Обычные, начальные и центральные эмпирические моменты
Для вычисления сводных характеристик выборки удобно пользоваться эмпирическими моментами, определения которых аналогичны определениям соответствующих теоретических моментов. В отличие от теоретических эмпирические моменты вычисляют по данным наблюдений.
Обычным эмпирическим моментом порядка
k называют среднее значение k -x
степеней разностей
:
,
где
– наблюдаемая варианта,
– частота варианты,
– объем выборки, С – произвольное
постоянное число.
Начальным эмпирическим моментом порядка k называют обычный момент порядка k при С=0
/
В
частности,
,
т. е. начальный эмпирический момент
первого порядка равен выборочной
средней.
Центральным эмпирическим моментом
порядка k называют. Обычный момент
порядка k при
,
В
частности,
,
т. е. центральный эмпирический момент
второго порядка равен выборочной
дисперсии.
Легко выразить центральные моменты через обычные:
,
,
.
Эмпирические и выравнивающие (теоретические) частоты
Рассмотрим дискретную случайную величину
X, закон распределения которой
неизвестен. Пусть произведено n
испытаний, в которых величина Х
приняла
раз значение
,
раз значение
,
...
раз значение
,
причем
.
Эмпирическими частотами называют фактически наблюдаемые частоты .
Пусть имеются основания предположить,
что изучаемая величина Х распределена
по некоторому определенному закону.
Чтобы проверить, согласуется ли это
предположение с данными наблюдений,
вычисляют частоты наблюдаемых значений,
т. е. находят теоретически частоту
каждого из наблюдаемых значений в
предположении, что величина Х
распределена по предполагаемому закону.
Выравнивающими (теоретическими) в
отличие от фактически наблюдаемых
эмпирических частот называют частоты
,
найденные теоретически (вычислением).
Выравнивающие частоты находят с помощью
равенства
,
где
– число испытаний;
– вероятность наблюдаемого значения
,
вычисленная при допущении, что Х
имеет предполагаемое распределение.
Итак, выравнивающая частота наблюдаемого значения дискретного распределения равна произведению числа испытаний на вероятность этого наблюдаемого значения.
Сравнительно небольшое расхождение эмпирических и выравнивающих частот может подтверждать предположение о том, что рассматриваемое распределение подчинено данному теоретическому закону.
Асимметрия и эксцесс
Для оценки отклонения эмпирического распределения от нормального используют различные характеристики, к числу которых относятся асимметрия и эксцесс.
Асимметрия эмпирического распределения
определяется равенством
,
где
– центральный эмпирический момент
третьего порядка.
Эксцесс эмпирического распределения
определяется равенством
,
где
– центральный эмпирический момент
четвертого порядка.
В случае малых выборок к оценкам асимметрии и эксцесса следует относится с осторожностью.
Метод моментов.
Метод моментов точечной оценки неизвестных параметров заданного распределения состоит в приравнивании теоретических моментов, соответствующим эмпирическим моментам того же порядка.
Если распределение определяется одним
параметром, то для его отыскания
приравнивают один теоретический момент
одному эмпирическому моменту того же
порядка. В этом случае получаем уравнение
.
Решив это уравнение относительно неизвестного параметра, получают его точечную оценку.
Если распределение определяется двумя параметрами, то приравнивают два теоретических момента двум соответствующим эмпирическим моментам того же порядка. Например, приравнивая начальный теоретический момент первого порядка начальному эмпирическому моменту первого порядка и центральный теоретический момент второго порядка центральному эмпирическому моменту второго порядка, получим систему:
