Многомерные случайные величины.

1. В продукции завода брак вследствие дефекта А составляет 3%, а вследствие дефекта В – 4,5%. Годная продукция составляет 95%. Найти коэффициент корреляции дефектов А и В.

2. При одном выстреле стрелок попадает в мишень с вероятность 0,2. Случайная величина Х равна количеству попаданий после трех выстрелов, а случайная величина Y равна единице, если при первом выстреле произошло попадание, и равно нулю иначе. Найти коэффициент корреляции величин X и Y.

3. Дважды бросается игральный кубик. Случайные величины: X – число появления шестерки, Y – число появления четной цифры. Выяснить, зависимы ли эти случайные величины?

4. Закон распределения системы случайных величин (X, Y) дискретного типа определяется следующей таблицей

Y X	1	3
0	0,1	0,35
1	0,2	0,1
2	0,2	0,05

а) Найти безусловные законы распределения отдельных компонент X,Y.

б) Установить, зависимы или нет компоненты X и Y?

в) Вычислить вероятности P(X = 1, Y = 3) и P(X > Y).

г) Найти M[X], M[Y].

д) Вычислить коэффициент линейной корреляции между X и Y.

е) Найти условный закон распределения случайной величины X при условии Y=3, условное математическое ожидание М[X|Y = 3].

5. Закон распределения системы случайных величин (X, Y) дискретного типа определяется следующей таблицей

Y X	-1	0	1
1	0,15	0,3	0,35
2	0,05	0,05	0,1

а) Найти безусловные законы распределения отдельных компонент X,Y.

б) Установить, зависимы или нет компоненты X и Y?

в) Вычислить вероятности P(X = 2, Y = 0) и P(X > Y).

г) Найти M[X], M[Y].

д) Вычислить коэффициент линейной корреляции между X и Y.

е) Найти условный закон распределения случайной величины Y при условии X=1, условное математическое ожидание М[Y|X=1].

Статистическая обработка наблюдений.

В задачах 12.1-12.3 вычислить выборочные среднее, дисперсию, моду и медиану выборок.

1. 1; 2; 3; 4; 5; 5; 9.

2. 7; 3; 3; 6; 4; 5; 1; 2; 1; 3.

3. 3,1; 3,0; 1,5; 1,8; 2,5; 3,1; 2,4; 2,8; 1,3.

4. Как изменятся выборочные среднее, мода и дисперсия выборки, если каждый член выборки: а) увеличить на число d; б) увеличить в k раз.

5. На одном из участков шоссе было проведено измерение средней скорости движения автомобилей. Результаты были сведены в следующую таблицу:

Скорость	61-65	65-69	69-73	73-77	77-81
Количество автомобилей	1	4	5	8	14

Вычислить выборочные характеристики.

6. Студентам был предложен тест из 24 вопросов. По числу правильных ответов студенты распределились следующим образом:

Количество верных ответов	10-12	12-14	14-16	16-18	18-20	20-22	22-24
Количество студентов	2	4	8	12	16	10	3

Провести первичный анализ данных.

7. Оценить регрессию накоплений от дохода на основе бюджетного обследования пяти случайно выбранных семей (в 10² рублей):

   Семья	1	2	3	4	5
   Накопления	3	6	5	3.5	1.5
   Доход	40	55	45	30	30

8. На основе бюджетного обследования шести случайно выбранных семей (в 10² рублей), оценить регрессию накоплений от стоимости приобретенного имущества.

   Семья	1	2	3	4	5	6
   Накопления	3	6	5	3.5	1.5	3
   Стоимость приобретенного имущества	60	36	36	50	90	65

9. Оценить регрессию производительности труда от среднего возраста работников на основе обследования шести случайно выбранных промышленных предприятий:

Предприятие	1	2	3	4	5	6
Производительность труда (т/ч)	22	24	28	30	31	28
Средний возраст работников (лет)	33	31	41	39	46	39

10. Оценить регрессию цены продажи бензина от стоимости нефти по результатам пяти торгов:

    Торги	1	2	3	4	5
    Цена продажи бензина ($ за галлон бензина)	1.2	1.1	0.8	1.5	1
    Стоимость нефти ($ за баррель нефти)	7	5	4	7	6

11. Оценить регрессию стоимости ущерба, нанесенного пожаром, от расстояния до ближайшей пожарной станции на основе данных о пяти случаях пожаров:

    №п/п	1	2	3	4	5
    Общая сумма ущерба (тыс.руб.)	26	17	31	36	33
    Расстояние до ближайшей пожарной станции (км)	4	2	5	6	4

12. На основе данных о шести почтовых отправлениях корреспонденции экспресс-почтой, приведенных ниже, оценить регрессию стоимости доставки корреспонденции от ее веса.

№п/п	1	2	3	4	5	6
Общая стоимость доставки корреспонденции (у.е.)	27	20	23	28	23	20
Вес конверта (кг)	0.8	0.1	0.5	0.9	0.7	0.5