Методы синтеза систем автоматической стабилизацииции и позиционирования

зомкнутой системы по задающему

ної системи за задавальним діянням

воздействию W (s) имеет вид

W (s) має вигляд

где к –

коэффициент передачи;

де к –

коефіцієнт передачі;

ν

–

количество

интегрирующих

ν

–

кількість інтегруючих ланок;

звеньев;

Ti , Tj , Tk – сталі часу;

Ti , Tj , Tk – постоянные времени;

ξ j –

коефіцієнт затухання;

ξ j

–

коэффициент затухания;

n –

кількість інерційних ланок;

n –

количество инерционных зве-

m –

кількість коливальних ланок;

ньев;

p

–

кількість форсуючих ланок.

m

–

количество

колебательных

звеньев;

p

–

количество форсирующих зве-

ньев.

Коэффициент

передачи

к в

Коефіцієнт передачі к у виразі

выражении

(4.6)

представляет

собой

(4.6) являє собою добуток коефіцієнта

произведение коэффициента передачи

передачі початкового ОАУ і кори-

исходного ОАУ и корректирующего

гувального елемента кк послідовного

элемента кк последовательного типа.

типу.

Величина кк определяется с

Величина кк визначається з вико-

значении оригинала для ошибки,

чення оригіналу для похибки, спри-

вызванной задающим и возмущающим

чиненої задавальним і збурним діян-

воздействиями:

нями:

uст

= lim

u (t ) = lim

U (s)s = lim Ф u (s) Uз (s)s ≤

uдоп ;

(4.7)

t →∞

s→0

s→0

(пр)

uстf = lim

uf (t ) = lim

Uf (s)s = lim Фf

u (s)F(s)s ≤

uдоп ,

(4.8)

t →∞

s→0

s→0

(пр)

где uст ,

uстf

– статическая ошибка;

де uст ,

uстf

– статична похибка;

uдоп

– допустимое значение

uпp

–

припустиме значення

по-

ошибки;

хибки;

Ф u (s) –

передаточная функция

Ф u (s)

–

передавальна функція

системы для ошибки по воздействию;

системи для похибки за задавальним

діянням;

Фf u (s)

– передаточная функция

Фf u (s) –

передавальна функція сис-

системы для ошибки по возмущаю-

теми для похибки за збурним діянням;

щему воздействию;

Uз (s)

–

изображение входного за-

Uз (s)

–

зображення вхідного зада-

дающего воздействия;

вального діяння;

F(s) –

изображение входного воз-

F(s) –

зображення вхідного збурно-

мущающего воздействия.

го діяння.

Для

систем

автоматической

Для систем автоматичної стабілі-

стабилизации (САС), в структуре кото-

зації (САС), у структурі яких немає

рых

нет

интегрирующих элементов

інтегруючих

елементів

( ν = 0 ), гра-

( ν = 0 ),

предельное неравенство

(4.7)

нична нерівність (4.7) набуде вигляду

примет вид

uз

≤

uдоп ,

(4.9)

1 +

к тр

(пр)

(пт)

где

uз

–

амплитуда ступенчатого за-

де

uз

–

амплітуда

ступінчастого

дающего воздействия;

задавального діяння;

ктр

– требуемое значение коэффи-

кпт

–

потрібне значення

коефі-

циента передачи разомкнутой САС.

цієнта передачі розімкненої САС.

Аналогично для Фf u (s) :

Аналогічно для Фf u (s) :

fкf

≤

uдоп ,

(4.10)

1 + ктр

где

f

–

амплитуда

ступенчатого

де

uз

–

амплітуда ступінчастого збу-

возмущающего воздействия;

рного діяння;

кf

–

коэффициент

передачи

ра-

кf

–

коефіцієнт передачі

розім-

зомкнутой

САС по

возмущающему

кненої САС за збурним діянням.

воздействию.

