теперь вычтем из формулы (3) формулу (5) из билета №31 раздел-2. Плучим.
h
3∫f(x)dx = h [f(h) +4f(0)h + f(-h)] + I1 + I2 где
-h. 0
I1 = ∫f ″(x)[(3/2)x²+2hx + (1/2)h²]dx
-h h
I2 = ∫f ″(x) [(3/2)x²-2hx + (1/2)h²]dx.
0
Интегрируем по частям эти два интеграла.
0 0
I1 = f ″(x)(1/2)x(x + h)²| - (1/2)∫f ″′(x) [(x+h)³ - h(x+h) ²]d(x+h) = f ″′(0)(h²h²)/24 +
0 -h -h
(1/8)∫f ″′′ (x)(x+h)³(x-h/3)dx
h h
I1 = - f ″′(0)(h²h²)/24 + (1/8)∫f ″′′ (x)(x-h)³(x+h/3)dx.
0
Теперь учитывая, что ф-ии (x+h)³(x-h/3) и (x-h)³(x+h/3) сохраняют знаки на отрезке [-h,0] и [0,h] соответственно, применяем теорему о среднем.
0 h
I1 + I2 = (1/8)[ f ″′′ (ξ1)∫ (x+h)³(x-h/3)dx + f ″′′ (ξ2)∫ (x-h)³(x+h/3)dx] =
-h 0
= -[(h²h³)/30]( f ″′′ (ξ1) + f ″′′ (ξ2) )/2 = -[(h²h³)/30] f ″′′ (η),
где ξ1, ξ2 и η – некоторые точки отрезка [-h,h].
В конечном счете мы получаем
h
∫f(x)dx = 2h [f(h) +4f(0)h + f(-h)]/6 + R’, где R’ = -[(2h²h³)/2880] f ″′′ (η). (4)
-h
Т. к. 2h [f(h) +4f(0)h + f(-h)]/6 – площадь фигуры, лежащей под параболой, то ы получаем, что ошибка получаемая при замене имеет порядок h²h³
Представим весь интеграл в виде суммы т интегралов
a x2 x4 x2n
∫f(x)dx = ∫f(x)dx + ∫f(x)dx +… +∫f(x)dx
b a x2 x2n-2
Применяя к каждому из интегралов формулу (4) мы придем к формуле (1) из билета№32 и
Общий остаточный член буде равен
R= R’1 + R’2 +…+ R’n = -[(b-a)²(b-a)³/(2880 n²n²)] f(η)
19.1)Вычисление длины дуги кривой. Говорят что кривая задана параметрически если её координаты каждой её точки (х,у)- описаны через некоторые параметры t. т.е x=x(t), y=y(t), t (принад.) T
Замечание 1.
Если уравнение кривой задается явно y=f(x), х(прин) Х, то парамет. можно записать х=х, y=f(x), x(принад) Х
Замечание 2.
Если кривая описана в полярных координатах т.е. r=r(φ) h: r=a(1+cos φ) , то в параматр. виде.
х=r(φ)*cos φ, y=r(φ)*sin φ φ (принад) D
Опр1. Кривая называется гладкой если x(t) и y(t) непрерывна со своими производными на T. x(t) y(t)<=C^1(Т), Кривая называется простой если каждому t € T, соответствует (ед!) точка кривой.
Опр2. Прямая называется параметризуемой если в конечном разбиении отрезков Т t1<t2<t3<tn можно разбить кривую на простые кривые (отрезки)
Опр3. Гладкая прямая называется регулярной если для любого t € T и х(штрих)(t) и у(штрих)(t) не равны 0 одновременно x^2(штрих)+y^2(штрих) не=0,более удобно работать с регулярными параметризуемыми кривыми, рассматриваем их простые части.
Разбиение P={ti}
α=t0<t1<tn=β,
разделим прямую по кускам [Mi;Mi+1].
Соединим отрезки прямыми составим
ломанную из звеньев и найдем е длину.
Опр. Кривая называется спрямляемой если множество всех длин ломанных вида λn при различных разбиениях Р ограниченно, sup|λn|=р –называется длиной кривой.
Т-
Пусть Г(гамма) кривая х=х(t),
y=y(t)
t
(принадл) [α; β], если Г была гладкая,
регулярной и прямой то она распрямляется
и её длина
x(t)
С^t
[α; β]
1. Г –спрямляема,
2.
Док-во
1)Рассмотрим производную разбиения
отрезка [α; β] и запишем длуну ломанной
вписанной в другую кривую
т.к
x(t)
и y(t)
– дифференцируемы на [α; β] то справедлива
т.Лагранжа. на каждом участке [ti;ti+1]
x(ti+1)-x(ti)=x(штрих)*ζ(тета)∆ti,
y(ti+1)-y(ti)=y(штрих)*ζ(тета)∆ti
(подкоренное
выражение ограниченно так как не
прерывно)
независимо
от разбиения = Г(спрямляема)
2)
Из пункта 1
покажем что при измельчении разбиения
(n->бесконеч.)P->0
т.к
y(штрих)(t)
непрерывна
на
[ti;ti+1]=> y(штрих)(t)
–равномерно
непрерывная
(
ε>0)(
δ>0)
(
t^,t^^
€ [ti;ti+1]) 0<|t^-t^^|< δ
: |y^(t^^)-y^(t^)|< ε
и
ограниченна
т.е.
(y^(t)<L)
|a+b|<=|a|+|b|
δ<=d->0,
ε->0, т.к. Г- регулярная кривая =>
т.к >=dо>0
при d->0
(n->бесконечности)
Замечание:
Пусть у=у(х) кривая удовлетворяющая
условию теоремы, тогда по формуле (5)
2) Г – в полярных координатах, т.е. r-r(φ), α<= φ<= β система у=r(φ)*sinφ , x=r(φ)*cosφ
Замечание
3. Можно определить кривую в пространстве
и
дать для неё аналогичное определение
Длина дуги плоской кривой. Для параметрического задания, для прямоугольных и полярных координат.
Опр. Множество {М} всех точек М, координаты x и y которых определяются уравнениями x=x(t) и y=y(t), есть простая плоская кривая L, если различным значениям параметра t из отрезка [a,b] отвечают различные точки этого множества. При этом кривая не всегда является простой, она может самопересекаться. В этом случае мы просто разбиваем её на две простых.
Далее мы будем находить формулу длины дуги плоской кривой заданной тремя способами: параметрически, плоскими координатами и полярными координатами.
1.Параметрическое задание:
Пусть кривая L задаётся уравнениями x=x(t) и y=y(t), где t € (принадлежит)[a,b]. (Кривую, заданную параметрически, можно рассматривать как объединение простых кривых.)
Пусть Т -произвольное разбиение отрезка [a,b] точками a=t0<t1<t2<…<tn=b. Обозначим через М0, М1, М2,…,Мn соответствующие точки кривой L (см. Позняк,1 том, стр.345 ). Тогда ломанная М0М1М2…Мn- ломанная вписанная в кривую L и отвечающая данному разбиению Т отрезка [a,b]. Т.к длина звена М(i-1)Мi ломанной равна
li = √( [ x(ti) - x(t(i-1)) ]² + [ y(ti) - y(t(i-1))] ² ), (1)
то длина всей ломанной равна
l(ti) = ∑{i [1,n]} li = ∑{i [1,n]}√( [ x(ti) - x(t(i-1)) ]² + [ y(ti) - y(t(i-1))] ² ). (2)
Опр. Если множество { l(ti) } длин вписанных в кривую L ломанных, отвечающих всевозможным разбиениям Т отрезка [a,b], ограничено, то кривая L называется спрямляемой, а l = sup{ l(ti) } называется длиной дуги кривой L.
Утверждение. Если функции x=x(t) и y=y(t) имеют на отрезке [a,b] непрерывные производные, то кривая L, определяемая параметрическими уравнениями x=x(t) и y=y(t), спрямляема и длина l её дуги может быть вычислена по формуле
l = ∫{t[a,b]} (√( [ x′(t) ] ² + [ y′(t) ] ²) )dt. (3)
Д о к – в о. Докажем сначала, что L спрямляема. Преобразуем выражение (2). Т. к. функции x=x(t) и y=y(t) имеют на отрезке [a,b] производные, то, в силу формулы Лагранжа,
x(ti) - x(t(i-1)) = х′(ξi) ∆ti, где t(i-1) < ξi < ti, ∆ti = ti - t(i-1), и
y(ti) - y(t(i-1)) = y′(ηi) ∆ti, где t(i-1) < ηi < ti.
Подставляя их в выражение (2) получим
l(ti) = ∑{i[1,n]}[(√( [ x′( ξi) ] ² + [ y′( ηi) ] ² ) ) ∆ti]. (4)
По условию функции x=x(t) и y=y(t) имеют на отрезке [a,b] непрерывные производные. Следовательно, эти производные ограничены, и поэтому существует такое М, что для всех t [a,b] справедливы неравенства | x′(t) | M и | y′(t) | M. Но тогда из формулы (4) вытекает, что
0 < l(ti) ∑{i[1,n]}[(√( M ² + M ² ) ) ∆ti] = M√2∑{i [1,n]} ∆ti = M√2(b-a).
