Достаточные условия локального экстремума

В предыдущих примерах мы видели, что хотя необходимое условие не гарантировало наличие экстремума в критической точке, мы смогли исследовать поведение функции в окрестности этой точки и выяснить, имеется ли в ней экстремум и если да, то какого рода. Однако для выяснения этого нам пришлось иной раз прибегать к искусственным преобразованиям функции, которые во общем случае могут быть не очевидны или затруднительны. В данном разделе мы рассмотрим несколько общих теорем, позволяющих исследовать поведение функции в критической точке.

        Теорема 7.5Пусть -- критическая точка функции. Если функцияне убывает в некоторой левой окрестноститочкии не возрастает в некоторой её правой окрестности, то точка-- точка локального максимума.

Если же функция не возрастает в некоторой левой окрестностии не убывает в некоторой правой окрестности, то точка-- точка локального минимума.

        Доказательство.     Еслине убывает в, топри всех, поскольку из непрерывности. Точно так же,при всех. Выберем из чиселинаименьшее:и рассмотрим симметричную окрестность. При, очевидно,, то есть-- точка локального максимума.

Вторая половина утверждения теоремы сводится к первой, если положить и заметить, что функцияне убывает ви не возрастает в; локальный максимум функциисоответствует локальному минимуму функции.

        Замечание 7.4Найденное достаточное условие локального экстремума гарантирует наличие экстремума в точке. Однако оно не является необходимым: можно найти такую функцию, которая имеет экстремум (например, минимум) в некоторой точке, однако не монотонна ни в какой левой окрестности и ни в какой правой окрестности этой точки. Примером может служить функция

График этой функции зажат между двумя параболами ии в окрестности точки 0 имеет бесконечно много промежутков монотонности, разделённых стационарными точками, так чтоне монотонна ни на каком интервале видаили. В точке 0 функция непрерывна (по теореме "о двух милиционерах") и имеет минимум, так как при всех.

Заметим кстати, что производная этой функции равна

Эта производная имеет в точке разрыв второго рода.

CLX.ru - реклама в интернет

        Теорема 7.6Пусть -- критическая точка функции, и у этой функции существует производнаяв некоторой проколотой окрестности. Если при этом в левой окрестностиимеет место неравенство, а в правой окрестности-- неравенство, то точка-- точка локального максимума; если же в левой окрестности выполнено неравенство, а в правой окрестности -- неравенство, то точка-- точка локального минимума. Наконец, если производная в левой и в правой окрестности имеет один и тот же знак, то точкане является точкой локального экстремума.

        Доказательство.     Доказательство первых двух утверждений теоремы сразу же следует из предыдущей теоремы итеоремы 7.2о связи знака производной с возрастанием и убыванием функции: из неравенстваследует неубывание функции, а из неравенства-- её невозрастание. Последнее утверждение теоремы также очевидно.

Рис.7.25.Связь смены знака производной с локальными экстремумами

Доказанную теорему можно сформулировать следующим образом:

если производная меняет знак снапри переходе через критическую точку, то в этой точке -- локальный максимум функции; если знак производной меняется сна, то в точке-- локальный минимум; если же знак производной при переходе черезне изменяется, то локального экстремума в точкефункцияне имеет.

Следующая теорема позволяет обойтись для обнаружения экстремума исследованием функции только в точке (а не в её окрестности, как предыдущие теоремы), но зато требует привлечения второй производной.

        Теорема 7.7Пусть -- стационарная точка функции, и в этой точке существует вторая производная, причём. Тогда приточкаесть точка локального максимума, а при-- локального минимума.

        Доказательство.     Поскольку, то по определению производной

Пусть . Тогда из существования предела следует, что для любогоиз некоторой достаточно малой проколотой окрестноститочкивыполняется то же неравенство для допредельного выражения, то есть

при . Поскольку, по предположению теоремы,-- стационарная точка, то, откуда, то естьимеет знак, противоположный знаку:приипри. Остаётся лишь применить теперь предыдущую теорему, из которой следует, что-- точка локального максимума.

Доказательство для случая совершенно аналогично.

