Методы синтеза систем автоматической стабилизацииции и позиционирования

1) по задающему воздействию

1) за задавальним діянням

(

)

0,7

16

w(t )=L-1 {Ф(s)Uз (s)} = L-1

1, 4s + 1

×

=

(1,35s + 1)(0,13s + 1)(0,013s + 1)

s

= L-1 11, 2

.

A

+

B

+

C

+

D

(2.59)

s 1,35s

+ 1

0,13s + 1

0,013s + 1

+ 1,363C + 1,48D = 0;

0,01924A + 0,143B

(2.60)

1, 493A

+ B + C + D

= 0,012;

A =1.

Для решения системы

уравнений

Для вирішення системи рівнянь

пакета MatLab [5]

пакета MatLab [5]

A = 1; B = −1, 495; C = 0,0139 ; D = 9,96 ×10−5 .

Тогда выражение переходной ха-

Тоді вираз перехідної характе-

рактеристики примет вид

ристики набуде вигляду

-1

1

1, 495

0,0139

9,96 ×10

−5

ω(t ) = L

11, 2

−

+

+

=

1,35s + 1

0,13s

+ 1

0,013s

s

+ 1

=11, 2(1 -1,115e−0,74t + 0,107e−7,74t + 0,008e−75,48t ).

(2.61)

График переходной характеристики

Графік перехідної характеристики

показан на рис. 2.13.

показано на рис. 2.13.

2) по возмущающему воздействию

2) за збурним діянням

w(t )=L-1 {Фf (s)Mc (s)} =

w(t )=L-1 {Фf (s)Mo (s)} =

-1

407, 4(

3, 2s +

1)

2

(0,012s + 1)

0,002

= L

-

×

=

(1,35s + 1)(0,8s + 1)(0,13s + 1)(0,025s + 1)(0,013s + 1)

s

A

B

C

D

G

H

= L-1 -0,83

+

+

+

+

+

. (2.62)

0,8s +

0,025s + 1

s

1,35s + 1

1

0,13s + 1

0,013s + 1

3,7 ×10−5 A + 2,8 ×10−5 B + 4,7 ×10−5 C + 3 ×10−4 D + 2 ×10−3 G + 2,7 ×10−3 H = 0;

5 ×10−3 A + 3,68 ×10−3 B + 6,19 ×10−3 C + 0,036D + 0,159G + 0,166H = 0;

+ 0,135B + 0, 225C + 1,151D + 1,391G + 1,4H = 0,123;

(2.63)

0,186A

1, 435A + 0,963B + 1,513C + 2,183D + 2, 294G + 2,3H =10,32;

+ B + C + D + G + H = 6,412; A =1.

2,313A

Для

решения системы уравнений

Для розв’язання системи

рівнянь

пакета MatLab [5]:

пакета MatLab [5]:

A = 1; B = −7 ; C = 12,86 ; D = −1,79 ; G = -1,94 ×10−3 ; H = 0,035 .

Тогда выражение переходной

Тоді

вираз

перехідної

характеристики по возмущающему

характеристики

за збурним діянням

воздействию примет вид

набуде вигляду

-1

1

7

12,86

1,79

1,94 ×10

−3

0,035

w(t ) = L

-0,83

-

+

-

-

+

=

1,35s + 1

0,8s + 1

0,13s + 1

0,019s + 1

0,014s + 1

s

График переходной характеристики

Графік перехідної характеристики

показан на рис. 2.14.

показано на рис. 2.14.

