Добавил:

Studfiles2 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет "ЛЭТИ"

Предмет:

Математический анализ

Файл:

Функции и их графики / 2008-04-16-23-17-Александра- и их графики Конспекты.doc

Скачиваний:

Добавлен:

01.05.2014

Размер:

9.35 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 1510 11 12 13 14 15 > Следующая >>>

Непрерывность функций, точки разрыва Примеры, упражнения Определение непрерывности функции

Мы повторим здесь определение непрерывности функции, данное выше, в главе о пределах.

Определение 3.1Пусть функция определена на некотором интервале , для которого -- внутренняя точка. Функция называетсянепрерывной в точке , если существует предел при и этот предел равен значению , то есть

Пусть функция определена на некотором полуинтервале , для которого -- левый конец. Функция называетсянепрерывной справа в точке , если существует предел при и этот предел равен значению , то есть

CLX.ru - реклама в интернет

Пусть, наконец, функция определена на некотором полуинтервале , для которого -- правый конец. Функция называетсянепрерывной слева в точке , если существует предел при и этот предел равен значению , то есть

Из теоремы о связи двустороннего предела с односторонними (теорема 2.1) сразу следует, как уже отмечалось в главе 2, что имеет место следующее предложение.

Предложение 3.1Функция тогда и только тогда непрерывна в точке , когда она непрерывна в точке справа и слева, то есть когда выполнены следующие условия:

1) функция определена в точке и в некоторой окрестности этой точки;

2) существует предел значений функции слева: ;

3) существует предел значений функции справа: ;

4) эти два предела совпадают между собой и со значением функции в точке : .

Рис.3.1.Функция непрерывна: пределы слева и справа совпадают с

Точка , в которой функция непрерывна, называетсяточкой непрерывностифункции ; так же определяются точки непрерывности слева и справа.

Пример 3.1Пусть и . Тогда и . Эти значения совпадают, значит, функция непрерывна в точке .

(Функция -- элементарная функция; -- точка её области определения . Все элементарные функции непрерывны во всех внутренних точках своих областей определения, в том числе и эта. Так что в этом примере можно было бы заменить любой элементарной функцией, а -- любой внутренней точкой области , и вывод остался бы тем же.)

Пример 3.2Рассмотрим функцию и точку . При функция задаётся формулой , при этом имеем (первый замечательный предел). Это значение совпадает с тем, которое задано при : . Итак, , что означает непрервыность функции при .

Тем, кто внимательно изучил данное в главе 2 общее понятие базы предела, можно предложить продумать и доказать следующее утверждение:

Предложение 3.2Пусть -- база непроколотых окрестностей точки , окончаниями которой служат интервалы , ; -- база непроколотых левых окрестностей точки , окончаниями которой служат полуинтервалы , ; -- база непроколотых правых окрестностей точки , окончаниями которой служат полуинтервалы , . Тогда непрерывность функции в точке эквивалентна тому, что существует предел ; непрерывность слева в точке -- тому, что существует предел ; непрерывность справа в точке -- тому, что существует предел .

Определение точек разрыва

Дадим теперь определение точек разрыва функции.

Определение 3.2Точка называетсяточкой разрывафункции , если она определена в некоторой проколотой окрестности точки (то есть определена на некотором интервале, для которого служит внутренней точкой, но в самой точке , возможно, не определена) и выполняется хотя бы одно из следующих условий:

1) не существует предела слева ;

2) не существует предела справа ;

3) пределы слева и справа существуют, но не равны друг другу: ;

CLX.ru - реклама в интернет

4) пределы слева и справа существуют и равны друг другу: , но не совпадают со значением функции в точке : , или функция не определена в точке .

Если имеет место либо случай 3, либо случай 4, то точка разрыва называетсяточкой разрыва первого рода, а поведение функции в окрестности точки называетсяразрывом первого родав точке ; в случае 4 точка разрыва первого рода называетсяустранимой точкой разрыва, а разрыв функции в этой точке --устранимым разрывом.

Если же имеет место либо случай 1, либо случай 2 (либо и тот и другой сразу), то точка разрыва называетсяточкой разрыва второго рода, а поведение функции в окрестности этой точки --разрывом второго родав точке .

Итак, если функция имеет разрыв первого рода в точке , то существуют, как часто говорят, значения функции "на берегах разрыва": и , но точка не является точкой непрерывности.

Рис.3.2. -- точка разрыва первого рода

Если значения на берегах разрыва разные, то значение функции в точке может быть любым (или вообще отсутствовать), всё равно будет давать разрыв первого рода. Если же значения на берегах разрыва совпадают, то для наличия разрыва нужно, чтобы либо эти совпадающие значения были отличны от значения функции в точке , либо функция в этой точке была вовсе не определена. Если в этом случае переопределить (или доопределить) функцию в точке , положив , то полученная изменённая функция будет уже непрерывна в точке и разрыв в точке исчезнет; отсюда и название такого разрыва -- устранимый.

Рис.3.3. -- точка устранимого разрыва

Наконец, к разрывам второго рода, как видно из определения, относятся все разрывы, которые не принадлежат к разрывам первого рода; некоторые из возможных способов поведения функции в окрестности точки , где происходит разрыв второго рода, представлены на следующем рисунке.

Рис.3.4. -- точка разрыва второго рода. Некоторые возможные вариантыCLX.ru - реклама в интернет

Пример 3.3Рассмотрим функцию , для которой

Функция имеет разрывы при и при . Нетрудно видеть, что при В точках и функция имеет неустранимые разрывы первого рода. В точке имеем:

(значения на краях разыва существуют, но не совпадают); в точке --

(снова пределы слева и справа существуют, но не совпадают).

Рис.3.5.График функции

Пример 3.4Функция имеет при разрыв второго рода, так как при и при .

Рис.3.6.График функции

Пример 3.5Функция имеет при разрыв второго рода, так как при и при .

Рис.3.7.График функции

Пример 3.6Возьмём . Все точки области определения этой элементарной функции являются точками непрерывности. Поскольку не входит в область определения функции , но определена во всех точках любой проколотой окрестности 0, то 0 -- точка разрыва функции . Разобранный выше пример 3.2 показывает, что если доопределить эту функцию при , положив , то функция становится непрерывной в точке 0. Значит, 0 -- точка разрыва первого рода для функции .

Рис.3.8.Устранимый разрыв функции

Пример 3.7Рассмотрим функцию . Её область определения состоит из точек непрерывности, так как это элементарная функция. Точка , в которой функция не определена, -- это точка разрыва функции. Поскольку при , то . Это означает, что при функция имеет устранимый разрыв и становится непрерывной на всей вещественной оси, если положить .

Рис.3.9.Устранимый разрыв функции

Пример 3.8Рассмотрим функцию , где . При она имеет разрыв, так как . Поскольку -- ограниченная функция, а при , то (по теореме 2.7). Следовательно, разрыв устранимый, и если доопределить функцию, положив , она становится непрерывной при всех .

Рис.3.10.График функции при

Пример 3.9Рассмотрим функцию , заданную равенством

При , , , так что последовательность -- это геометрическая прогрессия со знаменателем , , и При , , , и все , так что При , , , и последовательность имеет вид

Эта последовательность предела не имеет, так что функция не определена при , .

Рис.3.11.График функции

Получаем, что . Точками разрыва этой функции служат как все точки, не принадлежащие области определения (точки вида , ), так и все точки вида , , в которых функция принимает значение 1. Все точки разрыва -- устранимые, так как пределы функции слева и справа в этих точках совпадают и равны 0.