Пример 7.24Рассмотрим функцию. Её производная равна; решая уравнение, находим стационарные точки функции: это. Чтобы определить поведение функции в этих стационарных точках, найдём вторую производную и выясним, какой она имеет знак в каждой из этих трёх точек. Имеем:. Отсюда, следовательно, в точкефункцияимеет локальный минимум; то же в точке, посколькутакже равняется 8. В каждой из этих двух точек значение функции равно.

В точке получаем, поэтому в точке 0 функцияимеет локальный максимум. Значениев этой точке равно 0.

Рис.7.26.Три локальных экстремума функции

        Замечание 7.5В последней теореме ничего не говорится о том, что происходит в стационарной точкев случае, когда. В этом случае в точкеможет быть как локальный экстремум (возможен и максимум, и минимум), так и не быть экстремума. В этом нас убеждают следующие три примера.

        Пример 7.25Функцияимеет единственную стационарную точку. Вторая производнаяпринимает в этой точке значение 0, сама же функцияне имеет экстремума в точке 0.

Рис.7.27.Функция не имеет экстремума в стационарной точке 0

        Пример 7.26Функциятакже имеет единственную стационарную точку. Вторая производнаяпринимает в этой точке значение 0, сама же функцияимеет в точке 0 минимум.

Рис.7.28.Функция имеет минимум в стационарной точке 0, в которой

        Пример 7.27Функциятакже имеет единственную стационарную точку. Её вторая производнаяпринимает в стационарной точке значение 0, а сама функцияимеет в этой точке максимум.

Рис.7.29.Функция имеет максимум в стационарной точке 0, в которой

Для того, чтобы разобраться в поведении функции в такой стационарной точке, в которой, можно применить такую теорему:

Теорема 7.8Пусть функция имеет-ю производную в некоторой окрестности точкии эта производнаянепрерывна в точке. Предположим, что

Тогда, если число -- нечётное, то в точкефункцияне имеет локального экстремума; если же число-- чётное, то прив точкефункция имеет локальный максимум, а при-- локальный минимум.

        Доказательство.     Для доказательства заметим, что если разложитьпо формуле Тейлора в точкес остаточным членом в форме Лагранжа, то получим

(где лежит междуи), поскольку слагаемые со степенями бинома, меньшими, имеют, по предположению, нулевые коэффициенты. Следовательно, приращение функцииможно представить в виде

Поскольку инепрерывна в точке, то в некоторой окрестности точкиона сохраняет тот же знак, что у числа, в частности, знак числапри, близких к, -- тот же, что у числа.

Мы видим, что при нечётном приращениеменяет знак при переходе через точку, поскольку меняет знак множительв правой части. Значит, в этом случае локального экстремума в точкенет.

При чётном этот множитель положителен при всех, следовательно, приращение(при малых) имеет тот же знак, что и:при(неравенствоозначает, что-- точка локального максимума) ипри(неравенствоозначает, что-- точка локального минимума).

        Замечание 7.6Даже в этом усиленном виде (теорема 7.8) достаточный признак экстремума, связанный со значениями производных высших порядков, не всегда отвечает на вопрос о том, есть ли локальный экстремум в стационарной точке. Дело в том, что, как мы видели выше, существуют такие функции, у которыхвсепроизводные в некоторой точкеобращаются в 0, и тем не менее функция отлична от 0 всюду, кроме этой точки. Примером может служить функция, которую мы рассматривали в главе 6 (замечание 6.2):

Эта функция имеет стационарную точку , характер которой нельзя распознать, применивтеорему 7.8, посколькупри всех. Однако очевидно, чтопри всех, так что-- точка минимума функции.

Кроме того, заметим, что может быть не выполнено предположение о непрерывности производной -го порядка в точке, даже если эта производная существует при всех. В качестве примера рассмотрите самостоятельно функцию

Эта функция имеет минимум (равный 0) в точке . Производная этой функции существует при всехи равна

Найдите и исследуйте вторую производную этой функции.     

Выпуклость функции

        Определение 7.5Функция называетсявыпуклой вниз(или простовыпуклой) на интервале , если график функции идёт не выше хорды, соединяющей любые две точки графика и при .

Пусть . Тогда любую точку отрезка можно задать как , , а любую точку хорды -- как . Выражение задаёт линейную функцию переменного , график которой на отрезке совпадает с хордой.