б

Рис. 2.14. Переходная характеристика

Рис. 2.14. Перехідна характеристика

САС по возмущающему воздействию:

САС за збурним діянням:

а – Mc (t ) ; б – w(t )

а – Mo (t ) ; б – w(t )

Определим

показатели

качества

Визначимо показники якості сис-

системы

по

переходным

теми за перехідними характеристи-

характеристикам:

ками:

1) по задающему воздействию:

1) за задавальним діянням: стала

установившаяся

ошибка

δуст = 1,9 % ;

похибка

δст = 1,9

%;

час перехідного

время переходного процесса tпп = 0,3 c ;

процесу

tпп = 0,3 c ;

перерегулювання

перерегулирование σ = 1,9 %;

σ = 1,9 %;

2) по возмущающему воздействию:

1) за збурним діянням: стала

установившаяся

ошибка

δуст = 6,9

%;

похибка δуст = 6,9

%; час перехідного

время переходного процесса tпп = 1,6

с;

процесу

tпп = 1,6

с;

перерегулювання

перерегулирование σ = 43,5 %.

σ = 43,5 %.

Динамические показатели качества

Динамічні

показники

якості

переходного процесса по

возмущаю-

перехідного процесу за

збурним

щему воздействию

не

удовлетворяют

діянням не задовольняють потрібним.

требуемым. Кроме того, передаточная

Крім того, передавальна функція КЕ

функция КЭ имеет третий порядок, что

має третій порядок, що ускладнює

усложняет практическую реализацию в

практичну

реалізацію

у

вигляді

виде электрической схемы набора на

електричної

схеми

набору

на

лабораторном стенде.

лабораторному стенді.

Для

обеспечения

требуемых

Для

забезпечення

потрібних

показателей

качества

и

упрощения

показників

якості

і

спрощення

структуры КЭ внесем такие изменения в

структури КЕ внесемо такі зміни до

желаемую ЛАЧХ (рис. 2.15):

бажаної ЛАЧХ (рис. 2.15):

1) увеличим коэффициент передачи

1)

збільшимо коефіцієнт передачі

корректирующего элемента до величи-

коригувального елемента до величини

ны кк = 35 ,

что

позволит

уменьшить

кк = 35 , що

дозволить

зменшити

час

время переходного процесса;

перехідного процесу;

2)

продлим

среднечастотную

2)

продовжимо середньочастотну

асимптоту желаемой ЛАЧХ до пере-

асимптоту бажаної ЛАЧХ до перетину

сечения

с низкочастотной

асимптотой

з низькочастотною асимптотою наявної

располагаемой

характеристики. Это

характеристики. Це дозволить змен-

позволит уменьшить изменение наклона

шити зміну нахилу ЛАЧХ КЕ в низько-

ЛАЧХ КЭ в низкочастотной области а,

частотній області а, отже, і порядок

следовательно, и порядок его пере-

його передавальної функції;

даточной функци;

3)

в

высокочастотной области

3)

у

високочастотній

області

желаемую ЛАЧХ оставим параллельной

бажану ЛАЧХ залишимо паралельною

располагаемой.

наявній.

По графику Lк (ω) определяем час-

За графіком Lк (ω) визначаємо

тоты сопряжения и постоянные времени

частоти сполучення та сталі часу КЕ:

КЭ:

lg ωк1 = −0,6 дек; lg ωк2 = 0,1 дек;

ω

= 10−0,6

= 0,25 рад/с; ω

= 100,1 = 1,26 рад/с;

к1

к2

Tк1 =

1

= 4

с; Tк2

=

1

= 0,8 с.

0, 25

1,26

Записываем

передаточную

Записуємо передавальну функцію

функцию корректирующего элемента:

коригувального елемента:

W

(s) =

Uк (s)

=

кк (Tк2s + 1)

=

35(0,8s + 1)

.

(2.65)

к

U (s)

Tк1s + 1

4s + 1

=

35

(0,8s + 1)

×

2,2

=

77

.

(2.66)

4s + 1

(0,8s + 1)(0,025s + 1)

(4s + 1)(0,025s + 1)

б

Рис. 2.15. Логарифмические

Рис. 2.15. Логарифмічні амплітудно-

амплитудно-частотные характеристики:

частотні характеристики:

Lp – располагаемая; Lж – желаемая;

Lн – наявна; Lб – бажана;

Lк – корректирующего элемента

Lк – коригувального елемента

Умножим и

разделим выражение

Помножимо і розділимо

вираз

(2.66) на комплексно-сопряженные

(2.66) на комплексно-сполучені

зна-

знаменателю множители:

меннику множники:

W ( jw) =

Uтг ( jw)

=

W ( jw) =

Uтг ( jw)

=

ж

Uз ( jw)

Б

U

з ( jw)

=

77

×

(-4 jw + 1)(-0,025 jw + 1)

=

(4 jw + 1)(0,025jw + 1)

(-4 jw + 1)(-0,025 jw + 1)

=

77(-0,1w2 - 4,025jw + 1)

,

(2.67)

(16w2 + 1)(6, 25 ×10−4 w2 + 1)

где вещественная часть

де дійсна частина

U (w) =

77(-0,1w2 + 1)

(2.68)

(16w2 + 1)(6,25 ×10−4 w2 + 1)

и мнимая часть

і уявна частина

77

(-4,025w)

V (w) =

.

(2.69)

(16w2 + 1)(6, 25 ×10−4 w2 + 1)

= -arctg

4,03ω

.

(2.70)

2

1

- 0,1w

По

уравнению

(2.82) построим

За

рівнянням

(2.70) побудуємо

ЛФЧХ желаемой разомкнутой системы

ЛФЧХ

бажаної

розімкненої системи

(см. рис. 2.14).

(див. рис. 2.14).

Запишем ещё

раз передаточные

Запишемо

ще

раз

передавальні

функции замкнутой скорректированной

функції

замкненої

скоригованої

системы

по

задающему

и

системи за задавальним і збурним

возмущающему воздействиям:

діяннями:

=

кпр

,

(2.71)

a

2

s2

+ a s + a

0

1

где

де

a2 = Tк1Tм ;

a1 = Tк1 + Tм ;

a0 = 1 + кртр ;

a0 = 1 + крп ;

кпр = кккумкд;

кпр = кккппкд;

кртр = кккумкдктг ;

крп = кккппкдктг ;

Фскf (s) =

W(s)

=

Фскf (s) =

W(s)

=

Mc (s)

Mo (s)

Wf

(s)

Wf

(s)

=

д

=

=

д

=

1 + W

(s) W

(s) W (s) W

(s)

1 + W

(s) W

(s)W

(s) W

(s)

к1

ум

д

тг

кf (T

s + 1)

к1

пп

д

тг

=

д

к1

,

(2.72)

a

3

s3

+ a

2

s2 + a s + a

0

1

где a3 = Tк1TэмTм ;

де a3 = Tк1TEмTм ;

a2 = Tэм (Tк1 + Tд2 ) + Tк1Tм ;

a2 = TEм (Tк1 + Tд2 ) + Tк1Tм ;

a1 = Tэм (1 + кртр ) + Tк1 + Tм ;

a1 = TEм (1 + крп ) + Tк1 + Tм ;

a0 = 1 + кртр .

a0 = 1 + крп .

После подстановки в (2.66), (2.67)

Після підстановки у (2.71), (2.72)

числовых

значений

параметров

числових значень параметрів отри-

получим

W(s)

маємо

Ф(s) =

=

1288

;

(2.73)

Uз (s)

0,1s2 + 4,025s + 78

W(s)

W(s)

Фскf (s) =

=

Фскf (s) =

=

Mo (s)

Mc (s)

2, 2 ×104 (4s + 1)

= -

.

(2.74)

(0,8s + 1)(0,1s2 + 4,025s + 78)

Найдем корни характеристических

Знайдемо

корені

характеристи-

уравнений

передаточных

функций

чних

рівнянь

передавальних

функцій

(2.73), (2.74). Для этого воспользуемся

(2.73), (2.74). Для цього скористаємося

функцией roots(p) пакета MatLab [5]:

функцією roots(p) пакета MatLab [5]:

1) корни (2.73)

1) корені (2.73)

s1 = −20,13 + 19, 44 j; s2 = −20,13 − 19,44 j ;

(2.75)

2) корни (2.74)

2) корені (2.74)

s1 = −20,13 + 19, 44 j; s2 = −20,13 − 19,44 j ; s3 = −1, 25 .