Пример 3.10Рассмотрим функцию ; её область определения , и точка -- точка разрыва. Рассмотрим поведение функции слева и справа от точки разрыва. При будет и ; при будет и . Итак, значения "на правом берегу" разрыва не существует, и разрыв функции в точке -- второго рода.

Рис.3.12.График функции

Замечание 3.1Если функция не определена на интервале, примыкающем к точке слева или справа, то точку мы не считаем точкой разрыва функции.

Пример 3.11Рассмотрим функцию . Её область определения -- . При и при знаменатель стремится к 0 и положителен, так что . однако точки и мы не считаем точками разрыва, так как функция не определена при и при.

Рис.3.13.График функции

Пример 3.12Рассмотрим функцию . Её область определения -- это . Точка не является точкой разрыва функции , несмотря на характер её поведения при , поскольку функция не определена при .

Рис.3.14.График функции

Свойства функций, непрерывных в точке

Поскольку точки непрерывности функции задаются условием , то часть свойств функций, непрерывных в точке , следует непосредственно из свойств пределов. Сформулируем их в виде следующей теоремы.

Теорема 3.1Пусть функции и непрерывны в точке . Тогда функции , , непрерывны в точке . Если , то функция также непрерывна в точке .

Доказательство. Оно сразу же следует из теорем о пределах 2.8, 2.9, 2.10 и следствия 2.5.

Как непосредственное следствие этой теоремы получается следующее

Предложение 3.3Рассмотрим множество всех функций, определённых в некоторой фиксированной окрестности точки и непрерывных в этой точке. Тогда это множество является линейным пространством, то есть замкнуто относительно сложения и умножения на постоянные:

CLX.ru - реклама в интернет

Доказательство. Действительно, постоянные и -- это непpеpывные функции (в любой точке); по пpедыдущей теоpеме тогда непpеpывны в точке пpоизведения и . Но тогда по этой же теоpеме непpеpывна в точке и сумма .

Теорема 3.2Пусть функции и таковы, что существует композиция , . Пусть функция непрерывна в точке , а функция непрерывна в соответствующей точке . Тогда композиция непрерывна в точке .

Доказательство. Заметим, что равенство означает, что при будет . Значит,

(последнее равенство следует из непрерывности функции в точке ). Значит,

а это равенство означает, что композиция непрерывна в точке .

Заметим, что, очевидно, в предыдущих двух теоремах можно было бы заменить базу на односторонние базы или и получить аналогичные утверждения для непрерывности слева или справа:

Теорема 3.3Пусть функции и непрерывны слева (справа) в точке . Тогда функции , , непрерывны слева (соотв. справа) в точке . Если , то функция также непрерывна слева (спpава) в точке .

Теорема 3.4Пусть функция непрерывна слева (справа) в точке , а функция непрерывна в точке . Тогда композиция непрерывна слева (соотв. справа) в точке .

Непрерывность функции на интервале и на отрезке

Определение 3.3Пусть -- некоторая функция, -- её область определения и -- некоторый (открытый) интервал (может быть, с и/или ). Назовём функцию непрерывной на интервале , если непрерывна в любой точке , то есть для любого существует (в сокращённой записи:

Пусть теперь -- (замкнутый) отрезок в . Назовём функцию непрерывной на отрезке , если непрерывна на интервале , непрерывна справа в точке и непрерывна слева в точке , то есть

CLX.ru - реклама в интернет

Пример 3.13Рассмотрим функцию (функция Хевисайда) на отрезке , . Тогда непрерывна на отрезке (несмотря на то, что в точке она имеет разрыв первого рода).

Рис.3.15.График функции Хевисайда

Аналогичное определение можно дать и для полуинтервалов вида и , включая случаи и . Однако можно обобщить данное определение на случай произвольного подмножества следующим образом. Введём сначала понятиеиндуцированнойна базы: пусть -- база, все окончания которой имеют непустые пересечения с . Обозначим через и рассмотрим множество всех . Нетрудно тогда проверить, что множество будет базой. Тем самым для определены базы , и , где , и -- базы непроколотых двусторонних (соответственно левых, правых) окрестностей точки (их определение см. в начале текущей главы).

Определение 3.4Назовём функцию непрерывной на множестве , если

Нетрудно видеть, что тогда при и при это определение совпадает с теми, что были выше даны специально для интервала и отрезка.

Напомним, что все элементарные функции непрерывны во всех точках своих областей определения и, следовательно, непрерывны на любых интервалах и отрезках, лежащих в их областях определения.

Поскольку непрерывность на интервале и отрезке определяется поточечно, имеет место теорема, которая является непосредственным следствием теоремы 3.1:

Теорема 3.5Пусть и -- функции и -- интервал или отрезок, лежащий в . Пусть и непрерывны на . Тогда функции , , непpеpывны на . Если вдобавок пpи всех , то функция также непpеpывна на .

Из этой теоpемы вытекает следующее утвеpждение, точно так же, как из теоpемы 3.1 -- пpедложение 3.3:

Предложение 3.4Множество всех функций, непpеpывных на интеpвале или отpезке -- это линейное пpостpанство:

Более сложное свойство непрерывной функции выражает следующая теорема.

CLX.ru - реклама в интернет

Теорема 3.6(о корне непрерывной функции)Пусть функция непрерывна на отрезке , причём и -- числа разных знаков. (Будем для определённости считать, что , а .) Тогда существует хотя бы одно такое значение , что (то есть существует хотя бы один корень уравнения ).

Доказательство. Рассмотрим середину отрезка . Тогда либо , либо , либо . В первом случае корень найден: это . В остальных двух случаях рассмотрим ту часть отрезка, на концах которой функция принимает значения разных знаков: в случае или в случае . Выбранную половину отрезка обозначим через и применим к ней ту же процедуру: разделим на две половины и , где , и найдём . В случае корень найден; в случае рассматриваем далее отрезок , в случае -- отрезок и т. д.

Получаем, что либо на некотором шаге будет найден корень , либо будет построена система вложенных отрезков

в которой каждый следующий отрезок вдвое короче предыдущего. Последовательность -- неубывающая и ограниченная сверху (например, числом ); следовательно (по теореме 2.13), она имеет предел . Последовательность -- невозрастающая и ограниченная снизу (например, числом); значит, существует предел . Поскольку длины отрезков образуют убывающую геометрическую прогрессию (со знаменателем ), то они стремятся к 0, и , то есть . Положим теперь . Тогда

поскольку функция непрерывна. Однако, по построению последовательностей и , и , так что, по теореме о переходе к пределу в неравенстве (теорема 2.7), и , то есть и . Значит, , и -- корень уравнения .

Пример 3.14Рассмотрим функцию на отрезке . Поскольку и -- числа разных знаков, то функция обращается в 0 в некоторой точке интервала . Это означает, что уравнение имеет корень .

Рис.3.17.Графическое представление корня уравнения

Доказанная теорема фактически даёт нам способ нахождения корня , хотя бы приближённого, с любой заданной наперёд степенью точности. Это -- метод деления отрезка пополам, описанный при доказательстве теоремы. Более подробно с этим и другими, более эффективными, способами приближённого нахождения корня мы познакомимся ниже, после того, как изучим понятие и свойства производной.

Заметим, что теорема не утверждает, что если её условия выполнены, то корень -- единственный. Как показывает следующий рисунок, корней может быть и больше одного (на рисунке их 3).

Рис.3.18.Несколько корней функции, принимающей значения разных знаков в концах отрезка

Однако, если функция монотонно возрастает или монотонно убывает на отрезке, в концах которого принимает значения разных знаков, то корень -- единственный, так как строго монотонная функция каждое своё значение принимает ровно в одной точке, в том числе и значение 0.

Рис.3.19.Монотонная функция не может иметь более одного корня

Непосредственным следствием теоремы о корне непрерывной функции является следующая теорема, которая и сама по себе имеет очень важное значение в математическом анализе.

Теорема 3.7(о промежуточном значении непрерывной функции)Пусть функция непрерывна на отрезке и (будем для определённости считать, что ). Пусть -- некоторое число, лежащее между и . Тогда существует такая точка , что .

Рис.3.20.Непрерывная функция принимает любое промежуточное значение

Доказательство. Рассмотрим вспомогательную функцию , где . Тогда и . Функция , очевидно, непрерывна, и по предыдущей теореме существует такая точка , что . Но это равенство означает, что .

Заметим, что если функция не является непрерывной, то она может принимать не все промежуточные значения. Например, функция Хевисайда (см. пример 3.13) принимает значения , , но нигде, в том числе и на интервале , не принимает, скажем, промежуточного значения . Дело в том, что функция Хевисайда имеет разрыв в точке , лежащей как раз в интервале .

Для дальнейшего изучения свойств функций, непрерывных на отрезке, нам понадобится следующее тонкое свойство системы вещественных чисел (мы уже упоминали его в главе 2 в связи с теоремой о пределе монотонно возрастающей ограниченной функции): для любого ограниченного снизу множества (то есть такого, что при всех и некотором ; число называетсянижней граньюмножества ) имеетсяточная нижняя грань , то есть наибольшее из чисел , таких что при всех . Аналогично, если множество ограничено сверху, то оно имеетточную верхнюю грань : это наименьшая изверхних граней (для которых при всех ).

Рис.3.21.Нижняя и верхняя грани ограниченного множества

Если , то существует невозрастающая последовательность точек , которая стремится к . Точно так же если , то существует неубывающая последовательность точек , которая стремится к .

Если точка принадлежит множеству , то является наименьшим элементом этого множества: ; аналогично, если , то .

Кроме того, для дальнейшего нам понадобится следующая

Лемма 3.1Пусть -- непрерывная функция на отрезке , и множество тех точек , в которых (или , или ) не пусто. Тогда в множестве имеется наименьшее значение , такое что при всех .

Рис.3.22.Наименьший аргумент, при котором функция принимает заданное значение

Доказательство. Поскольку -- ограниченное множество (это часть отрезка ), то оно имеет точную нижнюю грань . Тогда существует невозрастающая последовательность , , такая что при . При этом , по определению множества . Поэтому, переходя к пределу, получаем, с одной стороны,

а с другой стороны, вследствие непрерывности функции ,

Значит, , так что точка принадлежит множеству и .

В случае, когда множество задано неравенством , мы имеем при всех и по теореме о переходе к пределу в неравенстве получаем

откуда , что означает, что и . Точно так же в случае неравенства переход к пределу в неравенстве даёт

откуда , и .

Теорема 3.8(об ограниченности непрерывной функции)Пусть функция непрерывна на отрезке . Тогда ограничена на , то есть существует такая постоянная , что при всех .

Рис.3.23.Непрерывная на отрезке функция ограничена

Доказательство. Предположим обратное: пусть не ограничена, например, сверху. Тогда все множества , , , не пусты. По предыдущей лемме в каждом из этих множеств имеется наименьшее значение , . Покажем, что

Действительно, . Если какая-либо точка из , например , лежит между и , то

то есть -- промежуточное значение между и . Значит, по теореме о промежуточном значении непрерывной функции, существует точка , такая что , и . Но , вопреки предположению о том, что -- наименьшее значение из множества . Отсюда следует, что при всех .

Точно так же далее доказывается, что при всех , при всех , и т. д. Итак, -- возрастающая последовательность, ограниченная сверху числом . Поэтому существует . Из непрерывности функции следует, что существует , но при , так что предела не существует. Полученное противоречие доказывает, что функция ограничена сверху.

Аналогично доказывается, что ограничена снизу, откуда следует утверждение теоремы.

Очевидно, что ослабить условия теоремы нельзя: если функция не является непрерывной, то она не обязана быть ограниченной на отрезке (приведём в качестве примера функцию

на отрезке . Эта функция не ограничена на отрезке, так как при имеет точку разрыва второго рода, такую что при . Также нельзя заменить в условии теоремы отрезок интервалом или полуинтервалом: в качестве примера рассмотрим ту же функцию на полуинтервале . Функция непрерывна на этом полуинтервале, но неограничена, вследствие того что при .

Поиск наилучших постоянных, которыми можно ограничить функцию сверху и снизу на заданном отрезке, естественным образом приводит нас к задаче об отыскании минимума и максимума непрерывной функции на этом отрезке. Возможность решения этой задачи описывается следующей теоремой.

Теорема 3.9(о достижении экстремума непрерывной функцией)Пусть функция непрерывна на отрезке . Тогда существует точка , такая что при всех (то есть -- точка минимума: ), и существует точка , такая что при всех (то есть -- точка максимума: ). Иными словами, минимальное и максимальное значения непрерывной функции на отрезке существуют и достигаются в некоторых точках и этого отрезка.

Рис.3.24.Непрерывная на отрезке функция достигает максимума и минимума

Доказательство. Так как по предыдущей теореме функция ограничена на сверху, то существует точная верхняя грань значений функции на -- число . Тем самым, множества , ,..., ,..., не пусты, и по предыдущей лемме в них есть наименьшие значения : , . Эти не убывают (доказывается это утверждение точно так же, как в предыдущей теореме):

и ограничены сверху числом . Поэтому, по теореме о пределе монотонной ограниченной последовательности, существует предел Так как , то и

по теореме о переходе к пределу в неравенстве, то есть . Но при всех , и в том числе . Отсюда получается, что , то есть максимум функции достигается в точке .

Аналогично доказывается существование точки минимума.

В этой теореме, как и в предыдущей, нельзя ослабить условия: если функция не является непрерывной, то она может не достигать своего максимального или минимального значения на отрезке, даже будучи ограниченной. Для примера возьмём функцию

на отрезке . Эта функция ограничена на отрезке (очевидно, что ) и , однако значение 1 она не принимает ни в одной точке отрезка (заметим, что , а не 1). Дело в том, что эта функция имеет разрыв первого рода в точке , так что при предел не равен значению функции в точке 0. Далее, непрерывная функция, заданная на интервале или другом множестве, не являющемся замкнутым отрезком (на полуинтервале, полуоси) также может не принимать экстремального значения. В качестве примера рассмотрим функцию на интервале . Очевидно, что функция непрерывна и что и , однако ни значения 0, ни значения 1 функция не принимает ни в какой точке интервала . Рассмотрим также функцию на полуоси . Эта функция непрерывна на , возрастает, принимает своё минимальное значение 0 в точке , но не принимает ни в какой точке максимального значения (хотя ограничена сверху числом и

Заметим, что доказанная теорема не даёт практического способа находить точки минимума и максимума функции на заданном отрезке. Такой способ мы обсудим позднее, когда изучим понятие производной. Однако теорема важна тем, что даёт нам уверенность в том, что искомый экстремум существует и мы сможем его отыскать

Равномерная непрерывность

Напомним, что непрерывность функции в точке означает, что , то естьТем самым непрерывность функции на интервале или отрезке означает, чтоПри этом мы имеем право выбирать число в зависимости от и, главное, от точки .

