Вопросы по курсу “ Теории вероятности и математической статистике”

1. Испытания. Исход. Примеры.

2. События: случайные, достоверные, невозможные. Примеры.

3. События: элементарные, равновозможные, несовместные. Примеры.

4. Условная вероятность. Независимые события.

5. Полная группа событий, пример.

6. Определение вероятности и аксиомы вероятности.

7. Классическое определение вероятности события.

8. Сумма событий. Свойства и пример.

9. Произведение событий. Свойства и пример.

10. Теорема сложения вероятностей событий.

11. Теорема умножения вероятностей событий.

12. Формула полной вероятности.

13. Формула Байеса.

14. Геометрическое определение вероятности события. Пример.

15. Схема независимых повторных испытаний.

16. Формула Бернулли.

17. Формула Пуассона.

18. Локальная теорема Лапласа.

19. Интегральная теорема Лапласа.

20. Следствие из интегральной теоремы Лапласа.

21. Определение случайной величины: определение, типы (НСВ и ДСВ), примеры.

22. Закон распределения случайной величины.

23. Функция распределения случайной величины и её свойства.

24. Функция плотности случайной величины и её свойства.

25. Таблица распределения дискретной случайной величины.

26. Математическое ожидание случайной величины: определение, формулы, свойства.

27. Дисперсия случайной величины: определение, формулы, свойства.

28. Начальный момент k-го порядка. Формулы вычисления.

29. Центральный момент k-го порядка. Формулы вычисления.

30. Коэффициенты асимметрии и эксцесса: смысл и формулы для вычисления

31. Квантиль порядка р, медиана, мода: смысл и формулы для вычисления.

32. Биномиальное распределение и его числовые характеристики

33. Распределение Пуассона и его числовые характеристики.

34. Равномерное распределение и его числовые характеристики

35. Показательное распределение и его числовые характеристики

36. Нормальное распределение и его числовые характеристики

37. Вероятность попадания нормально распределенной случайной величины в интервал (а;в)

38. Система двух случайных величин. Таблица совместного распределения.

39. Математическое ожидание суммы случайных величин.

40. Математическое ожидание произведения случайных величин.

41. Дисперсия суммы случайных величин. Следствие.

42. Коэффициент линейной корреляции: формула вычисления, свойства

43. Независимая повторная выборка, определение статистики.

44. Вариационный ряд. Группированная выборка. Порядковая статистика.

45. Выборочные моменты. Эмпирическая медиана.

46. Эмпирическое (выборочное) математическое ожидание и дисперсия.

47. Эмпирические коэффициенты асимметрии и эксцесса.

48. Эмпирическая функция распределения, свойства.

49. Гистограмма относительных частот.

50. Постановка задачи оценивания. Точечное и интервальное оценивание.

51. Несмещенная оценка для неизвестного параметра. Пример.

52. Состоятельная оценка для неизвестного параметра. Пример.

53. Метод максимального правдоподобия для построения точечных оценок неизвестных параметров распределения.

54. Метод моментов для построения точечных оценок неизвестных параметров распределения.

55. Интервальное оценивание. Определение доверительного интервала. Доверительная вероятность.

56. Доверительный интервал для неизвестного параметра биномиального распределения

57. Доверительный интервал для неизвестного математического ожидания нормального распределения при неизвестной дисперсии.

58. Доверительный интервал для неизвестного математического ожидания нормального распределения при известной дисперсии.

59. Задача проверки гипотез. Уровень значимости. Примеры.

60. Проверка гипотезы о законе распределения. Критерий хи-квадрат.

61. Метод наименьших квадратов для построения оценок неизвестных параметров регрессионной модели.

62. Выборочный коэффициент линейной корреляции и формула вычисления.

63. Уравнение регрессии Y по X.

64. Уравнение регрессии X по Y

Литература:

1. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. - М.: "Высшая школа", 1998.

Дополнительная:

1. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. М.: "Высшая школа", 1997.

2. Вентцель Е.С. Теория вероятностей. - М.: ИЦ "Академия", 2003.

3. Вентцель Е.С. Задачи и упражнения по теории вероятностей. - М.: ИЦ "Академия", 2004

Список задач Действия над событиями

1. Бросают две игральные кости. Событие A={сумма выпавших очков нечетная}, B={хотя бы на одной кости выпала единица}. Описать события

2. Из колоды в 36 карт достали одну карту. Событие А={извлеченная карта – дама}, B={извлеченная карта – пиковой масти}, С={извлеченная карта – туз}. Что означают следующие события

3. Мишень состоит из 10 кругов радиусами . Событие A_k состоит в том, что попали в круг радиуса r_k. В чем состоят события

4. Из таблицы случайных чисел наугад взяли одно число. Событие A={выбранное число делится на 5}, B={выбранное число оканчивается на 0}. Что означают события

5. Опыт состоит в бросании двух монет. Рассматриваются следующие события: A = {орел на первой монете}, B={решка на первой монете}, C = {орел на второй монете}, D = {решка на второй монете}, E = {хотя бы один орел}, F = {хотя бы одна решка}, G = {один орел и одна решка}, H = {ни одного орла}, K = {два орла}.