(2.76)

После

преобразования

уравнений

Після перетворення рівнянь (2.73),

(2.73), (2.74) с учетом (2.75), (2.76) к

(2.74) з урахуванням (2.75), (2.76) до

стандартному виду получим

W(s)

стандартного вигляду отримаємо

Фск (s) =

=

16,5

;

(2.77)

Uз (s)

×10−3 s2 + 0,051s +

W(s)

1,3

1

W(s)

Фскf (s) =

=

Фскf (s) =

=

Mo (s)

Mc (s)

(

4s + 1)

= -

282

.

(2.78)

(0,8s + 1)(1,3 ×10−3 s2 + 0,051s + 1)

Сформируем входные задающее и

Сформуємо

вхідні

задавальний і

возмущающее ступенчатые воздействия

збурюючий

ступінчасті

діяння з

с амплитудой в пределах диапазонов

амплітудою

у

межах

діапазонів

линеаризации

статических

лінеаризації

статичних характеристик

характеристик

функциональных

функціональних

елементів

системи:

элементов системы:

Duз = 0,7 ×1( t ) ;

Duз = 0,7 ×1( t ) ; DMo = 0,002 ×1( t ) .

DMc = 0,002 ×1( t ) .

16,5

0,7

w(t )=L-1 {Фск

(s) Uз (s)} = L-1

×

=

×10−3 s2 + 0,051s + 1 s

1,3

-1

A

Bs + C

= L

11,6

+

.

(2.79)

s

1,3 ×10−3 s2 + 0,051s + 1

После

приведения к

общему

Після

приведення до спільного

знаменателю и приравнивания коэффи-

знаменника і прирівнювання коефі-

циентов при одинаковых степенях s в

цієнтів при однакових степенях s у

числителе

(2.79) запишем

систему

чисельнику

(2.79) запишемо систему

алгебраических уравнений

алгебраїчних рівнянь

0,0013A + B = 0;

(2.80)

0,051A + C = 0; A =1.

пакета MatLab [5]:

пакета MatLab [5]:

A = 1; B = −0,0013 ; C = −0,051.

Тогда выражение переходной ха-

Тоді вираз перехідної характе-

рактеристики примет вид

ристики набуде вигляду

График переходной характеристики

Графік перехідної характеристики

показан на рис. 2.16.

показано на рис. 2.16.

Для переходной характеристики по

Для перехідної характеристики за

возмущающему воздействию

збурним діянням

w(t )=L-1

{

Фf

(s)M

c

(s)

=

w(t )=L-1

{

Фf

(s)M

o

(s)

=

ск

}

ск

}

-1

282(4s + 1)

0,002

= L

-

×

=

(0,8s + 1)

(1,3 ×10−3 s2 + 0,051s + 1)

s

-1

A

B

Cs + D

= L

-0,56

+

+

.

(2.81)

×10−3 s2 + 0,051s +

s

0,8s + 1 1,3

1

0,001A + 0,0013B

+ 0,8C = 0;

+ C + 0,8D = 0;

0,0413A + 0,051B

(2.82)

0,851A + B + D = 4;

б

Рис. 2.16. Переходная характеристика

Рис. 2.16. Перехідна характеристика

САС по задающему воздействию:

САС за задавальним діянням:

а – uз (t ) ; б – w(t )

а – uз (t ) ; б – w(t )

пакета MatLab [5]

пакета MatLab [5]

A = 1; B = 3,41; C = −0,0068 ; D = −0, 26 .

Тогда выражение переходной ха-

Тоді вираз перехідної характе-

рактеристики примет вид

ристики набуде вигляду

-1

1

3, 41

0,0068s + 0, 26