Для систем автоматического пози-

Для систем автоматичного пози-

ционирования (САП) с одним или

ціонування (САП) з одним або де-

несколькими интегрирующими звенья-

кількома інтегруючими ланками ста-

ми статическая ошибка образуется при

тична

похибка утворюється

при

линейном задающем воздействии и не-

лінійному задавальному діянні і не-

равенство (4.7) примет вид

рівність (4.7) набуде вигляду

vз

≤

uдоп ,

(4.11)

к тр

(пр)

(пт)

где vз –

скорость нарастания линейно-

де vз –

швидкість наростання лінійного

го задающего воздействия и при сту-

задавального діяння і при сту-

пенчатом возмущающем воздействии:

пінчастому збурному діянні

fкf

≤

uдоп .

(4.12)

к тр

(пр)

(пт)

Далее

определяется

желаемая

Далі визначається бажана частота

частота среза разомкнутой системы,

зрізу розімкненої системи, що побічно

косвенно

определяющая

быстро-

визначає швидкодію замкненої САУ,

действие замкнутой САУ, исходя из

виходячи із заданих показників якості

заданных показателей качества систе-

системи.

мы.

Заданными (требуемыми) пока-

Заданими (потрібними) показни-

зателями качества являются макси-

ками якості є максимально припустимі

мально допустимые значения перерегу-

значення перерегулювання σmax і часу

лирования σmax и времени пере-

перехідного процесу tппmax .

ходного процесса tппmax .

Сначала, исходя из заданных σmax

Спочатку, виходячи з

заданих

и tппmax по номограмме

(рис. 4.6)

σmax і tппmax за номограмою (рис. 4.6)

определяют

коэффициент

пропорцио-

визначають коефіцієнт пропорційності

нальности к между частотой среза ω

к між частотою зрізу ωзp

і часом

cp

и временем переходного процесса:

перехідного процесу:

t

max

=

kπ

.

(4.13)

ωп

Рис. 4.6. Номограмма для определения

Рис. 4.6. Номограма для визначення

частоты среза

частоти зрізу

Далее по выражению (4.13) опре-

Далі за виразом (4.13) визначають

деляют желаемую частоту среза систе-

бажану частоту зрізу системи:

мы:

kπ

kπ

ωcpж =

.

ωзpБ =

.

(4.14)

tппmax

tппmax

Полученное значение ωcpж дает

Отримане значення ωзpБ дає змогу

возможность перейти к решению зада-

перейти до вирішення задачі вибору

чи выбора параметров кп , ки , кд .

параметрів кп , кi , кд .

4.2.5. Выбор параметров

4.2.5. Вибір параметрів

корректирующего элемента с ПИД

коригувального елемента з ПІД

структурой

структурою

Аналитически затруднительно вы-

Аналітично важко вирахувати

числить точные значения параметров

точні значення параметрів ПІД КЕ, що

ПИД КЭ, обеспечивающие заданные

забезпечують задані показники якості.

показатели качества. Поэтому исполь-

Тому використаємо ітераційний спосіб

зуем итерационный способ определе-

визначення кп , кi , кд , оснований на їх

ния кп , ки , кд , основанный на их

впливі на непрямі показники якості –

влиянии на косвенные показатели каче-

запаси стійкості замкненої САУ за

ства – запасы устойчивости замкнутой

амплітудою hз і за фазою ϕз .

САУ по амплитуде hз и по фазе ϕз .

Для этого запишем выражения для

Для цього запишемо вирази для

ЛАЧХ и ФЧХ разомкнутой системы по

ЛАЧХ і ФЧХ розімкненої системи за

задающему воздействию (рис. 4.7).

задавальним діянням (рис. 4.7).

