Формулы полной вероятности и формула Байеса

1. Студент выучил 20 вопросов из 30. В каком случае вероятность сдать экзамен больше, если он пойдет сдавать первым или третьим по счету? (Билеты не возвращаются обратно).

2. Известно, что 5% мужчин и 0,25% женщин – дальтоники. Наудачу выбранное лицо – дальтоник. Какова вероятность того, что это мужчина? (Считать, что мужчин и женщин одинаковое количество).

3. Чтобы найти нужную книгу, студент решил обойти 3 библиотеки. Для каждой библиотеки одинаково вероятно, есть в фондах эта книга или нет, и если книга есть в фондах, то с вероятностью 0.5 она не занята другим читателем. Какова вероятность того, что студент найдет книгу, если известно, что библиотеки комплектуются независимо одна от другой?

4. В продажу поступают телевизоры трех заводов. Продукция первого завода содержит 20% телевизоров со скрытым дефектом, второго – 10% и третьего – 5%. Какова вероятность приобрести исправный телевизор, если в магазин поступило 30% телевизоров с первого завода, 20% – со второго и 50% – с третьего?

5. В группе из 10 студентов, пришедших на экзамен, 3 подготовлены отлично, 4 – хорошо, 2 – посредственно и 1 – плохо. В экзаменационных билетах имеется 20 вопросов. Отлично подготовленный студент может ответить на все 20 вопросов, хорошо подготовленный – на 16, посредственно – на 10, плохо – на 5. Вызванный наугад студент ответил на три произвольно задан­ных вопроса. Найти вероятность того, что этот студент подготовлен: а) отлично; б) плохо.

6. Известно, что 34% людей имеют первую группу крови, 37% – вторую, 21% – третью и 8% – четвертую. Больному с первой группой можно переливать только кровь первой группы, со второй – кровь первой и второй групп, с третьей – кровь первой и третьей групп, и человеку с четвертой группой можно переливать кровь любой группы. Какова вероятность, что произвольно взятому больному можно перелить кровь произвольно выбранного донора?

7. В специализированную больницу поступают в среднем 50% больных с заболеванием К, 30% с заболеванием L, 20% с заболеванием M. Вероятность полного излечения болезни К равна 0,7; для болезни L и M эти вероятности соответственно равны 0,8 и 0,9. Больной, поступивший в больницу, был выписан здоровым. Найти вероятность того, что этот больной страдал заболеванием К?

8. При перевозке ящика, в котором содержалось 21 стандартная и 10 нестандартных деталей, одна деталь была утеряна. Наудачу достали одну деталь, которая оказалась стандартной. Найти вероятность того, что была утеряна стандартная деталь.

9. По самолету производится 3 выстрела. Вероятность попадания при первом выстреле равна 0,5, при втором – 0,6, при третьем – 0,8. При одном попадании самолет сбивается с вероятностью 0,3, при двух – с вероятностью 0,6 и при трех – сбивается наверняка. Найти вероятность того, что самолет сбит.

10. В сосуд, содержащий 3 одинаковые по форме шара, брошен белый шар. После этого наудачу достают один шар. Какова вероятность того, что шар окажется белым, если равновозможны все возможные предположения о первоначальном составе шаров по цвету. Шары могут быть либо белые, либо черные.

11. В первой группе учится 20 студентов, из которых 5 юношей и 15 девушек; во второй группе – 25 студентов, из которых 10 юношей и 15 девушек. Из наугад выбранной группы выбрали дежурного. Найти вероятность того, что дежурный – юноша.

12. В первой урне 4 белых и 6 черных шара, во второй урне 5 белых и 5 черных шара. Из наугад выбранной урны достают один шар. Найти вероятность того, что он окажется белым.

13. Число грузовых автомашин, проходящих по шоссе, на котором стоит бензоколонка, относится к числу легковых автомашин как 4:5. Вероятность того, что будет заправляться грузовая автомашина, равна 0,2. Для легковой машины эта вероятность равна 0,3. К бензоколонке подъехала для заправки машина. Найти вероятность того, что это грузовая машина.