То, что график функции идёт не выше хорды, означает, что

(7.4)

при всех .

Аналогично определяется выпуклость вверх: функция называетсявыпуклой вверх(иливогнутой) на интервале , если график функции идёт не ниже хорды, соединяющей любые две точки графика и при . Это означает, что

(7.5)

при всех .

Рис.7.30.Графики выпуклой и вогнутой функцийCLX.ru - реклама в интернет

Легко видеть, что функция вогнута на интервале в том и только том случае, когда функция выпукла на .

        Пример 7.28Рассмотрим функцию . Эта функция выпукла на любом интервале оси . Действительно, если интервал не содержит точки 0, то графики и на таком интервале совпадают, откуда следует, что неравенство (7.4) выполнено и функция выпукла. (Заметим, что на таком интервале верно и неравенство (7.5), так что одновременно и выпукла, и вогнута на таком интервале.) Если же точка 0 лежит в интервале , то и , и тот факт, что хорда лежит выше графика, геометрически очевиден.

Рис.7.31.Хорда лежит выше графика

        Пример 7.29Рассмотрим функцию ; её график -- парабола .

Рис.7.32.Функция  -- выпуклая

Мы привыкли изображать параболу именно так, что очевидно: хорда идёт выше графика на любом интервале . Подтвердим теперь это свойство формальной выкладкой. Имеем:

Здесь мы использовали известное неравенство: при всех .

Теорема 7.9Пусть функция определена на интервале и  -- некоторая точка этого интервала. При всех определено разностное отношение -- функция

Тогда функция выпукла на интервале в том и только том случае, когда функция не убывает на множестве .

        Замечание 7.7Функция равна тангенсу угла наклона хорды, одним из концов которой служит фиксированная точка , а вторым концом -- переменная точка графика . Тем самым, теорема означает, что у выпуклых функций угловые коэффициенты хорд графика не убывают, где бы ни был фиксирован один из концов хорды.

Рис.7.33.Угловой коэффициент хорды с фиксированным концом возрастает, если функция выпукла

Заметим также, что функция имеет следующее свойство:

(7.6)

Действительно,

    

        Доказательствотеоремы 7.9.     Выберем любые две точки . Предположим, что (случаи иного расположения точек рассматриваются аналогично). Поскольку , то при некотором . Нетрудно видеть, что тогда и . Поэтому из выпуклости функции следует, что

Умножая на , получаем:

Теперь вычтем из обеих частей неравенства. Получим, после раскрытия скобок в правой части и приведения подобных членов:

Теперь разделим обе части неравенства на и и получим:

то есть

Это означает, что функция -- неубывающая.

Доказательство того, что из неубывания функции следует выпуклость функции , можно провести, если проделать все преобразования в обратном порядке.

        Замечание 7.8Очевидно, что аналогично доказывается следующее утверждение:

функция вогнута на интервале тогда и только тогда, когда при любом функция не возрастает на множестве .

Доказанная теорема содержит хотя и важный, но всё же вспомогательный результат. На её основании мы получим следующее утверждение, которое уже гораздо удобнее применять на практике для исследования выпуклости.

Теорема 7.10Пусть функция имеет на производную . Функция выпукла на тогда и только тогда, когда производная не убывает на .

        Доказательство.     Пусть -- выпуклая функция. Возьмём точки на интервале так, чтобы они следовали в таком порядке: . По предыдущей теореме, функции и не убывают. Пользуясь также свойством (7.6), получаем цепочку:

В итоге получили, что , или

Перейдем в левой части к пределу при , а затем в правой части при . Так как, по предположению, производная в точках и существует, то односторонние пределы существуют и равны производным в соответствующих точках, то есть . Ввиду того, что точки и можно было выбирать произвольно, это означает, что не убывает на .

Пусть теперь производная -- неубывающая функция. Фиксируем точку и найдём производную функции при . Она равна

По формуле конечных приращений мы можем представить в виде

где -- некоторая точка, лежащая между и . Заметим, что при этом знак разности -- тот же, что у разности . Получаем, что

Так как -- неубывающая функция, то при и, следовательно, при и при и, следовательно, при . В любом случае отношение неотрицательно, то есть . По теореме 7.2 отсюда следует, что функция не убывает, а по теореме 7.9 -- что функция выпукла.