(4.15)

Тогда

передаточная

функция

Тоді

передавальна

функція

разомкнутой

системы по

задающему

розімкненої

системи за

задавальним

воздействию

с учетом (4.6), (4.15)

діянням з

урахуванням

(4.6), (4.15)

примет вид

набуде вигляду

W (s) = W (s) W (s) =

Uд (s)

=

Uз (s)

к

н

=

к

д

s2

+ к

п

s + к

и

×

=

к

д

s2 + к

п

s + к

i

×

s

s

p

кн ∏(Tks + 1)

×

k =1

=

n

m

sν ∏(Tis + 1)∏(Tj2s2 + 2ξ jTjs + 1)

i =1

j=1

(4.16)

Выполним в (4.16) замену s = jω и

Виконаемо в (4.16) заміну s = jω й

получим

частотную

передаточную

отримаємо частотну

передавальну

функцию разомкнутой системы в де-

функцію

розімкненої

системи у

картовых координатах:

декартових координатах:

W ( jω) = W ( jω) W ( jω) =

Uд (ω)

=

к

н

Uз (ω)

=

кн (ки − кдω2 + jкпω)

×

=

кн (кi − кдω2 + jкпω)

×

n

n

( jω)ν +1 ∏( jTiω + 1)

( jω)ν +1 ∏( jTiω + 1)

i=1

i=1

p

∏( jTk ω + 1)

= U (ω) + jV (ω),

×

k =1

(4.17)

m

∏(1 − Tj2ω2 + j2ξ jTjω)

где U (ω)

j=1

де U (ω) – дійсна

– вещественная частотная ха-

частотна

характе-

рактеристика;

ристика;

V (ω)

– мнимая частотная характе-

V (ω) – уявна

частотна

характе-

ристика.

ристика.

По выражению

(4.17) запишем

За

виразом

(4.17) запишемо

уравнения для ЛАЧХ и ФЧХ

рівняння для ЛАЧХ та ФЧХ

L(ω, кп, ки(i) , кд ) = 20lg

;

U2 (ω, кп, ки(i) , кд ) + V2 (ω, кп, ки(i) , кд )

(4.18)

ϕ(ω, кп, ки, кд ) = arctg

V (ω, кп, ки, кд )

,

ϕ(ω, кп, кi , кд ) = arctg

V (ω, кп, кi , кд )

,

U (ω, кп, ки, кд )

U (ω, кп, кi , кд )

где L(ω, кп, ки, кд ) –

де L(ω, кп, кi , кд ) –

(4.19)

ЛАЧХ;

ЛАЧХ;

ϕ(ω, кп, ки, кд ) –

ФЧХ.

ϕ(ω, кп, кi , кд ) –

ФЧХ.

Используя

выражения

(4.18),

Використовуючи вирази

(4.18),

(4.19), получим

условия

определения

(4.19),

отримаємо

умови

визначення

частоты среза ωcp , а также запасов

частоти зрізу ωзр , а також запасів

устойчивости по амплитуде hз и по

стійкості за амплітудою hз і за фазою

фазе ϕз :

L(ωcp , кп, ки, кд ) = 0 ;

ϕз :

L(ωзр, кп, кi , кд ) = 0 ;

(4.20)

hз = L(ω−π , кп, ки, кд ) ;

hз = L(ω−π , кп, кi , кд ) ;

(4.21)

ϕз = ϕ(ωcp , кп, ки, кд ) + 180 ,

ϕз = ϕ(ωзp , кп, кi , кд ) + 180 , (4.22)

где

ω−π

–

частота,

соответствующая

де

ω−π

– частота, що

відповідає

величине

фазового

сдвига

системы

величині

фазового

зрушення

системи

ϕ(ω−π , кп, ки, кд ) = −180 град.

ϕ(ω−π , кп, кi , кд ) = −180 град.

На

первой

итерации находятся

На

першій ітерації

знаходяться

диапазоны

значений

параметров ПИД

діапазони значень параметрів ПІД КЕ,

КЭ,

обеспечивающие

устойчивость

що

забезпечують

стійкість замкненої

замкнутой САУ. Для этого необходимо

САУ. Для цього необхідно сформувати

сформировать множества значений кп ,

множини значень кп , кi , кд :

ки , кд :

к

п

= 1; к

п1 ]

; к

д

=

0; к

;

[

д1

ки = [0; ки1 ]

кi = [0; кi1 ]

и для всех возможных сочетаний пара-

і для усіх можливих сполучень

метров по выражениям (4.20)–(4.22)

параметрів за виразами (4.20)–(4.22)

определить частоту среза и запасы ус-

визначити частоту зрізу та запаси

тойчивости.

