Сравнение наблюдаемой относительной частоты с гипотетической вероятностью появления события
Пусть по достаточно большому числу n
независимых испытаний, в каждом из
которых вероятность p
появления события постоянна, но
неизвестна, найдена относительная
частота
.
Пусть имеются основания предполагать,
что неизвестная вероятность равна
гипотетическому значению
.
Требуется при заданном уровне значимости
проверить нулевую
гипотезу, состоящую в том, что неизвестная
вероятность p равна
гипотетической вероятности
.
Поскольку вероятность оценивается по относительной частоте, рассматриваемую задачу можно сформулировать и так: требуется установить, значимо или незначимо различаются наблюдаемая относительная частота и гипотетическая вероятность.
В качестве критерия проверки нулевой гипотезы примем случайную величину
.
Величина U при справедливости нулевой гипотезы распределена приближенно нормально с параметрами , .
Приведем лишь правила проверки нулевой гипотезы.
Правило 1. Для того чтобы при заданном
уровне значимости проверить нулевую
гипотезу
о равенстве неизвестной вероятности
гипотетической вероятности при
конкурирующей гипотезе
,
надо вычислить наблюдаемое значение
критерия:
и по таблице функции Лапласа найти критическую точку , по равенству .
Если – нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу.
Если – нулевую гипотезу отвергают.
Правило 2. При конкурирующей гипотезе
находят критическую точку правосторонней
критической области по равенству
.
Если – нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу.
Если – нулевую гипотезу отвергают.
Правило 3. При конкурирующей гипотезе
находят критическую точку
по правилу 2, а затем полагают границу
левосторонней критической области
.
Если – нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу.
Если – нулевую гипотезу отвергают.
Замечание. Удовлетворительные результаты
теста обеспечивает выполнение неравенства
.
Сравнение двух вероятностей биномиальных распределений
Пусть в двух генеральных совокупностях
производятся независимые испытания; в
результате каждого испытания событие
A может появиться либо
не появиться. Обозначим неизвестную
вероятность появления события A
в первой совокупности через
,
а во второй через
.
Допустим, что в первой совокупности
произведено
испытаний (извлечена выборка объема
),
причем событие A
наблюдалось
раз. Следовательно, относительная
частота появления события в первой
совокупности
.
Допустим, что во второй совокупности
произведено
,
испытаний (извлечена выборка объема
,),
причем событие A
наблюдалось
,
раз. Следовательно, относительная
частота появления события во второй
совокупности
.
Примем наблюдавшиеся относительные
частоты в качестве оценок неизвестных
вероятностей появления события A:
,
Требуется при заданном уровне значимости
проверить нулевую
гипотезу, состоящую в том, что вероятности
и
,
равны между собой:
.
Заметим, что, поскольку вероятности
оцениваются по относительным частотам,
рассматриваемую задачу можно сформулировать
и так: требуется установить, значимо
или незначимо различаются относительные
частоты
и
.
В качестве критерия проверки нулевой гипотезы примем случайную величину
.
Величина
U при справедливости нулевой гипотезы
распределена приближенно нормально о
параметрами
и
.
Вероятность
нам неизвестна, поэтому заменим ее
оценкой наибольшего правдоподобия:
;
кроме того, заменим случайные величины
и
,
их возможными значениями
и
,
полученными в испытаниях. В итоге получим
рабочую формулу для вычисления
наблюдаемого значения критерия;
.
Критическая область строится в зависимости от вида конкурирующей гипотезы. Ограничимся формулировкой правил проверки нулевой гипотезы.
Правило 1. Для того чтобы при заданном
уровне значимости
проверить нулевую гипотезу
о равенстве вероятностей появления
события в двух генеральных совокупностях
(имеющих биномиальные распределения)
при конкурирующей гипотезе
,
надо вычислить наблюдаемое значение
критерия
и по таблице функции Лапласа найти
критическую точку
по равенству
.
Если – нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу.
Если – нулевую гипотезу отвергают.
Правило 2. При конкурирующей гипотезе
находят критическую точку правосторонней
критической области по равенству
.
Если – нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу.
Если – нулевую гипотезу отвергают.
Правило 3. При конкурирующей гипотезе
,
находят критическую точку
по правилу 2, а затем полагают границу
левосторонней критической области
.
Если – нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу.
Если – нулевую гипотезу отвергают.