Замечание 7.9Разумеется, верно следующее утверждение, аналогичное доказанной теореме:

дифференцируемая функция вогнута на интервале тогда и только тогда, когда её производная не возрастает.

Если функция имеет во всех точках интервала вторую производную , то для исследования выпуклости можно воспользоваться следующим утверждением, которое вытекает из доказанной теоремы.

Теорема 7.11Пусть на интервале функция имеет вторую производную . Функция выпукла на тогда и только тогда, когда при всех , и вогнута тогда и только тогда, когда при всех .

        Доказательство.     Производная не убывает на в том и только том случае, когда при всех , и не возрастает в на в том и только том случае, когда при всех . Поэтому утверждение теоремы сразу следует из теоремы 7.10 и замечания 7.9.

Именно эту теорему чаще всего применяют для исследования выпуклости и вогнутости функции на заданном интервале, а также для нахождения интервалов выпуклости и интервалов вогнутости данной функции.

Рис.7.34. на интервалах выпуклости и на интервалах вогнутости

        Пример 7.30Рассмотрим функцию , то есть

Для этой функции

(проверьте отдельно, что производная при существует и равна 0) и

то есть . (Также проверьте, что производная в точке 0 существует и равна 0.) Итак, при всех ; отсюда следует, что функция выпукла на всей оси.

Рис.7.35.Функция выпукла на всей оси

        Пример 7.31Рассмотрим функцию примера 7.24: . Её производная равна ; вторая производная . Чтобы найти интервалы выпуклости, решим неравенство , то есть . Решением является объединение лучей: . Значит, на интервалах и функция выпукла.

Для нахождения интервала вогнутости нужно решить неравенство , то есть . Решением является отрезок . Значит, на интервале функция вогнута.

Рис.7.36.Интервалы выпуклости и вогнутости функции

Выпуклые функции обладают следующим весьма важным свойством: они могут иметь не более одного локального минимума на интервале выпуклости. А именно, верна следующая теорема.

        Теорема 7.12Пусть  -- выпуклая на функция и  -- точка локального минимума функции . Тогда

        Замечание 7.10Теорема не означает, что функция не может иметь много точек локального минимума, однако утверждает, что во всех таких точках выпуклая функция принимает одно и то же значение

        Доказательствотеоремы.     Пусть и -- две различные точки локального минимума функции , причём и (случай разбирается аналогично). Положим и рассмотрим линейную функцию , на графике которой лежит хорда, соединяющая точки и . Так как функция выпукла, то при всех , то есть при всех . Это неравенство верно, в том числе, и при любом из некоторой правой окрестности точки , то есть при , . Тем самым получаем для таких :

Однако это противоречит тому, что -- точка локального минимума (из того, что -- точка локального минимума, следует, что при достаточно малом при имеет место неравенство ).

Значит, предположение о том, что , не может быть верным. Точно так же доказывается, что неверно и предположение о том, что . Следовательно, , то есть во всех точках локального экстремума (если их не одна) функция принимает одно и то же значение.

Тем самым, если о функции известно, что она выпукла, и мы нашли некоторую точку локального минимума , то значение в этой точке -- это минимальное значение функции на всём рассматриваемом интервале: . Если нас интересует лишь это минимальное значение, а не полный набор точек минимума, то мы можем других точек локального минимума не искать.

        Замечание 7.11Свойство, аналогичное доказанной теореме, верно и для максимумов вогнутых функций:

если  -- вогнутая функция на интервале и  -- точки локального максимума, то

Для доказательства достаточно вспомнить, что -- выпуклая функция и что .

        Замечание 7.12Теорема 7.11 проясняет тот факт, что условие достаточно для наличия локального минимума в стационарной точке функции . Действительно, из условия следует, что функция выпукла, то есть её график "провисает вниз" в окрестности точки , в которой график имеет горизонтальную касательную.

Рис.7.37.Выпуклость функции в окрестности точки минимума

Аналогично, график гладкой функции имеет выпуклость вверх в окрестности точки локального максимума. Поэтому неравенство даёт достаточное условие локального максимума.

