27. Означення поняття теорії диференц. Рівнянь: порядок, розв’язок, загальний розв’язок, інтегральна крива, початкові умови, задача Коші.

Звичайним диф. рівнянням 1-го порядку (ЗДРПП) наз. рівняння, що містить як невідому похідну шуканої функції у(х), та можливо саму функцію у(х) і її аргумент х.

Частковим розв’язком ЗДРПП наз. функція, що визначена, неперервна і має неперервну похідну для всіх х з множини Х, якщо при підстановці її диф. р-ня перетворюється в тотожність відносно х.

Сукупність всіх часткових розв’язків наз. загальним розв’язком, який визначає однопараметричну сім’ю функцій. В загальному випадку ЗДРПП можна записати :

Функція F вважається неперервною функцією трьох аргументів, – функція, що задається неявно і якщо виконуються умови існування неявної функції, то диф. р-ня можна записати так:

Так, як розв’язок диф. р-ня – це функція, то можна побудувати графік його розв’язку. Графік розв’язку диф. р-ня наз. інтегральною кривою, сам процес розв’язування диф. р-ня наз. ще інтегруванням диф. р-ня.

Оскільки математика характеризується несуперечливістю, доводжуваністю, послідовністю викладок, однозначністю, то для визначення розв’язку р-ня треба мати ще додаткову умову, що наз. початковою.

Задача визначення єдиного розв’язку наз. задачею Коші: з множини всіх розв’язків диф. р-ня вибрати той розв’язок, що задов. початковій умові. Геометрично вона означає: з множини всіх інтегральних кривих вибрати ту, що проходить через т. М₀(х₀,у₀) .

Якщо розв’язок диф. р-ня представлений через інтеграли, то кажуть, що він заданий у квадратурах.

28. Диф. Рівняння з відокремлюваними змінними, лінійні рівняння та рівняння, що зводяться до них.

Загальний вид диф. рівняння з відокремлюваними змінними:

. Коефіцієнти при dx і dy є добутком функцій, що залежать лише від х і лише від у.

Ідея розв’язування цього рівняння: його треба перетворити за допомогою арифметичних дій так, щоб 1-ий доданок був функцією лише від х, а 2-ий – лише у.

Домножимо р-ня на: 1/(Q(y)*M(x)).

остання рівність – загальний розв’язок записаний у квадратурах.

Розв’язуємо це функціональне рівняння: перевіряємо чи будуть його розв’язки розв’язками диф. р-ня. Якщо будуть, то визначаємо, чи одержуються вони з загального при деяких значеннях с. Якщо одержуються, то це часткові розв’язки, якщо ні – особливі.

Диф. р-ня виду: наз. лінійним диф. р-ням 1-го порядку. Воно розв’язується методом Бернулі та Лагранжа.

Метод Бернулі: шукаємо розв’язок у(х) у виді добутку двох функцій Маємо:

Отримали розв’язок:

Ідея методу Лагранжа: щоб шукати заг. розв’язок р-ня (*) у виді але вважати, що с – не є сталою величиною, а функцією від х і підбирати с(х) так, щоб отримати розв’язок:

Рівняння виду наз. рівнянням Бернулі, яке зводиться до лін. диф. р-нь, а його загальний розв’язок задається формулою:

29. Однорідні диф. р-ня та р-ня в повних диференціалах.

Функція f(x,y) наз. однорідною функцією k-го степеня, якщо Диф. рівняння наз. однорідним диф. рівнянням, якщо права частина є однорідною функцією 0-го степеня

Так як умова (3) виконується для то зокрема і диф. рівняння (2) можна записати: Вид правої частини підказує заміну або

Отримали загальний інтегральний розв’язок з відокремленими змінними. Обчислюємо неозначений інтеграл і замість z підставляємо якщо можна визначити у, якщо ні, то отримуємо загальний розв’язок у неявному виді.

Розв’язуємо це функціональне рівняння. Обернену заміну виконуємо і перевіряємо, чи будуть одержані розв’язки розв’язками диф. рівняння і які вони часткові чи особливі.

Розглянемо р-ня:

Якщо ліва частина диф. р-ня (*) є диференціалом функції двох змінних, то це р-ня наз. диф. р-ням в повних диференціалах. Справедлива теорема: Для того, щоб р-ня (*) було диф. р-ням в повних диференціалах, необхідно і достатньо, щоб функції M(x,y), N(x,y) були неперервними і мали неперервні часткові похідні і виконувалась умова