Первый способ задания функции: табличный

Если множество конечно и состоит изэлементов, то функцию можно задать перечислением, указав, какие значения она принимает на каждом элементе. Часто это делают в виде таблицы:

 

В верхней строке таблицы перечисляются все элементов конечного множества, а в нижней -- соответствующие им значения функции. Разумеется, таблицу можно расположить и в два столбца вместо двух строк.

 

 

Пример 1.10В отделе кадров составляют таблицу, в которой в первом столбце содержатся фамилии и инициалы работников, а во втором -- серии и номера их паспортов. Такая таблица задаёт функцию-- соответствие между множествомработников предприятия и множествомкодов (код -- это серия и номер) паспортов. Полученная таблица может выглядеть, например, так:

Фамилия И.О.	Паспорт: серия,	номер
Абрамов В.П.	II-СИ	356531
Бархударов Ш.Х.	VII-ПЮ	785305
Виноградов А.В.	XII-ЧФ	015628
Гусева Т.И.	IV-БШ	764285
...	...

CLX.ru - реклама в интернет Определённая таким способом функция-- это инъекция, так как ни у каких двух человек не могут оказаться паспорта с одинаковым кодом (серия, номер).

 

Другая форма таблицы удобна для функции , заданной на прямом произведении двух множестви, то есть когда, причём множестваиконечные:и. Перечислим все элементы множествапо вертикали, а-- по горизонтали. В пересечениях строки и столбца, содержащих элементыи, укажем значение функции, где:

 

Как мы видим, задание такой функции эквивалентно заданию прямоугольной таблицы -- матрицы размера , элементами которой являются элементы множества.

 

 

        Пример 1.11В теории игр (одной из областей математики) рассматривается, в частности, такая задача. При взаимодействии двух партнёровикаждый из них может получить выигрыш, зависящий от вариантов действий каждого партнёра. Пусть множества вариантов действий (эти варианты называютсястратегиями) партнёров конечны:может выбирать одну из стратегий из множества, а-- из множества. Есливыбрал стратегию, а-- стратегию, то однозначно определены выигрыши: у первого партнёра он равен числу, а у второго -- числу. Рассмотрим функцию, такую что

Эта функция называется функцией выигрышейилиплатёжным отображениемигры. Её можно полностью задать, сведя все данные в таблицу вида

то есть задав одну матрицу, элементы которой -- пары чисел , или же задав две числовые матрицыиразмера:

Второй способ задания функции: с помощью формулы

Если множество бесконечно, то способ перечисления значений уже не годится. В этом случае функция может быть задана некоторой формулой, позволяющей по каждому значению аргумента найти соответствующее ему значение , например:

		при
		при
		при
		при

        Замечание 1.3Функции, заданныеодной и той жеформулой, но наразныхмножествах , считаютсяразличными. Так, функция при и функция при -- это дверазныефункции, так как функция устанавливает соответствие между точками множества и некоторыми точками числовой прямой, а функция -- между точкамидругогомножества и точками числовой прямой. Конечно, две эти функции -- "близкие родственники", так как при всех .

        Определение 1.6Если дана функция , и , то мы можем получить новую функцию, рассматривая значения функции только на элементах . Эта функция определена равенством при . Функция называетсяограничениемфункции на подмножество её области определения и обозначается , то есть .

        Пример 1.12Пусть -- числовая плоскость и функциязадана формулой

Рассмотрим на плоскости подмножество -- прямую линию , заданную уравнением . Тогда мы можем рассмотреть в качестве аргументов функции точки только прямой . Ограничение определено только при , поэтому его, кроме исходной формулы

можно задать такими формулами:

(1.1)

(так как на прямой ), или

(1.2)

(так как на прямой ). Во всех точках прямой все три формулы дают одно и то же значение функции . Мы видим, что формула (1.1) даёт для те же значения, что функцияодногопеременного : , а формула (1.2) -- те же значения, что функция одного переменного : .

Две последние функции называются параметризациямиограничения .

        Пример 1.13Пусть -- функция, заданная во всех точках плоскости . Пусть -- прямая на плоскости . Тогда функция равна . Формально ограничение зависит от точек плоскости , но только таких, что . Поэтому задание этого ограничения эквивалентно заданию числовой функцииодного переменного . Функция -- это одна из возможных параметризаций функции .

