Утверждение

Пусть ряд (1) имеет радиус сходимости R>0. Прежде всего, можно утверждать, что какое бы положительное число r<R ни взять, ряд (1) будет сходиться равномерно относительно x в замкнутом промежутке [-r,r].

Доказательство:

Действительно, так как r<R, то при x=r ряд (1) сходится абсолютно, то есть сходится положительный ряд:

_∞

∑|a_n|rⁿ = |a₀|+|a₁|r+ |a₂|r²+…+|a_n|rⁿ+… (2)

ⁿ⁼⁰

При |x|≤r члены ряда (1) по абсолютной величине не превосходят соответствующих членов этого ряда, который, таким образом, играет роль мажорантного ряда, и, по признаку Вейерштрасса, ряд (1) для указанных значений x сходится равномерно.

Хотя число r и может быть взято сколь угодно близким к R, но из доказанного все же не вытекает равномерная сходимость в промежутке [-R,R].

Теорема Абеля

Если степенной ряд (1) сходится и при х=R (хотя бы и неабсолютно), то сходимость ряда будет необходимо равномерной во всем промежутке [0,R].

Доказательство:

Действительно, если представить ряд (1) в виде

_{∞ ∞}

∑a_nxⁿ =∑a_nRⁿ (х/R)ⁿ (0≤x≤R),

^{n=0 n=0}

то требуемое заключение непосредственно вытекает из признака Абеля, так как ряд ∑a_nRⁿ сходится равномерно (так как х-ов нет), а множители (х/R)ⁿ образуют монотонную и равномерно ограниченную последовательность

1≥(х/R)≥ (х/R)²≥…≥(х/R)ⁿ≥(х/R)ⁿ⁺¹≥…

[Признак Абеля: пусть ряд ∑b_n(x) сходится равномерно в области Х , а функции a_n(x) образуют монотонную последовательность и в совокупности – при любых х и n ограничены: |a_n(x)|≤K. Тогда ряд ∑a_n(x)b_n(x) сходится равномерно в области Х.]

Следствие

Если степенной ряд (1) сходится и при х=R (хотя бы и неабсолютно), то его сумма сохраняет непрерывность и при этом значении х (разумеется, слева), то есть f(x)= ∑a_nxⁿ непрерывна на [0,R]. Или

_{∞ ∞}

Lim ∑a_nxⁿ =∑a_nRⁿ

^{x→R-0 0 0}

3.12

Аналитическая функция (единственность). Ряд Тэйлора.

Функция f(x) называется аналитической, если ее можно представить степенным рядом:

_∞

f(x)=∑a_n(x-x₀)ⁿ

ⁿ⁼⁰

Утверждение

Представление аналитической фкнкции в виде степенного ряда единственно вокруг окрестности данной точки.

Доказательство:

Предположим, что одна и та же функция разлагается двумя способами

_{∞ ∞}

f(x)=∑a_n(x-x₀)ⁿ f(x)=∑с_n(x-x₀)ⁿ

_∞ ^{n=0 n=0}

Лемма: пусть дан ряд ∑a_nxⁿ =S_n(x)+r_n(x), тогда r_n(x)=о(хⁿ).

ⁿ⁼⁰

Д-во: докажем, что lim r_n(x)/ хⁿ =о

^x->0

r_n=a_n+1xⁿ⁺¹+a_n+2xⁿ⁺²+….

r_n(x)/ хⁿ = a_n+1x+a_n+2x²+….

Мы получили степенной ряд, следовательно можно переходить к пределу при х->0: _x->0

r_n(x)/ хⁿ--->0

Доказана.

a₀+a₁(x-x₀)+ a₂(x-x₀)²+…+a_n(x-x₀)ⁿ+…= с₀+с₁(x-x₀)+ с₂(x-x₀)²+…+с_n(x-x₀)ⁿ+…

И правая, и левая части равенства непрерывны, поэтому можно переходить к пределу при х->х₀, получим, что с₀=а₀.

Методом индукции: пусть для n доказано, что все с_n’=а_n’, где n’≤n.

При n+1 получим:

a₀+a₁(x-x₀)+ …+a_n(x-x₀)ⁿ+ a_n+1(x-x₀)ⁿ⁺¹+r_n+1(a_n+1,x)= с₀+с₁(x-x₀)+…+с_n(x-x₀)ⁿ+ +с_n+1(x-x₀)ⁿ⁺¹+ r_n+1(c_n+1,x)

a_n+1(x-x₀)ⁿ⁺¹+r_n+1(a_n+1,x)= с_n+1(x-x₀)ⁿ⁺¹+ r_n+1(c_n+1,x)

a_n+1+ r_n+1(a_n+1,x)/ (x-x₀)ⁿ⁺¹= с_n+1+ r_n+1(c_n+1,x)/ (x-x₀)ⁿ⁺¹

В пределе при х->х₀ (по доказанной лемме): с_n+1=а_n+1.