Предположим теперь, что число можно выбрать общим для всех (но, конечно, зависящим от ). Тогда говорят, что свойство функции быть непрерывной в точке выполненоравномернопо .

Дадим теперь такое

CLX.ru - реклама в интернет

Определение 3.5Пусть -- некоторая функция и . Функция равномерно непрерывнана , если

Приведём пример равномерно непрерывной функции.

Пример 3.15Рассмотрим функцию и покажем, что она равномерно непрерывна на всей числовой оси . Фиксируем число и положим . Выберем теперь любые две точки и , такие что , и покажем, что тогда . Действительно,

так как, во-первых, при всех и и, во-вторых, при всех (у нас ). Таким образом. равномерная непрерывность функции доказана.

Лучше изучить условие равномерности по мы сможем, приведя пример, где оно нарушается.

Пример 3.16Пусть функция рассматривается на интервале . Если фиксирована точка , то для заданного мы можем выбрать так, что при всех таких, что ; для нахождения нужно решить неравенство относительно (напомним, что точка фиксирована):

CLX.ru - реклама в интернет

Из чисел и выберем минимальное:

Тогда при будет . Проанализируем, однако, зависимость от : при , приближающемся к 0, значения будут убывать и стремиться к 0 (при неизменном значении ), что хорошо видно на следующем чертеже:

Рис.3.25.Изменение в зависимости от положения точки

При приближении точки к началу координат нам приходится по одному и тому же выбирать всё меньшие -окрестности точки , чтобы обеспечить выполнение неравенства . Выбрать общим для всех , очевидно, невозможно: при заданном какое бы фиксированное число ни было взято, мы можем поместить точку так близко от 0, что значения и будут отличаться друг от друга больше, чем на , хотя . Это означает, что функция не является равномерно непрерывной на интервале .

Теорема 3.10Пусть и функция непрерывна на . Тогда равномерно непрерывна на .

Доказательствоэтой теоремы достаточно сложно и основывается на тонких свойствах системы действительных чисел, а именно, на том, что любой замкнутый отрезок является компактом Мы пропускаем здесь доказательство теоремы, отсылая за ним заинтересованного читателя к подробным курсам математического анализа, например,Никольский С.М.,Курс математического анализа, т. 1. -- М.: Наука, 1991;Фихтенгольц Г.М.,Курс дифференциального и интегрального исчисления, т. 1. -- М.-Л.: ГИТТЛ, 1948 и др. годы изд.

В качестве следствия равномерной непрерывности легко получается утверждение теоремы 3.8, а именно,

Следствие 3.1Любая функция , непрерывная на замкнутом отрезке , ограничена на (то есть существует такое число , что при всех ).

Приведём это доказательство (хотя теорема 3.8 была ранее доказана другим способом):

Доказательство. Фиксируем какое-либо число , например , и выберем такое, что при всех , для которых , будет . Разобьём на отрезки длины :

(мы положили ; длина последнего отрезка может оказаться меньше ). Выберем в качестве середину каждого из отрезков:

Тогда для каждого выполняется неравенство и, следовательно, . Это неравенство эквивалентно такому: , или . Поскольку точек конечное число (а именно, ), то мы можем взять минимальное из чисел , , и максимальное из чисел , :

Тогда для любого верно неравенство , и осталось взять . При этом для любого будет , что означает ограниченность функции на .

Непрерывность обратной функции

Пусть -- функция, непрерывная на отрезке . Предположим, что монотонна на ; пусть, для определённости, она монотонно возрастает: из следует, что . Тогда образом отрезка будет отрезок , где и (действительно, непрерывная функция принимает любое промежуточное между и значение, причём ровно один раз, что следует из монотонности). Поэтому существует обратная к функция функция, действующая из в . Очевидно, что монотонно возрастает. (Если бы функция была монотонно убывающей, то и обратная к ней функция тоже была бы монотонно убывающей.)

Теорема 3.11Пусть -- непрерывная монотонная функция, , . Тогда обратная к функция непрерывна на отрезке .

CLX.ru - реклама в интернет

Доказательство. Во-первых, заметим, что если , , то .

Во-вторых, пусть ; рассмотрим функцию , которая определена при . Очевидно, что -- непрерывная на функция, поэтому она принимает наименьшее значение в некоторой точке :

Таким образом, если , то , то есть если , то . Последнее утверждение можно переформулировать так: для любого числа найдётся число , такое что при выполняется неравенство . (При этом , , , .) Получили, что функция удовлетворяет определению равномерной непрерывности на отрезке ; тем самым доказано утверждение теоремы.

Гиперболические функции и ареа-функции

Для рассмотрения дальнейших примеров нам понадобится определение гиперболических функций и ареа-функций, обратных к гиперболическим.

Определение 3.6Гиперболическим синусомназывается функция

Гиперболическим косинусомназывается функция

Гиперболическим тангенсомназывается функция

Гиперболическим котангенсомназывается функция

Рис.3.26.Графики гиперболических функций

Функции , и -- нечётные; функция -- чётная. Области определения гиперболических функций таковы:

CLX.ru - реклама в интернет

области значений-- следующие:

Упражнение 3.1Докажите сделанные утверждения о том, какой вид имеют области значений гиперболических функций.

Замечание 3.2В англоязычной литературе используется обозначение вместо , вместо , вместо , вместо .

Некоторые из свойств гиперболических функций схожи (но не всегда в точности совпадают) со свойствами соответствующих тригонометрических функций. Например, имеют место формулы:

и многие другие формулы, аналогичные известным формулам тригонометрии.

Упражнение 3.2Докажите приведённые выше формулы, исходя из определений гиперболических функций.

Подобно тому, как равенство выражает тот факт, что точка координатной плоскости с координатами , при изменении параметра движется по окружности радиуса 1, заданной уравнением (и называемой тригонометрическим кругом), равенство говорит о том, что точка с координатами , движется по равносторонней гиперболе, заданной уравнением . Отсюда и происходит название: гиперболические функции.

Функции , непрерывны и монотонно возрастают на своих областях определения. Поэтому они имеют обратные функции, которые также монотонно возрастают и непрервыны. Функция, обратная к функции , называетсяобратным гиперболическим синусом, илиареа-синусом, и обозначается . Имеем: , . Функция, обратная к функции , называетсяобратным гиперболическим тангенсом, илиареа-тангенсом, и обозначается . Итак, , .

Рис.3.27.Графики функций и

Функция , хотя и имеет разрыв в точке 0, монотонна на интервалах и и принимает каждое своё значение ровно один раз. Поэтому существует обратная функция, называемаяобратным гиперболическим котангенсом, илиареа-котангенсом, обозначаемая . Она определена на и принимает значения в множестве .

Рис.3.28.График функции

Функция не является монотонной на всей своей области определения. Однако монотонно (и непрерывно) её ограничение на полуось , при этом функция принимает все значения из . Поэтому для этого ограничения существует обратная функция, называемаяобратным гиперболическим косинусом, илиареа-косинусоми обозначаемая . Она непрерывна на своей области определения и принимает значения на .

