3.2 Признак Вейерштрасса.
Если функциональный ряд
∞
∑ Uk(x) (1)
k=1
∞
определён на множестве {х} и если существует сходящийся числовой ряд ∑ Ck
k=1
такой, что для всех х из множества {x} и для любого номера k справедливо неравенство
| Uk(x) | ≤ Ck, (2)
то функциональный ряд (1.1) сходится равномерно на множестве {x}.
Краткая формулировка: функциональный ряд сходится равномерно на данном множестве, если его можно мажорировать на этом множестве сходящимся числовым рядом.
Доказательство:
∞
Согласно критерию Коши для числового ряда ∑ Ck, для любого ε > 0 найдётся
k=1
номер N(ε) такой, что для всех n ≥ N(ε) и для любого натурального р справедливо неравенство
n+p
∑ Сk (x) < ε. (3)
k=n+1
Из неравенств (1.2) и (1.3) и из того, что модуль суммы не превосходит суммы модулей, получим
n+p
Uk (x) < ε
k=n+1
(для всех n ≥ N(ε), всех натуральных р и всех х из множества {x}).
Согласно Критерию Коши функциональный ряд (1.1) сходится равномерно на множестве {x}. Теорема доказана.
Пример
Ряд
∞
∑ sin kx , где δ > 0 ,
k=1 k1+δ
сходится равномерно на всей бесконечной прямой, ибо на всей прямой
sin
kx
≤ ___1___
,
k1+δ k1+δ
∞
а числовой ряд ∑ __1__ при δ > 0 сходится
k=1 k1+δ
Замечание 1. Признак Вейерштрасса не является необходимым
Ряд
∞
∑ sin kx
k=1 k
сходится равномерно на любом сегменте, не содержащем точек хm=2πm ( m=0, ±1, ±2, …). В частности, этот ряд сходится равномерно на сегменте [π/2, 3π/2]. Однако на указанном сегменте модуль k-го члена данного ряда | sin kx | имеет точную
k
∞
верхнюю грань, равную 1/k, т.е. мажорирующий числовой ряд ∑ 1 представляет
k=1 k
собой заведомо расходящийся гармонический ряд.