Рис.7.38.Вогнутость функции в окрестности точки максимума

    

Изучим теперь связь выпуклости и вогнутости функции с взаимным расположением графика функции и касательных, проведённых к этому графику.

        Теорема 7.13Пусть функция имеет на интервале производную . Функция выпукла на тогда и только тогда, когда график лежит (при ) не ниже любой касательной , проведённой при любом , то есть выполняется неравенство

при всех .

Рис.7.39.График выпуклой функции идёт не ниже любой своей касательной

        Доказательство.     Применяя формулу конечных приращений, получаем:

где лежит между и . Но по теореме 7.10 производная выпуклой функции не убывает, так что при и при . В любом случае получаем, что произведение неотрицательно, откуда . Отсюда следует неравенство из утверждения теоремы.

        Замечание 7.13Очевидно, что для вогнутых функций верно аналогичное утверждение:

дифференцируемая функция вогнута на интервале тогда и только тогда, когда её график идёт не выше любой касательной:

при всех .

Рис.7.40.График вогнутой функции идёт не выше любой своей касательной

        Определение 7.6Точкой перегибафункции называется такая точка , которая разделяет два интервала и , на одном из которых функция является выпуклой, а на другом -- вогнутой.

Рис.7.41.Точка перегиба разделяет интервалы с разным направлением выпуклости

В случае, если вторая производная непрерывна, в точке перегиба непременно должно выполняться равенство , поскольку, согласно теореме 7.11, должна менять знак при переходе через точку . Верно даже несколько более сильное утверждение:

        Теорема 7.14Пусть  -- точка перегиба функции , причём существует . Тогда .

        Доказательство.     Из существования следует, что существует при из некоторого интервала , окружающего точку . По предположению, при достаточно малом , на интервалах и направление выпуклости функции разное; пусть для определённости выпукла на и вогнута на . Тогда функция не убывает на и не возрастает на , согласно теореме 7.10 и замечанию 7.9. Значит, при и при . Переходя в этих двух неравенствах к пределу при базе и соответственно и замечая, что оба предела равны , получаем, что одновременно и . Значит, , что и требовалось доказать.

Заметим однако, что не любая точка , такая что , обязана быть точкой перегиба: при переходе через такую точку функция может и не сменить знак, тогда перегиба в точке нет.

        Пример 7.32Рассмотрим функцию ; её вторая производная равна и равняется 0 при . Однако поскольку при всех , функция выпукла на всей оси , согласно теореме 7.11. Точка 0 не разделяет здесь интервалы разного направления выпуклости.

Рис.7.42.Точка 0 не разделяет интервалы разного направления выпуклости функции

        Пример 7.33Рассмотрим функцию . Тогда и при и при . Точка (в которой ) разделяет интервал вогнутости и интервал выпуклости . Значит, -- точка перегиба функции .

Рис.7.43.Точка 0 -- точка перегиба функции

        Пример 7.34Рассмотрим функцию Тогда и (при вторая производная не существует). Тогда при и при . Точка (в которой не существует) разделяет интервал вогнутости и интервал выпуклости . Значит, -- точка перегиба.

Рис.7.44.Точка 0 -- точка перегиба функции

        Пример 7.35Рассмотрим функцию . Тогда (проверьте, что это так!). При вторая производная (как и первая) не существует. Однако снова при и при . Значит, -- точка перегиба.

Рис.7.45.Точка 0 -- точка перегиба функции

        Упражнение 7.2Проверьте, пользуясь определением точки перегиба, что если -- линейная функция (), то любая точка есть её точка перегиба.

Проверьте, что любая точка (в том числе ) есть точка перегиба функции .

Итак, точки перегиба содержатся в списке тех точек , в которых либо , либо не существует. Однако такая точка может и не оказаться точкой перегиба; для выяснения нужно исследовать поведение функции слева и справа от "подозрительной" точки .

Общая схема исследования функции и построения её графика

После того как мы обсудили многие аспекты поведения функции и способы их исследования, сформулируем общую схему исследования функции. Эта схема даст нам практический способ построения графика функции, отражающего основные черты её поведения.

Пусть дана функция . Для её исследования нужно:

1). Найти её область определения . Если это не слишком сложно, то полезно найти также область значений . (Однако, во многих случаях, вопрос нахождения откладывается до нахождения экстремумов функции.)