Возможен вариант: вместо ограничения на можно рассмотреть ограничение функции на , а затем функцию, обратную к этому ограничению. Эту функцию часто также называют ареа-косинусом и обозначают , однако нужно чётко осознавать, что при таком построении получается другая функция (будем обозначать её здесь ). Итак, и .

Рис.3.29.Графики функций и

Замечание 3.3В англоязычной литературе используется обозначение вместо , вместо , вместо , вместо .

Упражнение 3.3Докажите, пользуясь определением гиперболических функций, что ареа-функции выражаются через логарифмическую функцию следующим образом:

Примеры и упражнения

Пример 3.17Пусть функция определена на интервале следующим образом:

Найдём её область непрерывности и точки разрыва.

Поскольку внутри интервалов , , , функция совпадает с ограничениями на эти интервалы элементарных функций , , , 2 соответственно, то все эти интервалы входят в область непрерывности и точек разрыва там нет. Точками разрыва могут оказаться (но не обязательно окажутся!) лишь точки на стыках этих интервалов, то есть точки , , .

Для выяснения того, непрерывна ли функция в точке , найдём пределы слева и справа:

CLX.ru - реклама в интернет

При этом мы воспользовались тем, что как элементарная функция (с областью определения ), так и элементарная функция (с областью определения ) имеют внутренней точкой своих областей определения, непрерывны в этой точке, и значения пределов можно найти прямой подстановкой. Поскольку пределы слева и справа в точке 1 совпали и, кроме того, , то условия непрерывности в точке 1 выполнены; разрыва в этой точке нет.

Точно так же исследуем функцию на непрерывность в точке . Найдём пределы слева и справа:

Поскольку пределы слева и справа при существуют, но не совпадают, функция имеет разрыв первого рода при .

Теперь найдём пределы при и :

Здесь пределы слева и справа совпадают между собой и со значением функции в точке 3: . Значит, -- точка непрерывности.

Итак, функция имеет единственную точку разрыва , в которой происходит неустранимый разрыв первого рода; область непрерывности функции состоит из объединения двух интервалов: .

Мгновенная скорость при прямолинейном движении

Пусть материальная точка движется по координатной прямой , и её положение в момент времени имеет координату .Средняя скоростьточки за произвольный промежуток времени , за который точка перемещается из положения в положение , определяется как . Если мы обозначим протекший промежуток времени через , то и , поэтому , при .

Мгновенная скоростьточки в момент определяется как предел средней скорости за промежуток времени от до (), при условии . Таким образом, получаем формулу, служащую определением мгновенной скорости в момент :

(4.1)

Можно также рассматривать промежутки времени, протекшие до момента , то есть промежутки от до . Тогда средняя скорость точки за этот промежуток времени будет равна , при . Если положить , то, очевидно, , при . При этом придётся определять мгновенную скорость в момент формулой

(4.2)

CLX.ru - реклама в интернет

Определение 4.1Число мы будем называтьправой производной, илипроизводной справа, функции в точке и обозначать или , а число --левой производной, илипроизводной слева, функции в точке и обозначать или . Иногда для уточнения говорят, что эти производные вычислены по переменной .

Напомним ещё раз, что механический смысл как левой, так и правой производной координаты по времени -- это мгновенная скорость движения, вычисленная в момент , но либо по интервалам времени, предшествующим , либо по интервалам, последующим . Эти две мгновенных скорости не обязаны, вообще говоря, совпадать: если тело покоилось до момента , а затем двинулось с постоянной скоростью , то мгновенная скорость, вычисленная по предшествующим интервалам, очевидно, равна (так как до момента тело покоилось), а мгновенная скорость, вычисленная по последующим интервалам времени, равна (-- это изменение координаты точки, движущейся со скоростью , за промежуток времени продолжительности с момента до момента ). Эти две мгновенных скорости различны

Касательная к кривой на плоскости

Пусть на координатной плоскости построен график функции , и -- некоторая внутренняя точка области определения . Прямая, проходящая через точки и , где и ( ), -- это секущая по отношению к графику .

Касательнойк линии в точке называется прямая , служащая предельным положением секущих (прямых ), при условии, что точка приближается, следуя по линии , к точке касания .

Рис.4.1.Касательная -- это предельное положение секущихCLX.ru - реклама в интернет

Этому не вполне строгому определению можно придать точный смысл, если задавать положения всех прямых, проходящих через точку , то есть секущих и касательной, их углом наклона по отношению к положительному направлению оси . Обозначим через угол наклона прямой . Очевидно, что, вообще говоря, угол зависит от выбора точки : (считаем, что точка фиксирована). Так как секущая проходит через точки с координатами и , то

Если теперь обозначить через приращение абсциссы при переходе от точки к точке , то есть , то получим, что

Приближение точки к точке вдоль кривой означает, что ; при этом угол приближается, по определению, к углу наклона касательной :

Предположим, что этот предел существует (что означает существование касательной) и не равен . Тогда, вследствие того, что тангенс непрерывен при ( ), получаем, что

Итак, по определению, мы называем прямую наклонной касательной(или просто касательной) к линии в точке , если она имеет тангенс угла наклона к оси , равный

(4.3)

Число называютугловым коэффициентом касательнойк графику функции при .

Если же , то прямая оказывается вертикальной (перпендикулярной к оси ). В этом случае будем говорить, что график имеетвертикальную касательнуюв точке . Этот случай соответствует тому, что

или

CLX.ru - реклама в интернет

при .

Определение 4.2Число , в случае если задающий его предел существует, называютпроизводнойфункции в точке и обозначают . Иногда для уточнения говорят, что производная вычислена по переменной .

Поскольку мы знаем, что уравнение прямой, проходящей через точку с угловым коэффициентом , -- это (где -- текущая точка прямой), то мы можем теперь выписатьуравнение касательной к графику при , то есть касательной, проходящей через точку с угловым коэффициентом, равным производной функции в точке :

Пусть дана некоторая кривая , и в точке к этой кривой проведена касательная. Прямая, проходящая через точку касания перпендикулярно касательной, называетсянормальюк линии .

Рис.4.2.Касательная и нормаль к линии

Если касательная имеет угловой коэффициент , то нормаль имеет угловой коэффициент , поскольку ввиду перпендикулярности нормали и касательной угол наклона нормали равен , а Поэтому уравнение нормали к линии , проведённой через точку , имеет вид:

или

Производная

Итак, согласно предыдущим двум определениям, производная функции в точке ,правая производная илевая производная задаются, соответственно, формулами

при этом в формуле (4.3a) функция должна быть определена на некотором интервале , в формуле (4.3b) -- на некотором полуинтервале , а в формуле (4.3c) -- на некотором полуинтервале .

Функция, имеющая в точке производную (соотв. левую производную, правую производную), называетсядифференцируемой (соотв. дифференцируемой слева, дифференцируемой справа) в точке . Функция, дифференцируемая во всех точках некоторого интервала, называетсядифференцируемой на интервале . Пусть теперь-- замкнутый отрезок. Функция, дифференцируемая во всех точках интервала, дифференцируемая справа в точкеи дифференцируемая слева в точке, называетсядифференцируемой на отрезке .CLX.ru - реклама в интернет

Вычислим производную данной функции в различных точкахнекоторого интервалаи предположим, что производнаясуществует при всех. Тогда мы можем задать соответствие между точкамиинтервала и числамии получаем функцию. Эта функцияназываетсяпроизводной от функции (илипервой производной от ).