стійкості.

Полученные зависимости

Отримані залежності

ωcp = ωcp (кп, ки, кд ) ;

ωзp = ωзp (кп, кi , кд );

h з = h з (кп, ки, кд );

h з = h з (кп, кi , кд );

ϕз = ϕз (кп, ки, кд )

ϕз = ϕз (кп, кi , кд )

линий равных значений соответственно

рівних значень відповідно ωзp , h з

и

ϕз

ωcp , h з

и

ϕз в плоскости двух

у площині двох параметрів – кп

і

кi

параметров

–

кп и ки при фикси-

при

фіксованому

значенні

кд

рованном значении кд (рис. 4.8).

(рис. 4.8).

На рис. 4.8, б и 4.8, в определяется

На рис. 4.8, б і 4.8, в визначається

область с отрицательными значениями

область

з

негативними

значеннями

запасов

устойчивости

–

область

запасів стійкості –

область нестійкості

неустойчивости системы.

системи.

На рис. рис. 4.8, а оцениваются

За рис. 4.8, а оцінюються взаємне

взаимное

расположение

области

розташування

області

нестійкості

та

неустойчивости

и желаемой

частоты

лінії бажаної

частоти

зрізу

системи

среза системы ωcpж , найденной по

ωcpб , яку знайдено за формулою (4.14).

формуле (4.14).

На второй и, если необходимо,

На другій і, якщо необхідно,

последующих

итерациях

требуется

наступних

ітераціях

потрібно

повторить

построение линий уровня

повторити побудову линій рівня ωзp ,

ωcp , h з и ϕз, каждый раз уточняя диа-

h з і ϕз, кожного разу уточнюючи

пазоны значений параметров ПИД кор-

діапазони

значень

параметрів ПІД

ректирующего элемента.

коригувального елемента.

Для

получения

конкретных

Для отримання конкретних значень

значений параметров корректирующего

параметрів

коригуючого

елемента

на

элемента на каждой итерации в

кожній ітерації у площині ліній рівня

плоскости

линий уровня

выбирается

обирається точка М з координатами кп ,

точка М с координатами кп , ки , кд .

кi , кд . При виборі точки М бажано

При выборе точки М желательно вы-

виконання двох умов:

полнение двух условий:

1) запаси стійкості повинні відпо-

1) запасы

устойчивости

должны

відати таким умовам:

соответствовать таким условиям:

h з > 20 дБ; ϕз > 40 ;

2) выбранная точка должна лежать

2) обрана точка повинна лежати на

на линии частоты среза, соответствую-

лінії частоти зрізу, що відповідає ωзpб ,

щей ωcpж , или максимально близко к

або максимально близько до неї.

ней.

После выбора параметров коррек-

Після вибору параметрів коригу-

тирующего элемента выполняется рас-

вального елемента виконується розра-

чет переходных характеристик скор-

хунок перехідних характеристик скори-

ректированной системы по задающему

гованої системи за задавальним і за

и по возмущающему воздействиям для

збурним

діяннями

для

визначення

определения показателей качества и их

показників якості та їх відповідності

соответствия заданным значениям.

щодо заданих значень.

При необходимости можно изме-

При

необхідності

можна

змінити

нить координаты точки М, соответ-

координати точки М, відповідні

ствующие необходимым значениям па-

необхідним

значенням

параметрів

раметров

корректирующего

элемента,

коригувального

елемента,

запасам

запасам устойчивости и частоты среза.

стійкості і частоти зрізу.

4.2.6. Расчет переходных

4.2.6. Розрахунок перехідних

характеристик скорректированной

характеристик скоригованої

системы, определение показателей

системи, визначення показників

качества

якості

воздействиям,

діяннями,

где Wпрск (s) –

передаточная функция

де Wпрск (s) –

передавальна

функція

прямой цепи скорректированной систе-

прямої ланки скоригованої системи за

мы по задающему воздействию;

задавальним діянням;

Wf

(s) –

передаточная функция

Wf

(s)

–

передавальна

функція

пр

пр

прямой цепи скорректированной си-

прямої ланки скоригованої системи за

стемы по возмущающему воздействию;

збурним діянням;

Wск (s) – передаточная функция

Wск (s) – передавальна функція

разомкнутой

скорректированной

розімкненої

скоригованої

системи за

системы по задающему воздействию.

