Выборочный коэффициент ранговой корреляции Кендалла и проверка гипотезы о его значимости
Можно оценивать связь между двумя качественными признаками, используя коэффициент ранговой корреляции Кендалла. Пусть ранги объектов выборки объема
по признаку ,
по признаку .
Допустим, что правее
,
имеется
рангов, больших
;
правее
имеется
,
рангов, больших
;…;
правее
имеется
рангов, больших
.
Введем обозначение суммы рангов
:
.
Выборочный коэффициент ранговой корреляции Кендалла определяется формулой
,
где
– объем выборки,
.
Коэффициент Кендалла имеет те же свойства, что и коэффициент Спирмена.
1. В случае “полной прямой зависимости”
признаков
.
2. В случае “противоположной зависимости”
.
Замечание. При достаточно большом объеме
выборки и при значениях коэффициентов
ранговой корреляции, не близких к
единице, имеет место приближенное
равенство
.
Приведем правило, позволяющее установить значимость или незначимость ранговой корреляционной связи Кендалла.
Правило. Для того чтобы при уровне
значимости , проверить
нулевую гипотезу
о равенстве нулю генерального коэффициента
ранговой корреляции Кендалла при
конкурирующей гипотезе
,
надо вычислить критическую точку:
,
где
– объем выборки;
– критическая точка двусторонней
критической области, которую находят
по таблице функции Лапласа по равенству
.
Если
– нет оснований отвергнуть нулевую
гипотезу. Ранговая корреляционная связь
между качественными признаками
незначимая.
Если
– нулевую гипотезу отвергают. Между
качественными признаками существует
значимая ранговая корреляционная связь.
Критерий Вилкоксона и проверка гипотезы об однородности двух выборок
Критерий Вилкоксона служит для проверки
однородности двух независимых выборок:
,
и
.
Достоинство этого критерия состоит в
том, что он применим к случайным величинам,
распределения которых неизвестны;
требуется лишь, чтобы величины были
непрерывными.
Если выборки однородны, то считают, что
они извлечены из одной и той же генеральной
совокупности и, следовательно, имеют
одинаковые, причем неизвестные,
непрерывные функции распределения
и
.
Таким образом, нулевая гипотеза состоит
в том, что при всех значениях аргумента
(обозначим его через
)
функции распределения равны между
собой:
.
Конкурирующими являются следующие
гипотезы:
,
и
.
Заметим, что принятие конкурирующей
гипотезы
означает, что
.
Действительно, неравенство
равносильно неравенству
.
Отсюда легко получить, что
.
Другими словами, вероятность того, что
случайная величина X
превзойдет фиксированное действительное
число
,
больше, чем вероятность случайной
величине Y оказаться
большей, чем
,
в этом смысле
.
Аналогично, если справедлива конкурирующая
гипотеза
,
то
.
Далее предполагается, что объем первой
выборки меньше (не больше) объема второй:
;
если это не так, то выборки можно
перенумеровать (поменять местами).
А. Проверка нулевой гипотезы в случае, если объем обеих выборок не превосходит 25.
Правило 1. Для того чтобы при заданном
уровне значимости
проверить нулевую гипотезу
об однородности двух независимых выборок
объемов
и
при конкурирующей гипотезе
,
надо:
1) расположить варианты обеих выборок
в возрастающем порядке, т. е. в виде
одного вариационного ряда, и найти в
этом ряду наблюдаемое значение критерия
– сумму порядковых номеров вариант
первой выборки;
2) найти по соответствующей таблице
нижнюю критическую точку
,
где
;
3) найти верхнюю критическую точку по формуле
.
Если
или
– нулевую гипотезу отвергают.
Если
– нет оснований отвергнуть нулевую
гипотезу.
Правило 2. При конкурирующей гипотезе
надо найти по таблице нижнюю критическую
точку
,
где
.
Если
– нет оснований отвергнуть нулевую
гипотезу.
Если – нулевую гипотезу отвергают.
Правило 3. При конкурирующей гипотезе
надо найти верхнюю критическую точку:
.
Если
– нет оснований отвергнуть нулевую
гипотезу.
Если – нулевую гипотезу отвергают.
Замечание. Если несколько вариант только одной выборки одинаковы, то в общем вариационном ряду им приписывают обычные порядковые номера (совпавшие варианты нумеруют так, как если бы они были различными числами); если же совпадают варианты разных выборок, то всем им присваивают один и тот же порядковый номер, равный среднему арифметическому порядковых номеров, которые имели бы эти варианты до совпадения.
Б. Проверка нулевой гипотезы в случае, если объем хотя бы одной из выборок превосходит 25.
1. При конкурирующей гипотезе нижняя критическая точка
,
где
;
находят по таблице функции Лапласа по
равенству
;
знак
означает целую часть числа
.
В остальном правило 1, приведенное в п. А, сохраняется.
2. При конкурирующих гипотезах
и
нижнюю критическую точку находят по
той же формуле что и для случая 1, положив
;
соответственно
находят по таблице функции Лапласа по
равенству
.
В остальном правила 2—3, приведенные в
п. А, сохраняются.