Определить, каким событиям этого списка равносильны следующие события: 1) A+C; 2) EF; 3) G+K; 4) BD.

Классическое определение вероятности

1. Телефонный номер состоит из 6 цифр. Какова вероятность, что в нем: а) все цифры различны; б) все цифры нечетные; в) все цифры различны и четные?

2. Бросают две игральные кости. Найти вероятность того, что выпадет: а) одинаковое число очков; б) различное; в) сумма выпавших очков не менее 9, г) сумма выпавших очков четная, причем на грани одной из костей появится шестерка, д) произведение выпавших очков четное.

3. Какова вероятность того, что в выбранном наудачу трехзначном числе цифры: а) одинаковые; б) различные.

4. Какова вероятность, что при подбрасывании трех монет выпадет три орла?

5. Участник лотереи "Спортлото" из 49 названий видов спорта (обозначенных числами от 1 до 49) должен назвать 6. Полный выигрыш получает тот, кто правильно укажет все шесть названий. Выигрыш получат и те, кто угадает не менее трех названий. Вычислить вероятности а) полного выигрыша в спортлото; б) получить выигрыш в спортлото.

6. В лифт восьмиэтажного дома на первом этаже входят 5 человек. Независимо от других каждый может выйти с равными шансами на любом этаже, начиная со второго. Какова вероятность, что а) все выйдут на четвертом этаже; б) все пятеро выйдут на одном и том же этаже; в) все пятеро выйдут на разных этажах; г) все выйдут на девятом этаже?

7. Для доступа в компьютерную сеть оператору необходимо набрать пароль из 4 цифр. Оператор забыл код. Сколько всевозможных комбинаций он может составить для набора пароля, если цифры в коде: а) не повторяются; б) повторяются?

8. Из колоды, насчитывающей 36 карт, наугад извлекаются 4 карты. Какова вероятность следующих событий: А={среди них окажется туз пик}; В={среди них окажется ровно один туз}; С={среди них окажутся ровно две бубновые карты}; D={среди них окажется хотя бы одна бубновая карта}, E ={2 туза ,1 дама}, F={все карты одной и той же масти}, G={хотя бы 1 туз}, K={король и дама червовой масти}, М={один король и одна дама}, L={карты красной масти}?

9. Колода из 52 карт раздается поровну четверым игрокам. Найти вероятность того, что: а) у каждого из игроков окажется по одному тузу; б) у одного из игроков все тринадцать карт будут одной масти; в) у каждого из игроков будут все карты от двойки до туза.

10. В бригаде 4 женщины и 3 мужчины. Среди членов бригады разыгрываются 4 билета в театр. Какова вероятность событий A={среди обладателей билетов окажется одна женщина}, В={билеты получат одинаковое число мужчин и женщин} и C={в театр пойдут только мужчины}?

11. Отдел рекламы решил поместить объявления в газетах. Денежных средств хватает только на 15 объявлений (в городе всего 25 газет). Сколько существует способов случайного отбора газет для помещения объявлений? Какова вероятность того, что в число отобранных попадут 15 газет, имеющих наибольший тираж?

12. Студент пришел на экзамен, зная 20 из 25 вопросов. Экзаменатор задал ему 3 вопроса. Найти вероятности событий А={студент знает ответы на все вопросы} и В={студент ответил только на две вопроса}.

13. В шахматном турнире участвуют 20 человек, которые по жребию распределяются в 2 группы по 10 человек. Найти вероятность того, что а) двое наиболее сильных игрока будут играть в разных группах, б) четверо наиболее сильных попадут по два в разные группы.

14. Пятитомное сочинение расположено на полке в случайном порядке. Найти вероятности событий А={тома стоят в должном порядке (упорядочены либо в порядке возрастания, либо в порядке убывания)} и B={первый и последний тома окажутся стоящими рядом}.

15. 12 студентов, среди которых Иванов и Петров, случайным образом занимают очередь за учебниками в библиотеку. Какова вероятность, что между Ивановым и Петровым в образовавшейся очереди окажутся ровно 5 человек?