2). Выяснить общие свойства функции, которые помогут в определении её поведения: не является ли функция чётной либо нечётной (быть может, после сдвига влево или вправо по оси ), не является ли она периодической.

3). Выяснить, как ведёт себя функция при приближении аргумента к граничным точкам области определения , если такие граничные точки имеются. При этом могут обнаружиться вертикальные асимптоты. Если функция имеет такие точки разрыва, в которых она определена, то эти точки тоже проверить на наличие вертикальных асимптот функции. Поясним сказанное примером:

        Пример 7.36Пусть Эта функция определена на всей числовой оси, однако 0 является точкой разрыва функции: при функция стремится к . Значит, вертикальная прямая служит вертикальной асимптотой функции, хотя функция и определена в точке .

4). Если область определения вклоючает в себя лучи вида или , то можно попытаться найти наклонные асимптоты (или горизонтальные асимптоты) при или соответственно.

5). Найти точку пересечения графика с осью (если ). Для этого нужно вычислить значение . Найти также точки пересечения графика с осью , для чего найти корни уравнения (или убедиться в отсутствии корней). Уравнение часто удаётся решить лишь приближённо, но уже отделение корней помогает лучше уяснить строение графика. Далее, нужно определить знак функции на промежутках между корнями и точками разрыва.

6). Найти интервалы монотонности функции (то есть интервалы возрастания и убывания). Это делается с помощью исследования знака производной .

CLX.ru - реклама в интернет

На стыках интервалов монотонности найти точки локального экстремума; вычислить значение функции в этих точках. Если функция имеет критические точки, не являющиеся точками локального экстремума, то полезно вычислить значение функции и в этих точках.

7). Найти интервалы выпуклости и вогнутости функции. Это делается с помощью исследования знака второй производной . Найти точки перегиба на стыках интервалов выпуклости и вогнутости. Вычислить значение функции в точках перегиба. Если функция имеет другие точки непрерывности (кроме точек перегиба), в которых вторая производная равна 0 либо не существует, то в этих точках также полезно вычислить значение функции.

8). В некоторых случаях бывает нужно найти характерные точки графика, которые не были упомянуты в предыдущих пунктах. Например, если функция имеет наклонную асимптоту, то можно попытаться выяснить, нет ли точек пересечения графика с этой асимптотой.

После выяснения свойств функции, упомянутых в пунктах 1 - 8, и нахождения опорных точек (точек пересечения с осями координат, точек графика, соответствующих точкам локального экстремума, точкам перегиба и проч.) мы можем достаточно точно построить график.

Обсудим теперь подробнее некоторые из этих пунктов.

1). Область определения функции.В некоторых примерах область определения задаётся в самом условии задачи, например: "Построить график функции, заданной при ". Однако часто функция задаётся некоторой формулой, выражающей как элементарную функцию, вроде:

В таком случае принято считать, что областью определения служит максимально широкое множество значений , при которых правая часть формулы имеет смысл.

Из этого соглашения по умолчанию есть одно исключение. Если функция имеет вид или содержит выражения такого рода, то принято считать, что выражение должно быть положительно, если принимает значения любого знака, или неотрицательно, если положительно. При этом игнорируется тот факт, что выражение может иметь смысл и при некоторых других (исключительных) значениях и , например, когда и принимает целое значение.

        Пример 7.37Для функции считаем, что , хотя правая часть имеет смысл также при всех целых отрицательных .

        Замечание 7.14При исследовании некоторых функций подробное исследование области определения мы вынуждены будем пропустить или ограничиться общими рассуждениями, ввиду сложности точного решения вопроса.

Например, область определения функции задаётся как решение неравенства . Однако решить это неравенство "точно", то есть найти выражения через радикалы от известных чисел для точек, задающих левые и правые концы интервалов (или интервала?) области определения, по-видимому, невозможно. Можно лишь сказать, что решение будет заведомо содержать целиком луч вида при некотором ; кроме того, непосредственная проверка показывает, что точки и 0, например, принадлежат , а точка -- нет. Более точно можно описать , найдя корни уравнения приближённо, с достаточно малой погрешностью, и исследовав знак функции между этими корнями.