Доказано.

3.13

Разложение элементарных функций в степенной ряд (е^х, sin x, (1+x)^m, ln(1+x))

Функцию f(x) можно представить степенным рядом, если она аналитическая (если она разлагается в ряд Тэйлора по степеням х-х₀).

_∞

f(x)=∑a_n(x-x₀)ⁿ = a₀+a₁x+ a₂x²+…+a_nxⁿ+… (1), где

ⁿ⁼⁰

a₀= f(x₀) a₁ =f’(x₀) /1! a₂ =f’’(x₀) /2! … a_n=f⁽ⁿ⁾(x₀) /n!

Для того чтобы при некотором значении х действительно имело место разложение функции в степенной ряд, в ряд Тэйлора, необходимо и достаточно, чтобы дополнительный член r_n(x) формулы Тэйлора – при этом значении х – стремился к 0 с возрастанием n.

r_n(x)=f ⁽ⁿ⁺¹⁾ (ζ)(x-x₀)ⁿ⁺¹/(n+1)! –форма Лагранжа, ζ из (х,х₀) (2)

r_n(x)=f ⁽ⁿ⁺¹⁾ (ζ)(x-ζ)ⁿ (x-x₀)/n! –форма Коши (3)

е^х: е^х=1+x /1!+ x² /2!+…+xⁿ /n!+…, (4)

sin x: sin x=x-x³/3!+x⁵/5!- +(-1)^k-1 x^2k-1/(2k-1)!+… (5)

ln(1+x): ln(1+x)=x-x²/2+x³/3-…+(-1)^n-1 xⁿ/n+… (6)

Ряд сходится лишь для значений х в промежутке (-1;1] (по признаку Даламбера, ряд сходится, если |x|<1, и расходится при |x|>1, при х=-1 получается расходящийся гармонический ряд, при х=1 получаем ряд Лейбница). Значит только для этих значений и имеет смысл исследовать поведение дополнительного члена r_n(x).

Возьмем его сначала в форме Лагранжа (2). Так как

f⁽ⁿ⁺¹⁾(x)=(-1)ⁿ ·n!/(1+x)ⁿ⁺¹

то r_n(x)=(-1)ⁿ ·n!/(1+ζ)ⁿ⁺¹ · xⁿ⁺¹/(n+1)!=(-1)ⁿ ·xⁿ⁺¹/(1+ζ)ⁿ⁺¹ ·(n+1)

Если х из[0,1], то последний множитель не превосходит единицы, тогда

|r_n(x)|≤1/(n+1) тогда r_n(x)→0 (при n→∞)

Но при х<0 поведение этого множителя становится неясным, и приходится прибегнуть к форме Коши дополнительного члена.

r_n(x)= )=(-1)ⁿ ·n! (x-ζ)ⁿ (x-x₀)/n!·( 1+ζ)ⁿ⁺¹=(-1)ⁿ · (x-ζ)ⁿ (x-x₀)/( 1+ζ)ⁿ⁺¹

|r_n(x)|≤|x|ⁿ⁺¹ /(1-|x|)·1/(1+ζ)ⁿ

При х>-1 последний множитель меньше 1, тогда только при |x|<1, заведомо r_n(x)→0.

(1+x)^m: (1+x)^m=1+mx+m(m-1)x²/(1· 2)+…+m(m-1)…(m-n+1)xⁿ/(1· 2 ·…· n)+…, m<>0 (7)

Этот ряд называют биномиальным, а его коэффициенты – биномиальными.

По признаку Даламбера, при |x|<1 ряд сходится абсолютно, а при |x|>1 расходится. Исследование дополнительного члена будем производить в предположении, что |x|<1, причем сразу возьмем его в форме Коши (форма Лагранжа дает ответ не при всех х).

f⁽ⁿ⁺¹⁾(x)= m(m-1)…(m-n+1)(m-n)(1+x)^m-n-1

r_n(x)= m(m-1)…(m-n+1)(m-n)(1+ζ)^m-n-1 (x-ζ)ⁿ (x-x₀)/n!

r_n(x)= (m-1)…(m-n+1)((m-1)-n+1) / n! · m(x-ζ)ⁿ (1+ζ)^m-1 · (x-x₀)/(1+ζ)ⁿ

Первое произведение представляет собой общий член биномиального ряда при показателе m-1, так как при |x|<1 биномиальный ряд сходится, каков бы ни был показатель, то это выражение при а→∞ стремится к нулю. Второй множитель по абсолютной величине содержится между границами

|mx|(1-|x|)^m-1 |mx|(1+|x|)^m-1

_{Ни зависящими от n, а третье меньше 1. То есть rn(x)→0 для |x|<1 верно разложение (7)}