1. Понятие функциональной последовательности и функционального ряда.
Если фиксировано некоторое множество {x} *) и если каждому числу n из натурального ряда чисел 1, 2, …, n, … ставится в соответствие по определённому закону некоторая функция fn(x), заданная на множестве {x}, то множество занумерованных функций f1(x), f2(x), … fn(x), … мы и будем называть функциональной последовательностью.
Отдельные функции fn(x) будем называть членами или элементами рассматриваемой последовательности, а множество {x} – областью определения этой последовательности.
Формально написанную сумму
∞
∑ Un(x) = U1(x) + U2(x) + … + Un(x) +… (1.1)
n=1
бесконечного числа членов функциональной последовательности {Un(x)} будем называть функциональным рядом.
Члены Un(x) этого ряда представляют собой функции, определённые на некотором множестве {x}.
Указанное множество {x} называется при этом областью определения функционального ряда (1.1).
Сумму первых n членов ряда (1.1) называют n-й частичной суммой этого ряда.
Каждому функциональному ряду (1.1) однозначно соответствует функциональная последовательность
S1(x), S2(x), …, Sn(x) … (1.2)
его частичных сумм и, наоборот, каждой функциональной последовательности (1.2) однозначно соответствует функциональный ряд (1.1) с членами
U1(x) =S1(x), Un(x) = Sn(x) – Sn-1(x) при n ≥ 2,
для которого последовательность (1.2) является последовательностью частичных сумм.
Пример 1. Рассмотрим последовательность функций {fn(x)}, каждая из которых определена на сегменте 0 ≤ x ≤ 1 и имеет вид
(1-nx)
при 0 ≤ x
≤ 1/n
fn(x) = (1.3)
0 при 1/n < x ≤ 1.
___________________
*) Под {х} можно понимать, в частности, как множество точек прямой, так и множество точек x=(x1,x2,…,xm) евклидова пространства Еm.
_____________________
Пример 2. Рассмотрим функциональный ряд
∞
1 + ∑ (x + y)k = 1 + (x + y) + (x + y)2 + … + (x + y)n + … , (2.4)
k=1 k! 1! 2! n!
областью определения которого { - ∞ < x < + ∞ , - ∞ < y < + ∞ }.
Используя разложение по формуле Макларена функции
eu = 1 + u + u2 + … + un + Rn+1(u),
1! 2! n!
мы придём к выводу что (n+1)-я частичная сумма
Sn+1 ( x , y ) = 1 + x + y + (x + y)2 + … +(x + y)n
1! 2! n!
Ряда (2.4) отличается от функции ex + y на величину Rn+1(x + y), где Rn+1(u) – остаточный член в форме Макларена для eu .