Сравнение двух средних произвольно распределенных генеральных совокупностей (большие независимые выборки)

Ранее предполагалось, что генеральные совокупности Х и Y распределены нормально, а их дисперсии известны. При этих предположениях в случае справедливости нулевой гипотезы о равенстве средних и независимых выборках критерий распределен точно нормально с параметрами 0 и 1. Если хотя бы одно из приведенных требований не выполняется, то приведенный метод сравнения средних, неприменим.

Однако если независимые выборки имеют большой объем (не менее 30 каждая), то выборочные средние распределены приближенно нормально, а выборочные дисперсии являются достаточно хорошими оценками генеральных дисперсий и в этом смысле их можно считать известными приближенно. В итоге критерий распределен приближенно нормально с параметрами (при условии справедливости нулевой гипотезы) и о (Z') = 1 (если выборки независимы).

Итак, если: 1) генеральные совокупности распределены нормально, а дисперсии их неизвестны; 2) генеральные совокупности не распределены нормально и дисперсии их неизвестны, причем выборки имеют большой объем и независимы, то можно сравнивать средние так, как описано в ранее.

Замечание. Поскольку рассматриваемый в этом случае критерий – приближенный, то к выводам, полученным по этому критерию, следует относиться осторожно.

Сравнение двух средних нормальных генеральных совокупностей, дисперсии которых неизвестны и одинаковы (малые независимые выборки)

Пусть генеральные совокупности X и Y распределены нормально, причем их дисперсии неизвестны. Например, по выборкам малого объема нельзя получить хорошие оценки генеральных дисперсий. Однако если дополнительно .предположить, что неизвестные генеральные дисперсии равны между собой, то можно построить критерий (Стьюдента) сравнения средних.

Если же нет оснований считать дисперсии одинаковыми, то, прежде чем сравнивать средние, следует, пользуясь критерием Фишера—Снедекора, предварительно проверить гипотезу о равенстве генеральных дисперсий.

Итак, в предположении, что генеральные дисперсии одинаковы, требуется проверить нулевую гипотезу . Другими словами, требуется установить, значимо или незначимо различаются выборочные средние и , найденные по независимым малым выборкам объемов n и m. В качестве критерия проверки нулевой гипотезы принимают случайную величину

.

Доказано, что величина Т при справедливости нулевой гипотезы имеет t – распределение Стьюдента с степенями свободы.

Критическая область строится в зависимости от вида конкурирующей гипотезы.

Первый случай. Нулевая гипотеза . Конкурирующая гипотеза . В этом случае строят двустороннюю критическую область, исходя из требования, чтобы вероятность попадания критерия Т в эту область в предположении справедливости нулевой гипотезы была равна принятому уровню значимости .

Наибольшая мощность критерия (вероятность попадания критерия в критическую область при справедливости конкурирующей гипотезы) достигается тогда, когда “левая” и “правая” критические точки выбраны так, что вероятность попадания критерия в каждый из двух интервалов двусторонней критической области равна /2. Поскольку величина Т имеет распределение Стьюдента, а оно симметрично относительно нуля, то и критические точки симметричны относительно нуля. Таким образом, если обозначить правую границу двусторонней критической области через , то левая граница равна . Итак, достаточно найти правую границу двусторонней критической области, чтобы найти саму двустороннюю критическую область: и область принятия нулевой гипотезы: .

Обозначим значение критерия, вычисленное по данным наблюдений, через и сформулируем правило проверки нулевой гипотезы.

Правило 1. Для того чтобы при заданном уровне значимости а проверить нулевую гипотезу о равенстве математических ожиданий двух нормальных совокупностей с неизвестными, но одинаковыми дисперсиями (в случае независимых малых выборок) при конкурирующей гипотезе , надо вычислить наблюдаемое значение критерия:

и по таблице критических точек распределения Стьюдента, для двухсторонней критической области, по заданному уровню значимости  и числу степеней свободы найти критическую точку .

Если – отвергнуть нулевую гипотезу нет оснований. Если – нулевую гипотезу отвергают.

Второй случай. Нулевая гипотеза . Конкурирующая гипотеза .

В этом случае строят правостороннюю критическую область, исходя из требования, чтобы вероятность попадания критерия Т в эту область в предположении справедливости нулевой гипотезы была равна принятому уровню значимости . Критическую точку находят по соответствующей таблице, распределения Стьюдента с степенями свободы (значения для односторонней критической области с уровнем значимости  совпадают со значениями распределения Стьюдента для двухсторонней критической области с уровнем значимости 2).

Если –нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу. Если – нулевую гипотезу отвергают.

Третий случай. Нулевая гипотеза . Конкурирующая гипотеза . Этот случай сводится к предыдущему, если поменять местами X и Y.