Способы приближённого отыскания корней алгебраических уравнений мы обсудим ниже, в главе 9.     

2). Особые свойства функции.Не любая функция обладает такими свойствами, как чётность либо нечётность. Функция заведомо не является ни чётной, ни нечётной, если её область определения несимметрична относительно точки 0 на оси . Точно так же, у любой периодической функции область определения состоит либо из всей вещественной оси, либо из объединения периодически повторяющихся систем промежутков.

Так что если, например, при рассмотрении предыдущего пункта выяснилось, что область определения не обладает свойством симметричности либо периодичности, то заниматься исследованием соответствующих особых свойств функции нет нужды.

3). Вертикальные асимптоты.Если функция -- элементарная, то на всех интервалах области определения функция непрерывна. Значит, вертикальные асимптоты могут появиться только на границах интервалов, составляющих .

Однако не на каждой из границ этих интервалов непременно возникает вертикальная асимптота: например, функция имеет область определения , и единственной точкой границы служит . Однако вертикальная прямая не является вертикальной асимптотой функции, так как .

4). Наклонные и горизонтальные асимптоты.При их поиске, как и при поиске других асимптотических линий (не обязательно прямых) полезно выделить более просто, чем , устроеннуюглавную частьфункции, то есть такую функцию , что разность -- бесконечно малая при или . Тогда график главной части и есть искомая асимптотическая линия. Если ясно, что асимптотическая линия не имеет наклонной либо горизонтальной асимптоты, то её не имеет и исходный график . Заметим, что все многочлены (при и ) не имеют асимптотических линий вида (докажите это!). Следовательно, искать в виде прямолинейные наклонные либо горизонтальные асимптоты у тех графиков, которые имеют асимптотические линии в виде графиков многочленов, в том числе у самих многочленов степени , -- дело бессмысленное: этих прямолинейных асимптот всё равно нет!

        Пример 7.38Рассмотрим функцию Эта функция имеет главную часть , так как разность , очевидно, стремится к 0 при . Поэтому парабола -- это асимптотическая линия для графика ; следовательно, прямолинейных наклонных и горизонтальных асимптот график этой функции не имеет.

5). Нахождение точки пересечения графика с осью состоит в простом вычислении значения функции при . Нахождение же точек пересечения с осью может привести к необходимости решить сложное алгебраическое уравнение, что, быть может, удастся сделать лишь приближённо. О приближённом нахождении корней уравнений см. ниже, в гл. 9. Отыскав корни функции и точки разрыва, мы можем определить знак функции на каждом из интервалов между этими точками. Это можно сделать либо вычислив значение функции в какой-нибудь из точек интервала, либо применив метод интервалов, знакомый из школьной программы.

6). Нахождение промежутков монотонности.Для этого находят производную и решают неравенство . На промежутках, где это неравенство выполнено, функция возрастает. Там, где выполнено обратное неравенство , функция убывает. Если два ннтервала возрастания (или убывания) и примыкают друг к другу в точке и функция непрерывна в этой точке , то возрастает на интервале .

Найдя интервалы монотонности, мы можем сразу определить точки локального экстремума (пользуясь теоремой 7.10 и не прибегая к теореме 7.11): там, где возрастание сменяется убыванием располагаются локальные максимумы, а там, где убывание сменяется возрастанием -- локальные минимумы.

7). Нахождение интервалов выпуклости и вогнутостиведётся с помощью второй производной. Найдя , мы решаем неравенство . На каждом из интервалов решения функция будет выпуклой вниз. Решая обратное неравенство , мы находим интервалы, на которых функция выпукла вверх (то есть вогнута).

Заодно определяем точки перегиба как те точки, в которых функция меняет направление выпуклости (и непрерывна).

8). Нахождение точек пересечения графика с асимптотой.Этот пункт не носит столь уж обязательного характера, однако нахождение таких точек придаёт исследованию функции и построенному её графику законченность и полноту.

Заметим, что получающиеся в процессе исследования функции точки на осях координат и на графике полезно сразу же наносить на чертёж. Это помогает по ходу дела уяснять вид графика. При этом дальнейшие исследования функции имеют характер уточнений полученного ранее.