С математической точки зрения, разница между формулами (4.3 a-c) невелика: согласно теореме о связи двустороннего предела с односторонними, если существует производная , то существуют обе односторонние производные (праваяи левая), и. Обратно, если существуют и равны друг другу односторонние производные,, то существует и производная, совпадающая с их общим значением.

В предположении, что производная существует, мы можем теперь сказать, что числозадаёт мгновенную скорость изменения координатыпри; с геометрической точки зрения, эта скорость равна тангенсу угла наклона касательной, проведённой к графикупри: чем быстрее растут (или убывают) значения функции, тем круче наклонён график к оси(составляя, соответственно, положительный или отрицательный угол с осью).

Рис.4.3.Скорость роста значений функции соответствует величине тангенса угла наклона касательной

Замечание 4.1 В числителе дроби, предельное значение которой даёт производную, стоит выражение . Оно называется приращением функции. В знаменателе стоит величина. Она называется приращением аргумента. Величинаназывается разностным отношением Условиеможно, очевидно, записать в виде(кстати, базаэквивалентна базе). Тем самым определение производной можно записать в таком виде:

От такой записи происходит обозначение производной в виде .

CLX.ru - реклама в интернет

Пример 4.1 Рассмотрим линейную функцию . Тогда,ипри любом. Получаем, что для линейной функции производная в любой точке равна угловому коэффициенту. (Что неудивительно: ведь касательная к прямой, служащей графиком линейной функции, -- это та же самая прямая, а угловой коэффициент касательной равен производной!) В частности, приполучаем, что производная любой постоянной, то есть функции, равна 0:

(4.5)

а при иполучаем, что

(4.6)

Пример 4.2 Пусть и. Вычислим односторонние производныеи.

При имееми. Значит, разностное отношение равнои

Графически это означает следующее. Мы строим касательную к графику

в точке , сначала пользуясь секущимис точкойправее. Эта касательная, как и все такие секущие, совпадают между собой и имеют уравнение, задающее прямую, наклонённую под угломк оси(). Далее, мы строим касательную, пользуясь секущимис точкойлевее. Все такие секущие и касательная, по ним построенная, совпадают между собой и имеют уравнение, задающее прямую, наклонённую под угломк оси().

Рис.4.4.График имеет излом при

Таким образом, неравенство левой и правой производной выражает тот геометрический факт, что линия имеет приизлом под угломи не имеет общей касательной сразу к двум сторонам этого угла.

Покажем теперь, что дифференцируемая функция не может быть разрывной.

Теорема 4.1 Пусть функция дифференцируема (дифференцируема слева, дифференцируема справа) в точке. Тогданепрерывна (соотв. непрерывна слева, непрерывна справа) в этой точке.

Доказательство. Из существования производной

следует, что

откуда

что и означает непрерывность функции в точке.

Для доказательства теоремы в случае существования односторонних производных достаточно сменить базу на базуили.

Замечание 4.2 Предыдущий пример показывает, что обратное утверждение неверно: функция не обязательно имеет производную во всех тех точках, где она непрерывна. Действительно, функция непрерывна при, но не имеет производной в точке 0.

Более того, можно построить пример такой функции, которая непрерывна во всех точках числовой прямой, но не имеет производной ни в одной из этих точек.

Замечание 4.3 Заметим, что доказанная теорема гарантирует непрерывность функции, имеющей производную в точке , только в этой самой точке, но не на некотором интервале, окружающем. Примером функции, имеющей производную при, но разрывной при всех, служит функция

(Напомним, что через обозначается множество всех рациональных чисел. Рациональные числа, как и иррациональные, плотно расположены на числовой оси: между любыми двумя рациональными числами найдётся иррациональное число, а между двумя иррациональными -- рациональное.) Действительно,; если-- рациональное число, то разностное отношение, а если-- иррациональное, то. И в том, и в другом случае разностное отношение стремится к 0 при, так что существует производная. Однако, как нетрудно заметить, функцияразрывна во всех точках, кроме.

Замечание 4.4 Заметим также, что даже если функция имеет производную на некотором интервале, окружающем точку , значениеможет оказаться не равным пределу значенийпри, то есть производнаяможет оказаться разрывной функцией. Примером такой функции с всюду существующей, но разрывной производнойможет служить функция

Производная этой функции, как мы покажем ниже, равна

Нетрудно видеть, что эта функция имеет разрыв второго рода в точке 0, из-за слагаемого , совершающего бесконечное число колебаний амплитуды 1 в любой, как угодно малой, окрестности точки 0

Свойства производных

Покажем, что множество функций, имеющих производную в некоторой фиксированной точке , замкнуто относительно арифметических операций с этими функциями. А именно, докажем следующую теорему, дающую основные правила дифференцирования.

Теорема 4.2Пусть функции и имеют производные в точке . Тогда функции , , , а в случае также имеют производные в точке , которые выражаются следующими формулами:

	(4.7)
	(4.8)
	(4.9)
	(4.10)

Аналогичные утверждения и формулы имеют место также для односторонних производных ().

CLX.ru - реклама в интернет

Доказательство. Докажем формулу (4.7). Пусть аргументу дано приращение ; при этом функция получает приращение , а функция -- приращение . Их сумма получит тогда приращение

Значит,

Совершенно аналогично доказывается формула (4.8).

Докажем теперь формулу (4.9). Пусть снова и -- приращения функций, соответствующие приращению аргумента . Тогда , и приращением произведения будет

Поэтому, по свойствам пределов,

При этом мы вынесли множители и за знак предела как постоянные, не зависящие от переменного , к которому относится база предела.

Докажем теперь формулу (4.10). Заметим, что

Поэтому, согласно правилам вычисления пределов,

CLX.ru - реклама в интернет

При этом мы вынесли за знак предела постоянный (то есть не зависящий от ) множитель и воспользовались тем, что при , что означает непрерывность функции в точке . Но ранее мы доказали, что всякая дифференцируемая в точке функция непрерывна в точке ( теорема 4.1).

Замечание 4.5Обозначим функцию через , а функцию через . Тогда формулы (4.7 - 4.10) можно более коротко записать в виде

(при

Именно в таком кратком виде мы и рекомендуем запоминать эти формулы.

Следствие 4.1Применяя формулу (4.9) к случаю, когда , и учитывая, что (см. формулу (4.5)), мы получаем, что

то есть что постоянный множитель можно выносить из под знака производной.

Из этого следствия и формулы (4.7) получается следующее свойство производных: если и -- постоянные и -- дифференцируемые в точке функции, то

(4.11)

Если операцию вычисления производной в точке обозначить , то есть , то равенство (4.11) означаетлинейностьэтой операции дифференцирования в точке:

Поскольку дифференцируемость функции на интервале или отрезке мы определяли как дифференцируемость в каждой точке этого интервала или отрезка, то тем самым мы показали, что операция перехода от функции к её производной , , также обладает свойством линейности:

При этом в случае отрезка действие на функцию в точке, являющейся одним из концов отрезка, понимается как вычисление соответствующей односторонней производной: в левом конце -- правой, а в правом конце -- левой.

