Связь между двусторонней критической областью и доверительным интервалом
Отыскивая двустороннюю критическую
область при уровне значимости ,
тем самым находят и соответствующий
доверительный интервал с надежностью
.
Проверяя нулевую гипотезу
при
,
мы требовали, чтобы вероятность попадания
критерия
в двустороннюю критическую область
была равна уровню значимости ,
следовательно, вероятность попадания
критерия в область принятия гипотезы
равна
.
Другими словами, с надежностью
выполняется неравенство
,
или равносильное неравенство
,
где
.
Мы получили доверительный интервал для оценки математического ожидания нормального распределения при известном с надежностью .
Замечание. Хотя отыскание двусторонней критической области и доверительного интервала приводит к одинаковым результатам, их истолкование различно: двусторонняя критическая область определяет границы (критические точки), между которыми заключено (1–)% числа наблюдаемых критериев, найденных при повторении опытов; доверительный же интервал определяет границы (концы интервала), между которыми в =(l–)% опытов заключено истинное значение оцениваемого параметра.
Определение минимального объема выборки при сравнении выборочной и гипотетической генеральной средних
На практике часто известна величина
(точность)
,
которую не должна превышать абсолютная
величина разности между выборочной и
гипотетической генеральной средними.
Возникает вопрос: каким должен быть
минимальный объем выборки, чтобы это
требование с вероятностью
( – уровень значимости)
выполнялось?
Задача отыскания доверительного интервала для оценки математического ожидания нормального распределения при известном и задача отыскания двусторонней критической области для проверки гипотезы о равенстве математического ожидания (генеральной средней) гипотетическому значению сводятся одна к другой. Следовательно, можно воспользуемся формулой
,
где
находят по равенству
.
Если же неизвестно, а найдена его оценка s, то
.
Сравнение двух средних нормальных генеральных совокупностей с неизвестными дисперсиями (зависимые выборки)
Ранее выборки предполагались независимыми.
Рассмотрим выборки одинакового объема,
варианты которых попарно зависимы.
Например, если
– результаты измерений первым прибором
(способом), а
,—результаты
измерений той же величины, произведенные
в том же порядке вторым прибором
(способом), то X и Y
попарно зависимы и в этом смысле сами
выборки зависимые. Поскольку, как
правило,
,
то возникает необходимость установить,
значимо или незначимо различаются пары
этих чисел.
Аналогичная задача ставится при сравнении двух методов исследования, или если исследование произведено одним и тем же методом двумя различными исследователями.
Итак, пусть генеральные совокупности
X и Y
распределены нормально, причем их
дисперсии неизвестны. Требуется при
уровне значимости
проверить нулевую гипотезу
о равенстве генеральных средних
нормальных совокупностей с неизвестными
дисперсиями при конкурирующей гипотезе
по двум зависимым выборкам одинакового
объема.
Сведем эту задачу сравнения двух средних к задаче сравнения одной выборочной средней с гипотетическим значением генеральной средней.
С этой целью введем в рассмотренные
случайные величины – разности
и их среднюю
.
Если нулевая гипотеза справедлива, то
.
Таким образом, нулевую гипотезу можно
записать так:
.
Тогда конкурирующая гипотеза примет
вид
.
Наблюдаемые неслучайные разности
будем обозначать через
в отличие от случайных разностей
.
Аналогично выборочную среднюю этих
разностей
обозначим через
в отличие от случайной величины
.
Итак, задача сравнения двух средних
сведена к задаче сравнения одной
выборочной средней с гипотетическим
значением генеральной средней
.
Эта задача решена ранее, поэтому приведем
лишь правило проверки нулевой гипотезы.
Правило. Для того чтобы при заданном уровне значимости проверить нулевую гипотезу о равенстве двух средних нормальных совокупностей с неизвестными дисперсиями (в случае зависимых выборок одинакового объема) при конкурирующей гипотезе , надо вычислить наблюдаемое значение критерия:
,
где
и по таблице критических точек распределения Стьюдента, по заданному уровню значимости , и по числу степеней свободы найти критическую точку .
Если – нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу.
Если – нулевую гипотезу отвергают.