Площадь фигуры ограниченной спрямляемой прямой в параметрическом виде

ЗАМ: т.е. фигура квадрируема по Т(о спрямляемости )

Рассмотрим замкнутую кривую которая огр. одностороннюю область (для любых т. связаны путем не пересекающим границу ) с ориентацией против часовой стрелки.

_{Объединение (1) и (2) =}

_{21. Объём тел.}

Аналогично тому как мы вводили понятие площади плоской фигуры и квадрируемости введем понятия объема и кубируемости.

G – огр., замкнутая область в пространстве

δG – непрерывная граница области которую можно задать в виде: Z=f(x,y) , x=g(y,z) , y=h(x,z)

Рассмотрим множ. всех многоугольников Р* содержащих G.

Множ. V(Р*) - ограниченно снизу, множ.V(Р_*) - ограничено сверху. =>

infV(P*)=(об)=V* , supV(P_*)=(об)=V_*(Ф)

V* – б.наз. верхней объем.

V_* – б.наз. нижней объем.

ОПР: V*=V_*=(об)=V то говорят, что G является купируемой с объемом V.

ЗАМ: Можно ввести в пространстве R3 кубическую сетку и из этих кубиков составить V* и V_*

Свойство:V(G+G’)=V(G)+V(G’) , G∩G’ δG

Т1: Тело G является кубируемым если V(δG)=0

Пусть G – тело в пространстве для которого задана функция S(x) – плоскость сечения плоскостями х=х₀

Зададим разбиение Т={Xi}, a=x₀≤x₁≤x₂≤…≤x_n=b, m_i = min r сечения, M_i = max r сечения

то Т(Дарбу) => (1)

Объем тела вращения

f(x) непрерывна на [a;b] S(x)=πr²=πf²(x) (1)=>

ОПР: Поверхность тела вращения это множ. образованное вращением графика функции y=f(x).

ОПР: Тело вращения это замкнутое, огр. тело чей границей является поверхность вращения.

Площадь поверхности вращения

y=f(x) непрерывна [a;b], T={Xi}. Найдем площадь вращения каждого звена и построим ломанную.

Площадь поверхности которая образует первое звено – площадь поверхности усеченного конуса

Syкон.= тогда (3)

Перейдем к приделу при d→0 в (3): и ;

Понятие кубируемости и объема. Путь E – некоторое конечное тело. Рассмотрим всевозможные многогранники, вписанные в тело E, и всевозможные многогранники, описанные вокруг тела E. Вычисление объема многогранника сводится к вычислению объемов тетраэдров (треугольных пирамид). Поэтому мы будем считать известным понятие объема многогранника.

Пусть {V_i} – числовое множество объемов вписанных в тело E многогранников, а {V_d}- числовое множество объемов описанных вокруг E многогранников. Множество {V_i} ограничено сверху (объемом любого описанного многогранника), а множество {V_d} ограничено снизу (например, числом 0). Обозначим точную верхнюю грань множества {V_i}, а точную нижнюю грань множества {V_d}. Числа и называются соответственно нижним и верхним объемами тела E. Очевидно, что  (так как V ).

Тело E называется кубируемым, если верхний объем этого тела совпадает с нижним объемом .

Теорема.

Для того, чтобы тело E было кубируемым, необходимо и достаточно, чтобы для любого положительного числа  можно было указать такой описанный вокруг тела E многогранник и такой вписанный в тело E многогранник, разность V_d-V_i которых была бы меньше .

Доказательство: