1. Математичні методи наукових досліджень і сучасне природознавство. Сучасні тенденції розвитку математичної освіти у середній і вищій школі.

У наш час спектр наукових досліджень у природознавстві незвичайно широкий. Сучасне природознавство – це єдина система, компоненти якої (природничі науки) є настільки тісно взаємозалежними, що випливають друг із друга, тобто представляють справжню єдність. Необхідна для такого природознавства математика починається з найпростіших вимірів. У міру свого розвитку точне природознавство використовує усе більше доконаний арсенал математики. Можна прийти до висновку, що математика – це «цемент», що зв’язує воєдино науки, що входять у природознавство й дозволяє глянути на нього як на цілісну науку. Без логічного апарата математики не обійдеться жодна наука.

Досвід розвитку сучасного природознавства показує, що на певному етапі розвитку природно наукових дисциплін неминуче відбувається їх математизація, результатом якої є створення логічно струнких формалізованих теорій і подальший прискорений розвиток дисципліни.

У прикладних аспектах гуманітарних наук доцільно використовувати математичні методи. Математичний апарат теорії ймовірностей дає можливість вивчати масові явища в соціології, лінгвістиці. Математичні методи відіграють важливу роль при обробці статистичних даних, моделюванні.

Моделювання - метод наукового пізнання, що грунтується на вивченні реальних об'єктів за допомогою вивчення моделей цих об'єктів, тобто за допомогою вивчення більш доступних для дослідження і (або) втручання об'єктів-заступників природного або штучного походження, що володіють властивостями реальних об'єктів.

Математичне моделювання широко використовується там, де експериментальні дослідження трудомісткі і дорогі, або взагалі неможливі (наприклад, у вивченні соціальних явищ). Крім завдання про прогноз, математичне моделювання допомагає класифікувати і систематизувати фактичний матеріал, побачити існуючі зв'язки в мозаїці фактів. Це випливає з того, що модель є специфічним-яскравим і виразною мовою, призначеним для опису для опису досліджуваного об'єкта або явища.

Шкільна математична освіта нашої країни пройшла складний шлях становлення та розвитку. Ця проблема має глибокі історичні корені, пізнання яких може бути корисним на сучасному етапі реформування шкільної математичної освіти.

Особливого розвитку набула шкільна математична освіта в 50 – 60 рр.Створити уявлення про рух реформи того часу допомагають матеріали доповідей Міжнародної комісії з математичної освіти, наданих Московським (1966 р.) міжнародним конгресом математиків. Значну роботу проведено в цей період щодо модернізації шкільної математичної освіти. Важливим чинником діяльності було створення в 1964 році комісії АН СССР і АПН СССР з визначення змісту математичної освіти на чолі з Андрієм Миколайовичем Колмогоровим. Особливу увагу комісією було приділено переходу школи на нові програми. Найважливіші сторони складеної програми з математики для І–ІІІ класів: 1) навчальний предмет арифметика перейменувати на математика; 2) початковій школі повернути чотирирічний термін навчання; 3)у нову програму 1969 року включити набагато більше геометричного матеріалу.

Вилучення з нової програми для ІV–Х класів низки тем можливо розглядати як розвантаження її, але зникають ті питання, які стають провідними в розвитку шкільної математичної освіти. Реформу 60–70-х років у СССР називали «колмогоровською». У цей період діяльність А.М. Колмогорова була занадто інтенсивною. 5 грудня 1978 року розвиток усіх кращих традицій вітчизняної математичної освіти , закладених А.М. Колмогоровим, був перерваний під час обговорення на Відділенні математики АН СССР, проте основні контури, які накреслив академік, збереглися й набувають особливої актуальності в наш час.

Розвиток шкільної математичної освіти за часи незалежності залишається складним і суперечливим. Посилення гуманістичного спрямування змісту природничо-математичної підготовки, про яке йдеться мова в Державній програмі «Освіта» («Україна XXI століття»), у Законі України «Про освіту», у Концепції національної системи освіти ще не через один рік досягне своєї вершини. Система освіти, що існує в Україні, і суспільство в цілому не готові до сприйняття відповідної точки зору на місце математики в навчанні кожного окремого учня. Якою б не була стратегія нової реформи шкільної математичної освіти, вона не може бути успішною без урахування історико-педагогічного досвіду.

Вища математична освіта відіграє особливу роль у підготовці майбутніх спеціалістів у галузі математики, техніки, комп'ютерних та інформаційних технологій, виробництва, економіки, управління як у плані формування певного рівня математичної культури, інтелектуального розвитку, так і в плані формування наукового світогляду, розуміння сутності практичної спрямованості математичних дисциплін, оволодіння методами математичного моделювання. Основні проблеми вищої математичної освіти: 1)зменшення обсягу математичних дисциплін (скорочення кількості годин, що виділяється на математику); 2)розрив між рівнем математичних знань випускників шкіл і вимогами ВНЗ; 3)розрив між рівнем математичних знань випускників ВНЗ і потребами сучасної науки і технологій; 4)недостатнє фінансування освіти з боку держави.

Проблеми, з якими стикаються студенти під час вивчення математичних дисциплін:

- низький рівень базової теоретичної підготовки з математики;

- недостатній рівень практичних умінь та навичок щодо використання цих знань;

- низька мотивація при вивченні дисциплін математичного циклу;

- недостатній рівень навчально-пізнавальної діяльності студентів;

- невміння і небажання студентів працювати самостійно;

- невміння застосовувати математичні знання для формалізації практичних задач та їх розв'язування.

Подолання негативних тенденцій у вищій математичній освіті:

1. Привести у відповідність програми вивчення математики в школі та у ВНЗ. Модернізувати курси вищої математики, наповнивши їх сучасними досягненнями математичної науки, звільнивши їх від рутини і перенісши акцент з питання „як” (розв’язати, обчислити і т.д.) на питання „що” і „навіщо”;

2. Розробити та впровадити методичні системи навчання математичних дисциплін на основі новітніх педагогічних та інформаційно-комунікаційних технологій з використанням навчальних комплексів, електронних підручників та посібників, робочих конспектів для студентів, контролюючих і тренувальних комп’ютерних програмних засобів;

3. У ВНЗ створити єдине освітньо-наукове інформаційне середовище, яке дозволить ефективно використовувати ІКТ для проведення аудиторних, зокрема лабораторних, занять з математики, контролюючих заходів і, особливо, для самостійної роботи студентів денної та дистанційної форм навчання.

2. Філософські проблеми математики в історичному контексті. Формування наукового світогляду при вивченні математики.

Основні філософськи проблеми математики: зв'язок математики з реальністю, проблема обґрунтування математики, проблема існування математичних абстракцій, проблема істинності математичного знання.

Не маючи безпосереднього відношення до реальності, математика не тільки описує цю реальність, але і дозволяє, робити нові цікаві та несподівані висновки про реальність з теорії, яка представлена в математичній формі.

Три кризи в обґрунтуванні математики.

Перша криза відноситься до V ст. до н. е. У цей період, ймовірно, теоретично була усвідомлена проблема обґрунтування математики. Причиною даної кризи стало відкриття несумірних відрізків піфагорійцями, які знали лише позитивні цілі і дробові числа, і апоріями (парадоксами) Зенона Елейського. Стародавні греки, бачачи практичні межі поділу предметів, допускали теоретично нескінченну подільність. Зенон розкрив труднощі, пов'язані з поняттям такої нескінченності. Більшість парадоксів Зенона виходять з уявлення про нескінченну подільність тіла або відрізка, яке спирається на потенційну нескінченність. Зенон в своїх апоріях демонструє, що уявлення про нескінченну подільність тіл є абстракцією, яка спрощує, схематизує дійсні процеси. Суперечності, що породжуються поняттями нескінченності, розкриті Зеноном та іншими давньогрецькими вченими, привели до того, що дослідники стали відмовлятися від використання в математиці нескінченних процесів.

Перша криза була подолана створенням теорії пропорцій і методу вичерпання давньогрецьким математиком і астрономом Євдоксом Кнідським. Дана теорія, що спирається на постулат, який виходить із абстракції потенційної здійсненності, містить у неявному вигляді поняття потенційної нескінченності. Те ж саме можна сказати і про метод вичерпання античної математики. Він, по суті, є не що інше, як прообраз теорії границь, де оперують поняттям потенційної нескінченності.

Друга криза обґрунтування математики відноситься до XVII - XVIII ст. і пов'язана зі створенням аналізу нескінченно малих, диференційного та інтегрального числень. Причиною кризи стало, перш за все, невизначене, розпливчате поняття нескінченно малого, його сутності. Нечіткість в розумінні природи нескінченно малих величин привела до різних суперечностей. Вихід з кризової ситуації був здійснений завдяки розробці теорії меж багатьма математиками, насамперед французьким вченим О. Коші. У цій теорії не фігурує актуально нескінченно мале, воно замінено поняттям граничного переходу. Нескінченно малою величиною тут виступає змінна величина, границя якої дорівнює нулю.

Для обґрунтування надзвичайно великої кількості математичних суджень різних теорій необхідно було редукувати питання про істинність всіх суджень математики до питання про істинність суджень якоїсь однієї теорії та до істинності аксіом цієї теорії. В кінці XIX ст. така редукція мислилася як зведення названого питання до проблеми істинності аксіом теорії множин Г. Кантора. Однак, були виявлені формально-логічні суперечності, які виникли в змістовній теорії множин. Парадокси поставили під сумнів теоретико-множинне обґрунтування математики. З'явилися розбіжності в трактуванні її принципових питань. Стали виникати школи обґрунтування математики (логіцизм, інтуїціонізм, формалізм), які по-різному інтерпретували рішення цієї проблеми. Дана ситуація і склала третю кризу обґрунтування математики.

Математичні абстракції мають свою специфіку, вони відображають не просто властивості, а властивості властивостей, будуючи абстракції більш високого рівня, ніж в інших науках. Виділяють кілька типів абстракцій: ототожнення, ідеалізації, конструктивізації, інтерпретації. Одним з найбільш спірних в історії математики є питання про абстракцію актуальної нескінченності і потенційної здійсненності. У школах обґрунтування математики склалися різні погляди на розуміння абстракції нескінченності.

Особливості математичного пізнання знаходять своє відображення і в розумінні істини в математиці. Істинне математичне положення має задовольняти, принаймні, двом критеріям: по-перше, воно повинно підтверджуватися доказом, по-друге, воно не повинно вносити в теорію протиріччя. Ця обставина зазвичай виражається коротко: положення не повинно бути суперечливим. Після аналізу різних підходів до концепту істини в математики можна прийти до наступного визначення. Математична істина - це методологічний регулятор, який передбачає досягнення гармонії всіх концептуальних модулів математичної теорії.

Під науковим світоглядом розуміють систему поглядів на оточуючий світ, на можливість його пізнання людиною, на ставлення до суспільства і праці. Це система поглядів на природу і суспільні явища, основана на даних науки. Тому систематична робота викладачів різних предметів по формуванню цілісного наукового світогляду у студентів повинна бути спрямована не лише на озброєння науковим розумінням навколишнього світу, але і перетворення цих знань у внутрішні переконання кожного студента.

Можна виділити чотири групи світоглядних ідей математики: методологія, філософія, історія і прикладне значення математики.

Методологія математики вивчає сукупність математичних методів, зв’язок математики з іншими науками, місце математики в системі наук, її внутрішню структуру, методи, які використовуються в дослідженні.

Багато філософських питань математики (проблеми нескінченності, істинності, походження абстракцій) можна розглядати на лекціях. Якщо на заняттях математики будуть залучатись філософські знання, то викладач одержить можливість глибше визначати важливі математичні поняття і вносити свій вклад у формування наукового світогляду студентів.

Використання історизму у навчанні є дієвим та ефективним засобом формування світогляду. Знання основних фактів історії виникнення вихідних понять, основних історичних стимулів розвитку, біографічні відомості про видатних математиків, особливо вітчизняних, знання сучасного стану проблем математики має вплив на ставлення студентів, учнів до предмету, на мотивацію їх навчальної діяльності.