Эти результаты можно выразить ещё и таким образом. Рассмотрим пространство всех функций , определённых на некотором фиксированном интервале и имеющих производную в точке . Тогда операции умножения на постоянные множители и сложения не выводят из этого пространства, то есть пространство -- этолинейное пространство; при этом операция -- этолинейная операцияиз пространства в линейное пространство вещественных чисел:

То же верно и для пространств функций, дифференцируемых на интервале (обозначим это пространство ) или на отрезке (обозначим это пространство ). Оба этих пространства -- линейные (то есть замкнуты относительно применения к функциям из этих пространств операций сложения и умножения на постоянные), а операция дифференцирования действует как линейная операция из этих линейных пространств в линейное пространство функций, непрерывных на данном интервале (обозначим это пространство ; см. предложение 3.4) или отрезке (обозначим это пространство ; также см. предложение 3.4), так как в соответствии с теоремой 4.1 производная каждой дифференцируемой функции -- это непрерывная функция :

Тем самым операция -- это линейная функция, областью определения которой служит пространство всех дифференцируемых функций, а область значений лежит в пространстве непрерывных функций. Функции, областями определения и областями значения которых служат некоторые пространства функций, в математике принято называтьоператорами. Таким образом, операция дифференцирования -- этолинейный операториз линейного пространства в линейное пространство и из линейного пространства в линейное пространство .

Производные некоторых элементарных функций

1. Выше мы уже рассмотрели линейную функцию и показали, что её производная равна угловому коэффициенту :

2. Рассмотрим функцию . Дадим аргументу приращение и найдём приращение функции: . Поэтому

(Можно доказать эту формулу и так:

Здесь мы применили формулу (4.9).) Точно так же для функции получаем: , откуда

CLX.ru - реклама в интернет

(И здесь, применяя формулу (4.9), мы можем действовать так:

Такие же вычисления для функции при целом можно провести, разложив по формуле бинома Ньютона (см. гл. 2). При этом получится формула

(4.12)

(Проведите это вычисление самостоятельно в качестве упражнения. Другой способ доказательства этой формулы -- представить в виде и применить метод математической индукции, воспользовавшись тем, что при и 3 формула уже доказана.) При и формула (4.12) совпадает, соответственно, с формулами (4.5) и (4.6). Ниже мы докажем, что эта формула верна при любом , в том числе при дробных и отрицательных значениях .

3. Найдём производную функции в точке . Преобразуем приращение функции следующим образом:

Поэтому

поскольку вследствие непрерывности элементарной функции в любой точке . Получили в итоге формулу , то есть формулу (4.12) при .

4. Пусть , где . Производную этой функции можно подсчитать по формуле производной частного (формула (4.10)):

то есть . Эта формула совпадает с формулой (4.12) при отрицательных целых .

В частности, получаем при

и при

5. Пусть . Тогда приращение функции равно

а производная --

При этом мы воспользовались тем, что , так как -- непрерывная функция, и тем, что (это первый замечательный предел).

6. Пусть . Тогда приращение функции равно

а производная --

При этом мы воспользовались непрерывностью синуса, откуда и первым замечательным пределом.

7. Рассмотрим функцию как отношение и применим для нахождения производной формулу (4.10). Получаем:

8. Аналогично, для функции получаем

CLX.ru - реклама в интернет

9. Пусть ( ). Тогда приращение функции равно

а разностное отношение --

Теперь вычислим производную:

При вычислении предела мы, во-первых, воспользовались непрерывностью логарифмической функции и переставили знаки предела и логарифма; во-вторых, сделали замену , при этом при ; в-третьих, был использован второй замечательный предел: .

Из полученной формулы

при вытекает, что

Пример 4.3Найдём производную функции

При вычислим производную как производную произведения:

При производную вычислим по формуле, служащей определением производной:

поскольку получили предел произведения бесконечно малой величины и ограниченной величины . Итак, , однако это значение не является пределом при , то есть производная имеет при разрыв второго рода. Действительно, в выражении для при первое слагаемое стремится к 0 при , однако второе слагаемое не стремится ни к какому пределу при , совершая вблизи 0 бесконечно много колебаний.

Рис.4.5.Графики функции и её производной

Этот пример показывает, что производная, даже если она всюду существует, не обязана быть непрерывной функцией.

Дифференциал

Определение 4.3Пусть дана функция , и -- внутренняя точка её области определения. Придадим аргументу приращение и рассмотрим приращение функции

Если это приращение можно представить в виде

где величина не зависит от приращения , а -- бесконечно малая при базе величина, имеющая больший порядок малости, чем , то произведение называетсядифференциалом функции в точке и обозначается или просто .

Таким образом, дифференциал -- это функция двух аргументов и , причём от переменного приращения дифференциал зависит линейно (входит в выражение, задающее , как множитель, стоящий в первой степени). Заметим, что в формуле

второе слагаемое в правой части имеет порядок малости, больший, чем у , и, следовательно, при больший, чем у . Поэтомудифференциал -- это главная, линейная по , часть приращения функции.

Теорема 4.3Функция имеет дифференциал в точке тогда и только тогда, когда она имеет производную в этой точке; при этом

CLX.ru - реклама в интернет

Доказательство. Пусть функция имеет дифференциал, то есть её приращение можно представить в виде . Разделим обе части равенства на :

При в правой части предел первого слагаемого равен , поскольку эта величина не зависит от и, следовательно, при вычислении предела считается постоянной. Далее,

так как, по определению дифференциала, имеет более высокий порядок малости, нежели . Значит, существует предел

Но этот предел, по определению, равен производной . Значит, функция имеет производную в точке , и , откуда

CLX.ru - реклама в интернет

Пусть теперь функция имеет производную . Это означает, что . По теореме о связи пределов и бесконечно малых, это эквивалентно тому, что величина является бесконечно малой. Умножим обе части последнего равенства на и получим:

Получили представление приращения функции в виде , где , а величина , очевидно, имеет больший порядок малости, чем , поскольку при . Тем самым, функция имеет в точке дифференциал, который имеет вид .

Геометрический смысл дифференциала мы выясним, исходя из найденного ранее геометрического смысла производной. Поскольку производная -- это угловой коэффициент касательной к графику функции при , то дифференциал -- это приращение ординаты точки касательной

к графику функции , когда абсцисса точки касательной получает приращение :

Рис.4.6.Дифференциал равен приращению ординаты касательной

Замечание 4.6Заметим, что для функции производная равна 1, так что дифференциал равен , то есть . Поэтому можно всюду вместо приращения независимой переменной писать её дифференциал . При этом получается, что для произвольной дифференцируемой функции

Замечание 4.7Часто в обозначении дифференциала функции пропускают второй аргумент , от которого зависит линейно, и пишут короче:

Однако нужно чётко понимать, что это лищь сокращённая запись, и на самом деле дифференциал -- это функция двух аргументов и , линейная по .

Замечание 4.8Поскольку для функции дифференциал записывается как , то, деля на , получаем

что придаёт смысл обозначению производной в виде отношения дифференциалов. Это обозначение было введено нами ранее, однако выше мы не придавали дроби смысла некоторого отношения двух величин, а смогли сделать это только сейчас.

Производная композиции

Пусть и -- такие числовые функции, что определена их композиция . Предположим, что функция определена в некоторой окрестности точки , а функция -- в некоторой окрестности точки . Тогда имеет место следующее утверждение.

