Критерий Пирсона проверки гипотезы о нормальном распределении генеральной совокупности

Рассмотрим критерий Пирсона , основанный на интервальных оценках. Пусть x₁,...,x_n выборка из генеральной совокупности. По данной выборке нужно решить, является ли заданная функция F(x) функцией распределения изучаемой случайной величины. С этой целью разобьем числовую ось точками на m+1 непересекающихся интервалов и полуинтервалов:

Если величины x_k имеют своей функцией распределения F(x), то можно найти вероятности:

,

,

Обозначим через число значений среди x₁,...,x_n , попавших в соответствующий интервал. Если наше предположение о законе распределения верно, то значения должны быть близки к M( )=np_i= , . Общее отклонение всех n_i от выражается равенством:

.

Известно, что если r - количество неизвестных параметров исследуемого распределения, то случайная величина имеет распределение с степенями свободы. Таким образом, критическое значение находят по таблице распределения с данным уровнем значимости при степенях свободы.

Таким образом, правило проверки, или статистический критерий, состоит в том, что гипотеза отвергается, если произошло событие и гипотеза не противоречит наблюдениям, если произошло противоположное событие (т.е. ).

В частности, если предполагаемое распределение – нормальное, то оценивают два параметра (математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение), поэтому г =2 и число степеней свободы m=s – 3.

Если, например, предполагают, что генеральная совокупность распределена по закону Пуассона, то оценивают один параметр , поэтому r = 1 и m = s – 2.

Замечание/ Объем выборки должен быть достаточно велик, во всяком случае не менее 50. Каждая группа должна содержать не менее 5 – 8 вариант; малочисленные группы следует объединять в од, суммируя частоты.

Замечание 2. Поскольку возможны ошибки первого и второго рода, в особенности если согласование теоретических и эмпирических частот “слишком хорошее”, следует проявлять осторожность. Например, можно повторить опыт, увеличить число, наблюдений, воспользоваться другими критериями, построить график распределения, Вычислить асимметрию и эксцесс.

Сравнение двух дисперсий нормальных генеральных совокупностей

На практике задача сравнения дисперсий возникает, если требуется сравнить точность приборов, инструментов, самих методов измерений и т. д. Очевидно, предпочтительнее тот прибор, инструмент и метод, который обеспечивает наименьшее рассеяние результатов измерений, т. е. наименьшую дисперсию.

Пусть генеральные совокупности Х и Y распределены нормально. По независимым выборкам с объемами, соответственно равными и , извлеченным из этих совокупностей, найдены исправленные выборочные дисперсии и . Требуется по исправленным дисперсиям при заданном уровне значимости  проверить нулевую гипотезу, состоящую в том, что генеральные дисперсии рассматриваемых совокупностей равны между собой:

.

Учитывая, что исправленные дисперсии являются несмещенными оценками генеральных дисперсий, т. е. , нулевую гипотезу можно записать так:

.

Таким образом, требуется проверить, что математические ожидания исправленных выборочных дисперсий равны между собой. Такая задача ставится потому, что обычно исправленные дисперсии оказываются различными.

Возникает вопрос: значимо (существенно) или незначимо различаются исправленные дисперсии?

Если окажется, что нулевая гипотеза справедлива, т. е. генеральные дисперсии одинаковы, то различие исправленных дисперсий незначимо и объясняется случайными причинами, в частности случайным отбором объектов выборки. Например, если различие исправленных выборочных дисперсий результатов измерений, выполненных двумя приборами, оказалось незначимым, то приборы имеют одинаковую точность.

Если нулевая гипотеза отвергнута, т. е. генеральные дисперсии неодинаковы, то различие исправленных дисперсий значимо и не может быть объяснено случайными причинами, а является следствием того, что сами генеральные дисперсии различны.

В качестве критерия проверки нулевой гипотезы о равенстве генеральных дисперсий примем отношение большей исправленной дисперсии к меньшей, т, е. случайную величину .

Величина F при условии справедливости нулевой гипотезы имеет распределение Фишера — Снедекора со степенями свободы и , где – объем выборки, по которой вычислена большая исправленная дисперсия, – объем выборки, по которой найдена меньшая дисперсия.

Критическая область строится в зависимости от вида конкурирующей гипотезы.

Первый случай. Нулевая гипотеза . Конкурирующая гипотеза . В этом случае строят одностороннюю, а именно правостороннюю, критическую область, исходя из требования, чтобы вероятность попадания критерия F в эту область в предположении справедливости нулевой гипотезы была равна принятому уровню значимости. Критическую точку находят по таблице критических точек распределения Фишера—Снедекора.

Обозначим отношение большей исправленной дисперсии к меньшей, вычисленное по данным наблюдений, через и сформулируем правило проверки нулевой гипотезы.

Правило 1. Для того чтобы при заданном уровне значимости проверить нулевую гипотезу о равенстве генеральных дисперсий нормальных совокупиостей при конкурирующей гипотезе , надо вычислить отношение большей исправленной дисперсии к меньшей, т. е. и по таблице критических точек распределения Фишера–Снедекора, по заданному уровню значимости  и числам степеней свободы и ( – число степеней свободы большей исправленной дисперсии) найти критическую точку .

Если – нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу. Если нулевую гипотезу отвергают.

Второй случай. Нулевая гипотеза . Конкурирующая гипотеза . В этом случае строят двустороннюю критическую область, исходя из требования, чтобы вероятность попадания критерия в эту область в предположении справедливости нулевой гипотезы была равна принятому уровню значимости . Наибольшая мощность (вероятность попадания критерия в критическую область при справедливости конкурирующей гипотезы) достигается тогда, когда вероятность попадания критерия в каждый из двух интервалов критической области равна /2.

При этом достаточно найти правую критическую точку при уровне значимости, вдвое меньшем заданного. Тогда не только вероятность попадания критерия в “правую часть” критической области (т. е. правее ,) равна /2, но и вероятность попадания этого критерия в “левую часть” критической области (т. е. левее ) также равна /2. Так как эти события несовместны, то вероятность попадания рассматриваемого критерия во всю двустороннюю критическую область будет равна .

Таким образом, в случае конкурирующей гипотезы достаточно найти критическую точку .

Правило 2. Для того чтобы при заданном уровне значимости  проверить нулевую гипотезу о равенстве генеральных дисперсий нормально распределенных совокупностей при конкурирующей гипотезе , надо вычислить отношение большей исправленной дисперсии к меньшей, т. е. и по таблице критических точек распределения Фишера—Снедекора по уровню значимости /2 (вдвое меньшем заданного) и числам степеней свободы и ( – число степеней свободы большей дисперсии) найти критическую точку .

Если – нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу. Если – нулевую гипотезу отвергают.