задавальним діянням.

Используя методику расчета пере-

Використовуючи методику розра-

ходных характеристик разбиением пе-

хунку перехідних характеристик роз-

редаточной функции на элементарные

биттям передавальної функції на еле-

множители [5], можно получить урав-

ментарні множники [5], можна отри-

нения и построить графики переходных

мати рівняння і побудувати графіки

характеристик.

перехідних характеристик.

При формировании входных сту-

При формуванні вхідних схід-

пенчатых воздействий

их

амплитуда

частих впливів їх амплітуда повинна

должна

укладываться

в

диапазоны

укладатися

в

діапазони

лінеаризації

линеаризации

статических

характе-

статичних характеристик ОАУ.

ристик ОАУ.

По

полученным характеристикам

За

отриманими характеристиками

определяются

показатели

качества

визначаються

показники

якості

системы:

статическая

ошибка

uст ,

скоригованої

системи:

статична

время переходного процесса tпп ,

похибка

uст , час перехідного процесу

перерегулирование σ .

tпп , перерегулювання σ .

4.2.7. Разработка схемы набора

4.2.7. Розроблення схеми набору

передаточной функции КЭ

передавальної функції КЕ

на лабораторном стенде

на лабораторному стенді

Передаточная функция

корректи-

Передавальна функція коригуваль-

рующего элемента (4.15), полученная в

ного елемента (4.15), отримана в ре-

результате

решения

задачи

синтеза

зультаті вирішення задачі синтезу САУ,

САУ, может иметь такие варианты

може мати такі варіанти структури:

структуры:

П КЕ ( кп ¹ 0 ,

1)

пропорциональный

–

П КЭ

1)

пропорційний –

( кп ¹ 0 , ки = 0 , кд = 0 )

кi = 0 , кд = 0 )

W

(s) =

Uк (s)

= к

,

(4.25)

U (s)

к

к

где кк = кп ;

де кк = кп ;

2)

интегральный – И КЭ ( кп = 0 ,

2)

інтегральний –

І КЕ ( кп = 0 ,

ки ¹ 0 , кд = 0 )

кi ¹ 0 , кд = 0 )

W

(s) =

Uк (s)

=

кк

,

(4.26)

к

U (s) s

где кк = ки ;

де кк = кi ;

3)

пропорционально-интегральный

3)

пропорційно-інтегральний – ПІ

– ПИ КЭ ( кп ¹ 0 , ки ¹ 0 , кд = 0 )

КЕ ( кп ¹ 0 , кi ¹ 0 , кд = 0 )

W

(s) =

Uк (s)

=

кк (Tкs + 1)

,

(4.27)

к

U (s)

s

где к

= к

; T =

кп

;

де к

= к

i

; T =

кп

;

к

и

к

ки

к

к

кi

4) пропорционально-дифференци-

4) пропорційно-диференціальний –

альный –

ПД

КЭ

( кп ¹ 0 ,

ки = 0 ,

ПД КЕ ( кп ¹ 0 , кi = 0 , кд ¹ 0 )

кд ¹ 0 )

Uк (s)

W

(s) =

= к

к

(T s + 1) ,

(4.28)

к

U (s)

к

где к

= к

; T =

кд

;

где к

= к

; T

=

кд

;

к

п

к

кп

к

п

к

кп

5) пропорционально-интегрально-

5) пропорційно-інтегрально-дифе-

дифференциальный –

ПИД КЭ ( кп ¹ 0 ,

ренціальний –

ПІД КЕ ( кп ¹ 0 , кi ¹ 0 ,

ки ¹ 0 , кд ¹ 0 )

кд ¹ 0 )

W (s) =

Uк (s)

=

кк (Tк1Tк2s2 + ( Tк1 + Tк2 )s + 1)

,

(4.29)

U (s)

к

s