Интервальные оценки.
Интервальной называют оценку,
которая определяется двумя числами -
концами интервала, покрывающего
оцениваемый параметр. Доверительным
называют интервал, который с заданной
надежностью
покрывает неизвестный параметр
распределения.
Интервальной оценкой (с надежностью
)
математического ожидания a нормально
распределенного количественного
признака X по выборочной средней
при известном среднеквадратическом
отклонении
генеральной совокупности служит
доверительный интервал
где
-
точность оценки, а n - объем выборки.
Значение переменной t находится из
уравнения
.
Отметим, что для решения последнего
уравнения можно использовать стандартную
таблицу значений функции
.
В случае, когда среднеквадратическое отклонении неизвестно, доверительный интервал для оценки (с надежностью ) математического ожидания a нормально распределенного количественного признака выглядит следующим образом
,
где s – исправленное выборочное среднеквадратическое отклонение.
Известно, что величина
имеет распределение Стьюдента с n-1
степенями свободы. Таким образом
определяется как решение уравнения
.
Для нахождения решения которого,
используется таблица распределения
Стьюдента.
Следует отметить тот факт, что при неограниченном возрастании объема выборки распределение Стьюдента стремится к нормальному. Поэтому практически при n > 30 можно вместо распределения Стьюдента пользоваться нормальным распределением. Однако важно подчеркнуть, что для малых выборок (n<30 ), в особенности для малых значений n замена распределения нормальным приводит к грубым ошибкам, а именно к неоправданному сужению доверительного интервала, т. е. к повышению точности оценки.
То обстоятельство, что распределение Стьюдента при малой выборке дает не вполне определенные результаты (широкий доверительный интервал), вовсе не свидетельствует о слабости метода Стьюдента, а объясняется тем, что малая выборка, разумеется, содержит малую информацию об интересующем нас признаке.
Доверительные интервалы для оценки среднеквадратического отклонения нормального распределения
Пусть количественный признак X
генеральной совокупности распределен
нормально. Требуется оценить неизвестное
генеральное среднеквадратическое
отклонение по
“исправленному” выборочному
среднеквадратическому отклонению s.
Поставим перед собой задачу найти
доверительные: интервалы, покрывающие
параметр с заданной
надежностью , т. е.
потребуем, чтобы выполнялось соотношение
.
Для нахождения при
данном значении и
n используют таблицу значений функции
.
Найденное значение
подставляют в следующую формулу
,
в случае если
и в формулу
(поскольку всегда
число неотрицательное), если
.
Найденный интервал позволяет оценивать точность проведенных , в некотором опыте, измерений. Как известно в теории ошибок принято точность измерений (точность прибора) характеризовать с помощью среднеквадратического отклонения случайных ошибок измерений. Для оценки используют “исправленное” среднеквадратическое отклонение s. Поскольку обычно результаты измерений взаимно независимы, имеют одно и то же математическое ожидание (истинное значение измеряемой величины) и одинаковую дисперсию (в случае равноточных измерений), то доверительный интервал для оценки среднеквадратического отклонения теория, применим для оценки точности измерений.