Математическая статистика. Первоначальные понятия математической статистики

К первоначальным понятиям математической статистики относятся генеральная совокупность, выборка, теоретическая функция распределения, параметры генеральной совокупности.

Предположим, что имеется некоторое количество (возможно и бесконечное) объектов, каждому из которых можно присвоить в результате определенного эксперимента или исследования некоторое числовое значение. Совокупность всех объектов, которые теоретически могли бы быть исследованы в результате данного эксперимента, называется генеральной совокупностью, а их количество ее объемом. Генеральную совокупность иногда называют исходной совокупностью или просто совокупностью. Под генеральной совокупностью, также, понимается не множество всех рассматриваемых особей относительно изучаемого психологического признака или свойства, а множество всех возможных значений рассматриваемого признака или свойства.

В психолого-педагогических исследованиях обычно под генеральной совокупностью понимается некоторое множество людей, учащихся, испытуемых, обладающее некоторым общим свойством, качеством, типичностью, целостностью, а исследуемой величиной, характеризующей этих особей, является один или несколько психологических признаков или свойств. Например, можно изучать совокупность школьников относительно признака их общего умственного развития, или изучать совокупность детей с точки зрения их психофизиологических особенностей, или изучать распределение веса и роста всех студентов какого-то института и т. п. Таким образом, значения исследуемой величины могут быть как скалярными, так и векторными т.е. содержать наборы чисел характеризующих различные признаки одного и того же объекта.

Пусть теперь производится независимых испытаний, где каждое испытание состоит в выборе одной особи из генеральной совокупности и в присвоении для нее определенного значения исследуемого признака. Часть отобранных особей, из всей совокупности называется выборкой, а их количество – ее объемом.

Чтобы по выборке можно было достаточно уверенно судить о случайной величине для всей совокупности, выборка должна быть репрезентативной, т. е. выборка должна давать обоснованное представление о рассматриваемой совокупности. Другими словами, выборка должна воспроизводить все характерные черты и признаки всей совокупности. Например, выборка школьников, какого либо города не является репрезентативной для совокупности сельских школьников. Репрезентативность выборки будет нарушена, если при отборе особей играют какие-то личные мотивы исследователя. Репрезентативность выборки обеспечивается случайностью отбора. Это значит, что каждый элемент выборки отобран случайно и что все генеральной совокупности имеют одинаковую вероятность попасть в выборку.

Математическая статистика изучает случайную величину по результатам независимых случайных наблюдений, т. е. по полученной случайной выборке. Если бы можно было всегда провести сплошное обследование значений изучаемой величины у всех представителей генеральной совокупности, то не нужны были бы никакие статистические методы. Однако на практике такое обследование обычно невозможно либо из-за большого количества обследуемых объектов, либо по организационным, финансовым, либо по другим каким-либо причинам. Зато у нас есть возможность получать случайные выборки любых объектов из исходной совокупности значений величины, поскольку каждая случайная выборка особей обеспечивает соответствующую случайную выборку значений изучаемой случайной величины. Имея результаты обработки независимых наблюдений для случайной выборки из генеральной совокупности значений, требуется определить по ним некоторые свойства для всей совокупности. Эта задача решается методами математической статистики.

Значительная часть этих методов применима лишь в том случае, когда изучается количественный признак и когда из каких-то соображений заранее известен общий вид исследуемой функции распределения. Методы классической математической статистики позволяют оценить неизвестные параметры и тем самым оценить или уточнить данную функцию. Такую математическую статистику принято называть параметрической.

Однако на практике предположение о том, что изучаемый признак — количественный признак и что известна функция распределения, зависящая от параметров, для исследуемой генеральной совокупности, часто является нереальным. В частности, такая ситуация наблюдается в психологических исследованиях. Здесь применяют методы так называемой непараметрической математической статистики. Именно она поставляет методы исследования признака для генеральной совокупности, основываясь на случайных выборках из нее, не предполагая заранее знания вида теоретической функции распределения. В непараметрической статистике предполагается лишь известной информация о самых общих свойствах случайной величины, например, что она дискретна или непрерывна, что ее значения расположены относительно нуля симметрично или нет, и т. п. При этом сама функция распределения неизвестна и может быть какой угодно.

Методы непараметрической статистики очень просты в применении и обладают высокой эффективностью, причем потери эффективности незначительны при переходе от параметрической к непараметрической процедуре в том случае, когда допустимо применение параметрической процедуры. Это объясняется тем, что непараметрическая статистика использует только доступную нам достоверную информацию о совокупности, в то время как предположение о типе распределения совокупности, может в действительности оказаться недостоверным.

Выбор метода исследования в значительной степени зависит от того, в какой шкале измерены значения психологического признака X.