Таким образом, мн-во { l(ti)} ограничено, т. у. L – спрямляема. Пусть l – длина кривой L.
Докажем, что длина l кривой может быть вычислена по формуле (3). Для этого докажем два пункта.
*Докажем, что при сколь угодно малых разбиениях Т отрезка [a,b] длины l(ti) ломанных, впис. в кривуюL и отвечающих этим разбиениям, как угодно мало отличаются от интеграла
I= ∫{t[a,b]} (√( [ x′(t) ] ² + [ y′(t) ] ²) )dt (док-ть: | l(ti) - I | < ε/2).
| √( [ x′( ξi) ] ² + [ y′( ηi) ] ² ) - √( [ x′( ξi) ] ² + [ y′( ξi) ] ² )| |y′( ηi) - y′( ξi)| Mi-mi,
где Mi и mi – точные грани ф-ии y′(t) на частичном отрезке [t(i-1),ti].
Обозначим I(ξi)=∑{i [1,n]}[(√( [ x′( ξi) ] ² + [ y′( ξi) ] ² ) ) ∆ti].
| l(ti) - I(ξi)|= |∑{i [1,n]}[ √( [ x′( ξi) ] ² + [ y′( ηi) ] ² ) - √( [ x′( ξi) ] ² + [ y′( ξi) ] ²)] ∆ti|
∑ |{i [1,n]}[ √( [ x′( ξi) ] ² + [ y′( ηi) ] ² ) - √( [ x′( ξi) ] ² + [ y′( ξi) ] ²)] | ∆ti ∑{i[1,n]}( Mi-mi)∆ti = S-s, где S и s верхняя и нижняя суммы ф-ии y′(t).
|I(ξi)-I| < ε/4 и S-s < ε/4 ( 1).√( [ x′(t) ] ² + [ y′(t) ] ²) и y′(t) интегрируемы на отрезке [a,b], 2). Опред. интеграла: I=lim I(ξi) при ∆=max ∆ti ->0, 3). Теорема:Чтобы ф-ия, огранич на [a,b], была интегрир. н. и д. ,чтобы для люб. ε >0 сущ. разбиение Т, для кот. S-sε ).
| l(ti) - I |=| l(ti) - I(ξi) + I(ξi) - I |<= | l(ti) - I(ξi) |+ |I(ξi) - I | < ε/4+ ε/4= ε/2. Ч. т. д.
* А теперь докажем что, | l - l (ti) | < ε/2.
Т. к. l =sup {l(ti)}, то сущ. разбиение Т* отрезка [a,b], что длина l*(ti) соответствующей ломанной удовлетв нерав. 0 l - l*(ti) < ε/2
Т.к. вершины ломанной разбиения Т* являются вершинами ломанной разбиения Т ,то
0 < l*(ti) l(ti) l, и поэтому выполняется 0 l - l(ti) < ε/2 Ч. т. д.
| l - I | | l(ti) - I | + | l - l (ti) | < ε,
отсюда вытекает, что длина дуги плоской кривой
l = ∫{t [a,b]} (√( [ x′(t) ] ² + [ y′(t) ] ²) )dt.
2.B прямоугольных координатах:
Если L– график ф-ии y=f(x), имеющий на отрезке [a,b] непрерывную производную f ′(x), то длина l дуги L может быть найдена по формуле
l = ∫{t [a,b]} (√( 1 + [ f ′(x) ] ²) )dx. (5)
Заметим, что график – это кривая, заданная параметрическими уравнениями x = t и y=f(x), a t b. Поэтому подставив уравнения в формулу (3) и заменив переменную t на x мы очевидно получим формулу (5).
3.B полярных координатах:
Если кривая L определяется полярным уравнением r = r(q), α1 q α2 и ф-ия r(q) имеет на отрезке [α1,α2]непрерывную производную, то длина l дуги L может быть найдена по формуле
l = ∫{t [α1,α2]} (√( r ²(q) + [ r ′(q) ] ²) )dq. (6)
Для док-ва воспользуемся формулами перехода от полярных координат к декартовым
x =r(q)cos q и y = r(q)sin q. Таким образом мы видим, что кривая L определяется параметрическими уравнениями. Подставив эти формулы в формулу (3) мы получим формулу(6).