Теорема 4.4Если функция имеет производную , а функция -- производную , то композиция имеет производную

(4.13)

Доказательство. Рассмотрим приращение функции , соответствующее приращению переменного :

где и . Так как функция имеет дифференциал в точке (см. теорему 4.3), то

где при и при . Раскрываем скобки далее:

CLX.ru - реклама в интернет

Теперь, в соответствии с теоремой 4.3, осталось доказать, что в последней формуле в квадратных скобках стоит величина, бесконечно малая при . Первое слагаемое бесконечно мало, поскольку вообще не зависит от , а -- бесконечно малая при базе . Во втором слагаемом постоянной является величина . Покажем, что при . Так как функция имеет производную при , то непрерывна в точке , откуда и, следовательно, при . Поэтому при , по предположению о величине . Для третьего слагаемого заметим, что , как только что было доказано, есть бесконечно малая и, следовательно, локально ограниченная функция при , а -- бесконечно малая. Значит, их произведение также бесконечно мало при . Тем самым, в квадратных скобках стоит сумма трёх бесконечно малых, которая также является бесконечно малой величиной. Теорема доказана.

Замечание 4.9Мы можем пояснить происхождение формулы (4.13), то есть формулы , где , записав её в виде

Эта формула получается предельным переходом из очевидного равенства

однако такое доказательство формулы (4.13) имеет существенный недостаток, поскольку ниоткуда не следует, что при всех . Тем не менее, смысл формулы для производной композиции функций при этом, несомненно, проясняется.

Пример 4.4Пусть , то есть , где : данная функция представлена в виде композиции функций и . Тогда для нахождения производной мы можем применить формуду производной композиции. Поскольку и (нижний индекс мы пишем для напоминания о том, по какой переменной берётся производная), то

Тот же самый, разумеется, результат мы получим, использовав равенство и применив формулу производной произведения:

Однако первый способ гораздо продуктивнее: совершенно аналогично получаем, например,

и т. п.

Беря в качестве промежуточного аргумента любую дифференцируемую функцию , из доказанных ранее формул получаем:


в частности,






в частности, CLX.ru - реклама в интернет

Пример 4.5Найдём производную функции . Здесь промежуточный аргумент равен ; . Поэтому по формуле получаем:

Пример 4.6Найдём производную функции . Здесь функция имеет вид , с промежуточным аргументом , который, в свою очередь, является сложной функцией. Поэтому

Пример 4.7Найдём производные ареа-функций (напомним, что ареа-функции -- это функции, обратные к гиперболическим функциям). Ранее мы записали для них следующие формулы:



(в зависимости от того, что считать главной ветвью функции );

Поэтому

и аналогично:

Последние две формулы не противоречат друг другу, так как при , а при .

Упражнение 4.1Пусть -- чётная функция, имеющая производную . Докажите, что тогда является нечётной функцией. Наоборот, если -- нечётная функция, докажите, что -- чётная функция.

При этом воспользуйтесь тем, что для чётной функции , а для нечётной функции , и примените правило нахождения производной композиции, с промежуточным аргументом .

Инвариантность дифференциала

Рассмотрим функцию . Если предположить, что -- независимая переменная, то

Если же рассматривать переменную как промежуточный аргумент, зависящий от независимого переменного , то есть , то -- это композиция, и дифференциал можно найти, применив формулу для производной сложной функции:

CLX.ru - реклама в интернет

поскольку . Так что и в этом случае, как и в случае независимой переменной , верна формула , только теперь понимается как дифференциал функции, а не независимого переменного.

Тот факт, что во всех случаях, независимо от предположения о том, чем является переменная , формула имеет место, называетсяинвариантностью дифференциала.

Производная обратной функции

Пусть -- непрерывная функция, монотонная на интервале . Тогда, как мы доказали в гл. 3, функция имеет обратную функцию , которая также является непрерывной и монотонной функцией на интервале , в который функция переводит интервал . Пусть -- фиксированная точка и -- точка, ей соответствующая. Тогда .

Теорема 4.5Пусть функция имеет в точке производную . Тогда обратная функция имеет в соответствующей точке производную , которую можно отыскать по формуле

(4.14)

Доказательство. Дадим аргументу приращение , такое что , и рассмотрим соответствующее приращение , определяемое равенством . Тогда, очевидно, ; при этом , а из монотонности функции следует, что . Поскольку как функция , так и функция непрерывны, то условия и эквивалентны. Составим теперь разностное отношение для функции и запишем для него очевидное равенство:

CLX.ru - реклама в интернет

Теперь перейдём в этом равенстве к пределу при и учтём, что при этом тоже стремится к 0:

что мы и хотели доказать.

Заметим, что, очевидно, из формулы (4.14) следует, что

(4.15)

если -- функция, обратная к .

Замечание 4.10Нетрудно заметить из приведённого доказательства, что если существует производная , то разностное отношение стремится к при , что соответствует вертикальной касательной к графику при (если считать, что ось расположена горизонтально, а ось -- вертикально).

Рис.4.7.Графики функций и и касательные к ним при

Полученная формула для производной обратной функции имеет прозрачный геометрический смысл. Заметим, что график как функции , так и обратной функции изображается на координатной плоскости одной и той же линией, состоящей из точек , где или, что то же самое, . Поэтому, если в точке график функции имеет касательную, образующую угол с осью , то угол той же касательной с осью будет, очевидно, равен . Тогда

поскольку для обратной функции производная даёт тангенс угла наклона касательной по отношению к оси , на которой меняется аргумент функции .

Рис.4.8.Углы, тангенсы которых равны и , дополняют друг друга до

Производные некоторых элементарных функций (продолжение)

Применим полученную формулу производной обратной функции (точнее, формулу (4.15)) для нахождения производных некоторых элементарных функций.

Пример 4.8Найдём производную функции . Обратной к этой функции служит главная ветвь функции ( ), производная которой равна . Заметим, что при указанных значениях выполнено неравенство , откуда (корень берём со знаком ). Поэтому по формуле (4.15):

Пример 4.9Аналогично отыщем производную функции . Обратной к служит главная ветвь функции ( ), производная которой равна . Заметим, что при выполнено неравенство , откуда (корень со знаком ). Поэтому по формуле (4.15)

Заметим однако, что тот же результат можно было бы гораздо легче получить, используя тригонометрическую формулу , откуда и

CLX.ru - реклама в интернет

Пример 4.10Найдём производную функции . Обратной к этой функции служит главная ветвь функции ( ), производная которой равна . Поэтому по формуле (4.15)

Пример 4.11Найдём производную функции . Обратной к этой функции служит главная ветвь функции (), производная которой равна . Поэтому по формуле (4.15)

Конечно, ту же формулу можно было получить из соотношения , откуда и

Пример 4.12Найдём производную функции (). Обратной к ней служит функция , производная которой такова: . Поэтому формула (4.15) даёт

В частности, при получаем

Выведем теперь формулы для производных гиперболических функций.

Пример 4.13Пусть . Заметим, что

по формуле производной композиции (с промежуточным аргументом ). Тогда

CLX.ru - реклама в интернет

Пример 4.14Аналогично находится производная гиперболического косинуса :

Пример 4.15Найдём производную гиперболического тангенса . Заметим для начала, что (проверьте!). Далее, имеем:

Пример 4.16Найдём производную гиперболического котангенса . Имеем:

Упражнение 4.2Выведите эти же 4 формулы для производных функций , исходя из того, что это -- обратные функции к соответствующим ареа-функциям, производные которых мы уже нашли выше. При этом используйте формулу (4.15).

Обратно, исходя из доказанных формул для производных гиперболических функций, выведите при помощи формулы (4.15) формулы для производных ареа-функций.

Пример 4.17Найдём теперь формулу для производной функции при произвольном вещественном . Некоторые частные случаи (при , ) были нами разобраны выше.