Clx.Ru - реклама в интернет

также является бесконечно малой. Теорема 2.4 утверждает, что тот факт, что разность бесконечно мала, означает, что ; это и требовалось доказать.

Замечание 2.2В доказанной теоременеутверждается, что если существует предел суммы, то существуют и пределы слагаемых. Это неверно, что показывает простейший пример: пусть и . Тогда и предел , в то время как пределы при функций и не существуют.

Так что из несуществования пределов слагаемых неследует несуществование предела суммы.

Теорема 2.9Пусть функции и имеют пределы при одной и той же базе :

Тогда функция также имеет предел при базе , и этот предел равен произведению пределов сомножителей:

Доказательство. Равенство означает, в соответствии с теоремой 2.4, что величина -- бесконечно малая; равенство -- что -- бесконечно малая. Поэтому и , откуда

или

Покажем, что в правой части этого равенства стоит бесконечно малая величина. Величина -- бесконечно малая согласно следствию 2.3, а величина -- бесконечно малая по теореме 2.7 (величина имеет предел, равный 0, и, следовательно, локально ограничена по теореме 2.6). Поскольку разность между функцией и постоянной бесконечно мала при базе , то по теореме 2.4 ; это и требовалось доказать.

Замечание 2.3Сделаем замечание, аналогичное замечанию 2.2: если существует предел произведения, то отсюда не следует, что существуют пределы каждого из сомножителей; доказанная теорема этого не утверждает. Приведём пример, который был уже разобран выше: функция при имеет предел, равный 0, однако предела при не существует (хотя другой множитель, , имеет предел при этой базе).

Так что из несуществования предела у какого-нибудь сомножителя неследует несуществование предела произведения.

Следствие 2.4Пусть и (то есть -- постоянная величина). Тогда существует предел функции , равный :

Доказательство. Для доказательства достаточно заметить, что, согласно примеру 2.4, , и применить теорему 2.9.

Доказанное следствие означает, что постоянныймножитель можно выносить за знак предела, а также вносить под знак предела. Иными словами, умножение на постоянную и переход к пределу можно менять местами.

Следствие 2.5Пусть функции имеют при базе пределы, равные соответственно , и -- постоянные. Тогда

Доказательство. Оно состоит в последовательном -кратном применении теоремы 2.8 к слагаемым , предел которых, согласно предыдущему следствию, равен .

В качестве частного случая можно рассмотреть предел разности двух функций. Разность можно представить в виде и применить следствие 2.5 к этой сумме из двух слагаемых. Получим тогда, что

то есть что разность (как и сумма) сохраняется при переходе к пределу.

Замечание 2.4Утверждение следствия 2.5, с алгебраической точки зрения, означает, что, во-первых, множество всех функций, заданных на фиксированном окончании базы и имеющих предел при базе -- этолинейное пространство, а во-вторых-- что операция взятия предела -- этолинейное отображениелинейного пространства в линейное пространство вещественных чисел . Попросту: переход к пределу сохраняет суммирование и умножение на постоянные.

Предел отношения двух функций , в отличие от суммы, разности и произведения, не обязательно равен отношению пределов числителя и знаменателя , даже если пределы и существуют. Дело в том, что предел знаменателя может равняться нулю, и отношение пределов тогда не имеет смысла, в то время как предел отношения при этом вполне может существовать. Приведём такой простейший пример:

Пример 2.15Пусть , и взята база . Тогда, очевидно, , и отношение пределов не имеет смысла. При этом при и предел отношения существует: .

Оказывается, условия , которое обеспечивает то, что отношение пределов имеет смысл,-- этого условия достаточно для того, чтобы предел отношения двух функций был равен отношению их пределов. Ниже мы докажем соответствующую теорему, а пока докажем такое вспомогательное утверждение.

Лемма 2.1Пусть при некоторой базе существует предел . Тогда функция определена на некотором окончании этой базы и локально ограничена при этой базе.

Доказательство. Возьмём положительное число . По определению предела, в базе найдётся такое окончание , что при всех будет . Это неравенство можно привести к виду

(2.2)

При это неравенство означает, что ; так как , то и при всех и, следовательно, функция определена во всех точках окончания и удовлетворяет неравенству