- •Функции и их графики Конспекты, лекции, задачи
- •Первый способ задания функции: табличный
- •Clx.Ru - реклама в интернет
- •Упражнения
- •Clx.Ru - реклама в интернет
- •Clx.Ru - реклама в интернет
- •Clx.Ru - реклама в интернет
- •Clx.Ru - реклама в интернет
- •Clx.Ru - реклама в интернет
- •Непрерывность функций, точки разрыва Примеры, упражнения Определение непрерывности функции
- •Сводка основных результатов о производных
- •Формула Тейлора теория и практика в примерах Многочлен Тейлора
- •Исследование функций и построение графиков Асимптоты графика функции
- •Достаточные условия локального экстремума
- •Примеры исследования функций и построения графиков
Clx.Ru - реклама в интернет
4) . Докажите это в качестве упражнения, сделав замену и применив предыдущую табличную формулу.
5) . Для доказательства воспользуемся формулой . Далее, имеем:
Это означает, что доказываемая эквивалентность имеет место.
6) . Для доказательства этой эквивалентности сделаем такое преобразование:
Для вычисления предела правой части воспользуемся непрерывностью логарифма и вторым замечательным пределом:
и мы доказали формулу 6.
В частном случае, при , получаем эквивалентность
) .
7) ( ). Для доказательства сделаем замену и выразим через : . Согласно формуле 6, при , откуда . Из непрерывности логарифма следует, что и, значит, при . В этой формуле осталось лишь сменить обозначение переменного на , чтобы получить формулу 7.
В частном случае, при , получаем эквивалентность
) .
Сведём теперь полученные формулы в итоговую таблицу. Всюду в ней .
1) |
. |
2) |
. |
3) |
. |
4) |
. |
5) |
. |
6) |
( ). |
) |
. |
7) |
( ). |
) |
. |
CLX.ru - реклама в интернет
Приведём примеры применения табличных формул для раскрытия неопределённостей вида .
Пример 2.37Вычислим предел . Для этого в числителе вынесем за скобку , а к знаменателю применим формулу , где , . Получим
Мы заменили на эквивалентную величину (учтя при этом, что при ), на эквивалентную величину (учтя, что при ), затем сократили числитель и знаменатель на и, наконец, воспользовались тем, что функции и непрерывны и что и .
Пример 2.38Вычислим предел
Заменим в числителе на эквивалентную величину , а знаменатель -- на эквивалентную величину . После этого можно будет сократить дробь на и получить ответ:
Ещё раз обратим внимание читателя, что все формулы таблицы эквивалентных бесконечно малых относятся к базе . Следовательно, те же эквивалентности имеют место и при односторонних базах и . Если же рассматриваемый пример содержит неопределённость вида при какой-либо другой базе, то часто предел можно свести к пределу при "стандартной" базе (или , или ) с помощью подходящей замены переменной, а затем воспользоваться табличными эквивалентностями.
Пример 2.39Вычислим предел .
Если сделать замену , то при новая переменная будет, очевидно, стремиться к 0, то есть база перейдёт при такой замене в "стандартную" базу . Подставляя и учитывая формулу приведения для косинуса, получаем:
Мы применили табличную формулу , а затем сократили дробь на и получили ответ.
Применяя формулы таблицы эквивалентностей бесконечно малых последовательно, мы можем получать (и использовать для вычисления пределов) цепочки эквивалентностей произвольной длины.
Пример 2.40Можно, например, получить следующую формулу:
Здесь мы последовательно воспользовались формулами
и учли, что величины , , , являются бесконечно малыми при .
Используя полученную в результате эквивалентность
мы можем, например, вычислить предел
Упражнения на вычисление пределов
Упражнение 2.9Вычислите предел:
Ответ: 4.
Упражнение 2.10Вычислите предел:
Ответ: .
Упражнение 2.11Вычислите предел:
Ответ: 1.
Упражнение 2.12Вычислите предел:
Ответ: .
CLX.ru - реклама в интернет
Упражнение 2.13Вычислите предел:
Ответ: 2.
Упражнение 2.14Вычислите предел:
Ответ: 0.
Упражнение 2.15Вычислите предел:
Ответ: .
Упражнение 2.16Вычислите предел:
Ответ: .
Упражнение 2.17Вычислите предел:
Ответ: .
Упражнение 2.18Вычислите предел:
Ответ: 1.