        Замечание 1.4Во многих учебных примерах при задании функции при помощи формулы не указывают область определения . При этом по умолчанию предполагается, что область определения -- максимально допустимая, то есть она состоит из всех таких значений аргумента , для которых задающее функцию выражение имеет смысл. При этом могут возникнуть трудности с выяснением того, какова же именно область , если в этом возникнет необходимость.

        Пример 1.14Пусть функция задана формулой

По умолчанию считается, что области принадлежат все те точки , что . Разумеется, для каждой заданной точки проверить это условие несложно, однако описать множество в виде объединения промежутков числовой оси мы не сможем ввиду того, что затрудняемся решить "в явном виде" данное неравенство.

Если -- это множество натуральных чисел , то функция называетсяпоследовательностью. Так как содержит бесконечное множество чисел , то задать в виде таблицы значений , где , вообще говоря, нельзя. Однако если функция легко угадывается по своим значениям при небольших , её часто задают, выписывая таблицу нескольких первых значений.

        Пример 1.15Пусть . Тогда, скорее всего, имеется в виду, что при любом . Эта формула не противоречит выписанным значениям и очень проста. По-видимому, именно её и имели в виду при выписывании первых членов последовательности. Однако можно подобрать и другие формулы, то есть указать другие функции, для которых получаются те же первые значения , но, быть может, другие значения .

        Упражнение 1.1Придумайте другую формулу, дающую те же самые значения , но при всех прочих ( ) дающую значения, не равные .

Указание: попробуйте, например, отыскать эту формулу в виде , подобрав коэффициенты так, чтобы формула была верна при . Получится система трёх линейных уравнений для трёх неизвестных , рещив которую, вы найдёте, что .

В некоторых случаях члены последовательности, то есть значения для , удобно не задавать при помощи указания явной зависимости , а вычислятьрекуррентно, то есть вычислять каждый последующий член по значениям нескольких предыдущих:

Пример 1.16Последовательностьчисел Фибоначчи задаётся так: два первых члена полагают равными единице ( ), а при вычисляют по формуле . Таким образом, и т. д.

        Упражнение 1.2Подберите коэффициенты и в формуле

(1.3)

так, чтобы при и число было числом Фибоначчи. Докажите, что тогда формула (1.3) даёт значение , равное числу Фибоначчи и при всех .

Пусть (это один из корней уравнения , служащегохарактеристическим уравнениемвозвратной последовательности ). Покажите, что

при всех (формула Бине); выведите из этой формулы, что -- это ближайшее к целое число.

Обзор некоторых элементарных функций

Для напоминания и повторения приведём обзор некоторых функций, изучаемых в школьной программе.

1. Линейная функция.Это функция вида . Число называетсяугловым коэффициентом, а число --свободным членом. Графиком линейной функции служит прямая на координатной плоскости , не параллельная оси .

Угловой коэффициент равен тангенсу угла наклона графика к горизонтальному направлению -- положительному направлению оси .

Рис.1.8.График линейной функции -- прямая

CLX.ru - реклама в интернет

2. Квадратичная функция.Это функция вида ().

Графиком квадратичной функции служитпараболас осью, параллельной оси . При вершина параболы оказывается в точке .

Рис.1.9.Парабола ()

В общем случае вершина лежит в точке . Если , то "рога" параболы направлены вверх, если , то вниз.

Рис.1.10.Парабола с вершиной в точке ()

3. Степенная функция.Это функция вида , . Рассматриваются такие случаи:

а). Если , то . Тогда , ; если число -- чётное, то и функция -- чётная (то есть при всех ); если число -- нечётное, то и функция -- нечётная (то есть при всех ).

Рис.1.11.График степенной функции при

б). Если , , то . Ситуация с чётностью и нечётностью при этом такая же, как и для : если -- чётное число, то и -- чётная функция; если -- нечётное число, то и -- нечётная функция.

Рис.1.12.График степенной функции при

Снова заметим, что при всех . Если , то при всех , кроме (выражение не имеет смысла).

в). Если -- не целое число, то, по определению, при : ; тогда , .

Рис.1.13.График степенной функции при

При , по определению, ; тогда .

Рис.1.14.График степенной функции при

4. Многочлен.Это функция вида , где , . Число называетсястепеньюмногочлена. При и многочлены являются соответственно линейной функцией и квадратичной функцией (квадратным трёхчленом) и рассмотрены выше. При и ( ) получается степенная функция, которую мы также рассмотрели выше. В общем случае ; при чётном значении степени характерный вид графика таков:

Рис.1.15.График многочлена чётной степени при