Добавил:

Studfiles2 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет "ЛЭТИ"

Предмет:

Математический анализ

Файл:

Функции и их графики / 2008-04-16-23-17-Александра- и их графики Конспекты.doc

Скачиваний:

Добавлен:

01.05.2014

Размер:

9.35 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 1512 13 14 15 > Следующая >>>

Формула Тейлора теория и практика в примерах Многочлен Тейлора

Многочлен , наиболее подходящий (с некоторой точки зрения) для этой цели, называетсямногочленом Тейлорадля данной функции; найдя его по заданной функции , мы сможем вместо сложного вычисления значений функции приближённо заменять это вычисление на вычисление значений многочлена .

Уточним теперь постановку задачи. Пусть функция определена в некоторой окрестности некоторой точки и имеет всюду в окрестности производные при .Многочленом Тейлорастепени в точке называется такой многочлен степени , такой, что его значение и значение всех его производных, вычисленные в точке , равны соответствующим значениям функции и её производных до порядка в этой же точке:

Если это условие совпадения выполнено, то графики функций и , по крайней мере при , близких к , будут идти весьма тесно друг к другу. Равенство

означает, что графики проходят через одну и ту же точку ; равенство

означает, что эти графики имеют в этой общей точке совпадающие касательные (так как общее значение производной -- это общий угловой коэффициент касательной); равенство

означает, как мы убедимся ниже, что эти графики имеют в общей точке одинаковую кривизну, и т. д.

Для нахождения вида многочлена Тейлора для заданной функции сделаем сначала следующее замечание. Любой многочлен степени вида

CLX.ru - реклама в интернет

можно представить в виде, расположенном по степеням бинома :

и наоборот, раскрыв скобки в последней формуле, мы можем получить многочлен по степеням .

Действительно, положив , мы можем подставить в правую часть формулы , раскрыть степени при по формуле бинома Ньютона, а потом привести подобные члены. Все коэффициенты (кроме ) и свободный член при этом изменятся на некоторые другие (в нашей формуле), но получится многочлен по степеням бинома , имеющий ту же степень .

Итак, будем предполагать, что многочлен Тейлора мы ищем в виде

при некоторых коэффициентах , пока не известных. Отыщем значения этихкоэффициентов Тейлора по значениям производных данной функции в точке .

Учтём требование к значению многочлена: . Подставив в равенство (Тейлор 1) , получим, что , так как все остальные слагаемые обратятся в 0. Тем самым

Учтём затем требование к значению первой производной многочлена: . Производная от равна

Подставив в равенство (Тейлор 2) значение , получим, что , так как снова все остальные слагаемые обратятся в 0. Отсюда

Следующее требование -- к значению второй производной многочлена: . Вторая производная от равна

Снова подставив в равенство (Тейлор 3) значение , получим, что , откуда

Далее нетрудно сообразить, что получится , откуда

и вообще,

при . Учитывая, что , , , , ..., последнюю формулу можно записать в виде

Итак, мы получили, что многочлен Тейлора для функции в точке имеет вид

Остаток в формуле Тейлора и его оценка

Разность между функцией и её многочленом Тейлора называется -м остатком, или -м остаточным членом; обозначим этот остаток через :

Формула , в более развёрнутой форме имеющая вид

называется формулой Тейлорадля функции в точке , а представление функции в таком виде -- её разложением по формуле Тейлора.

Если считать, что остаток мал, то его можно отбросить без большой погрешности; при этом получается приближённая формула

дающая возможность для приближённого нахождения значений функции .

Выясним, в каком смысле можно понимать "малость" остатка в формуле Тейлора, чтобы этой приближённой формулой мы могли пользоваться осмысленно.

CLX.ru - реклама в интернет

Теорема 6.1(формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано)Пусть -- остаток в формуле Тейлора для функции в точке , и функция имеет непрерывную -ю производную. Тогда -- бесконечно малая величина того же или большего порядка малости, как , при . (Остаточный член , о котором известны эти сведения о порядке малости, называется остаточным членом в форме Пеано.)

Доказательство. Утверждение теоремы означает, что существует

При остаток будет иметь тот же порядок малости, что , а при -- больший порядок малости. Итак, вычислим предел:

Применим к этому пределу правило Лопиталя, повторив этот приём раз:

Последний предел мы вычислили прямой подстановкой, поскольку по предположению -- непрерывная функция. Существование предела доказывает утверждение теоремы.

Доказанная теорема утверждает, что при малых отклонениях от значения будут отклоняться от не более чем на величину -го порядка малости относительно разности , что даёт нам уверенность в том, что замена на многочлен Тейлора будет давать очень хорошее приближение, и это приближение будет улучшаться, если мы будем увеличивать значения . Однако доказанная теорема не даёт нам оценки остатка . Этот пробел устраняет следующая теорема.

Теорема 6.2(остаток в формуле Тейлора в форме Лагранжа)Пусть при всех существует -я производная . Тогда для любого существует точка , лежащая между и (то есть при ), такая что

(Остаточный член формулы Тейлора, представленный в таком виде, называется остаточным членом в форме Лагранжа.)

Доказательство. Это доказательство не столь прямолинейное, как в предыдущей теореме. Рассмотрим вспомогательную функцию переменного , изменяющегося в рассматриваемой окрестности точки . Эта функция будет зависеть также от параметра :

Подберём такое значение параметра , равное , чтобы при функция обращалась в 0: . Фиксируем такое значение .

Тогда функция удовлетворяет условиям теоремы Ролля на отрезке (или , если ): , что очевидно по определению функции ; согласно выбору параметра; дифференцируемость на и непрерывность в точках и следуют из предположенных свойств функции . По теореме Ролля существует такая точка , что

Однако нетрудно подсчитать, находя производные произведений в определении функции , что

Все слагаемые в начале правой части, включая обозначенные многоточием, взаимно уничтожаются, так что получаем

Подстановка даёт

откуда следует, что

Теперь вспомним, что значение параметра мы выбрали так, что . Подставив найденное значение в выражение для , получим:

Отсюда получаем, наконец,

что и требовалось доказать.

Замечание 6.1Полученную в предыдущей теореме оценку остатка удобно применять для оценки погрешности при замене функции её многочленом Тейлора, если известно, что -я производная при всех из рассматриваемого интервала ограничена по абсолютной величине некоторым числом:

Тогда

и при каждом фиксированном мы можем узнать оценку погрешности приближённой формулы .

Замечание 6.2Мы всюду подчёркивали, что приближённая формула имеет место только при малых значениях отклонения . Надежды на то, что при увеличении интервал, на котором можно будет применять с заданной точностью эту приближённую формулу, будет расширяться, вообще говоря, не оправдываются. Для пояснения сказанного приведём пример.

Пусть рассматривается функция , доопределённая при по непрерывности: . Ранее мы уже рассматривали эту функцию и выяснили, что все её производные существуют на всей оси и при равны 0: при всех . Это означает, что при любом порядке многочлена Тейлора все его коэффициенты равны 0, и формула Тейлора сводится к равенству . Таким образом, любой остаток в формуле Тейлора для этой функции в точке 0 равен одному и тому же, а именно, самой функции ! Поэтому уменьшить остаток за счёт увеличения здесь никак не возможно: единственным приближением, которое формула Тейлора даёт для функции , здесь служит тождественный 0.

Формула Тейлора для некоторых элементарных функций

Рассмотрим несколько важнейших элементарных функций и найдём для них многочлены Тейлора при .

1. Рассмотрим функцию . Все её производные совпадают с ней: , так что коэффициенты Тейлора в точке равны

Поэтому формула Тейлора для экспоненты такова:

2. Рассмотрим функцию . Её производные чередуются в таком порядке:

а затем цикл повторяется. Поэтому при подстановке также возникает повторение:

и т. д. Все производные с чётными номерами оказываются равными 0; производные с нечётными номерами равны 1 при , то есть при , и при , то есть при . Таким образом, при всех и коэффициенты Тейлора равны

Получаем формулу Тейлора для синуса:

Заметим, что мы можем записать остаточный член вместо (как можно было бы подумать), поскольку можно считать, что слагаемое порядка , с коэффициентом, равным 0, тоже включено в многочлен Тейлора.

3. Для функции производные также чередуются с циклом длины 4, как и для синуса. Значения в точке имеют то же чередование:

CLX.ru - реклама в интернет

Нетрудно видеть, что при , и при , . Поэтому разложение косинуса по формуле Тейлора имеет вид

Здесь мы также считаем, что последним в многочлене Тейлора выписано слагаемое, содержащее с нулевым коэффициентом.

Упражнение 6.1Найдите формулу для производной произвольного порядка от функции . Вычислите значения этих производных при и коэффициенты Тейлора. Покажите, что имеет место разложение

Упражнение 6.2Найдите формулу для производной произвольного порядка от функции при фиксированном . Вычислите значения этих производных при и коэффициенты Тейлора. Покажите, что имеет место разложение

Упражнение 6.3Покажите, что разложения по формуле Тейлора для функций и выглядят так:

Сравните найденные разложения с разложениями для , и .

На основе полученных разложений можно получать и разложения многих других функций.

Пример 6.1Рассмотрим функцию . Найдём её разложение по формуле Тейлора в точке . Начнём с того, что напишем ранее найденное разложение для экспоненты,

и положим в нём :

Теперь умножим левую и правую части этой формулы на :

Заметим, что бесконечно малое при выражение имеет тот же или больший порядок малости, как , и поэтому может рассматриваться как остаточный член в формуле Тейлора для , а предыдущие слагаемые в правой части формулы -- как многочлен Тейлора данной функции. Так что её искомое разложение найдено.

Разберём теперь пример того, как полученные разложения элементарных функций можно использовать для раскрытия некоторых неопределённостей.

Пример 6.2Найдём предел

Для начала найдём разложение по формуле Тейлора в точке 0 для числителя:

где через обозначен остаточный член, имеющий тот же порядок малости, что и . Разложение для знаменателя имеет вид:

где остаточные члены и тоже имеют тот же порядок малости, что и , при . Выполняя приведение подобных членов, получаем, что знаменатель равен

Итак,

Заметим, что этот способ раскрытия неопределённостей типа в некоторых случаях, подобных разобранному в примере, менее трудоёмок, чем применение правила Лопиталя.

Оценки ошибок в формулах приближённого дифференцирования

Используя оценку остаточного члена в форме Лагранжа, можно провести анализ погрешности в формулах приближённого дифференцирования, предполагая шаг малым.