- •Основные понятия, используемые в математической обработке психологических данных Признаки и переменные
- •Шкалы измерения
- •Математическая статистика. Первоначальные понятия математической статистики
- •Измерение значений психологических признаков
- •Разные виды случайных выборок
- •Статистическое распределение выборки.
- •Типы выборки
- •Эмпирическая функция распределения.
- •Гистограмма
- •Статистические оценки параметров распределения.
- •Групповая и общая средние
- •Групповая, внутри групповая, межгрупповая и общая дисперсии
- •Интервальные оценки.
- •Доверительные интервалы для оценки среднеквадратического отклонения нормального распределения
- •Характеристики вариационного ряда
- •Обычные, начальные и центральные эмпирические моменты
- •Эмпирические и выравнивающие (теоретические) частоты
- •Асимметрия и эксцесс
- •Метод моментов.
- •Метод наибольшего правдоподобия.
- •Элементы теории линейной корреляции.
- •Статистическая проверка гипотез о виде и о параметрах распределений.
- •Статистический критерий проверки нулевой гипотезы
- •Критерий Пирсона проверки гипотезы о нормальном распределении генеральной совокупности
- •Сравнение двух дисперсий нормальных генеральных совокупностей
- •Сравнение исправленной выборочной дисперсии с гипотетической генеральной дисперсией нормальной совокупности
- •Сравнение двух средних нормальных генеральных совокупностей, дисперсии которых известны (независимые выборки)
- •Сравнение двух средних произвольно распределенных генеральных совокупностей (большие независимые выборки)
- •Сравнение двух средних нормальных генеральных совокупностей, дисперсии которых неизвестны и одинаковы (малые независимые выборки)
- •Сравнение выборочной средней с гипотетической генеральной средней нормальной совокупности
- •Связь между двусторонней критической областью и доверительным интервалом
- •Определение минимального объема выборки при сравнении выборочной и гипотетической генеральной средних
- •Сравнение двух средних нормальных генеральных совокупностей с неизвестными дисперсиями (зависимые выборки)
- •Сравнение наблюдаемой относительной частоты с гипотетической вероятностью появления события
- •Сравнение двух вероятностей биномиальных распределений
- •Сравнение нескольких дисперсий нормальных генеральных совокупностей по выборкам различного объема. Критерий Бартлетта
- •Сравнение нескольких дисперсий нормальных генеральных совокупностей по выборкам одинакового объема. Критерий Кочрена
- •Проверка гипотезы о значимости выборочного коэффициента корреляции
- •Выборочный коэффициент ранговой корреляции Спирмена и проверка гипотезы о его значимости
- •Выборочный коэффициент ранговой корреляции Кендалла и проверка гипотезы о его значимости
- •Критерий Вилкоксона и проверка гипотезы об однородности двух выборок
- •Однофакторный дисперсионный анализ Сравнение нескольких средних. Понятие о дисперсионном анализе
- •Общая факторная и остаточная суммы квадратов отклонений
- •Общая, факторная и остаточная дисперсии
- •Сравнение нескольких средних методом дисперсионного анализа
- •Критические точки распределения
- •Критические точки распределения Стьюдента
- •Критические точки распределения f Фишера — Снедекора
- •Критические точки распределения Кочрена
- •Критические точки распределения Кочрена (продолжение)
- •Критические точки критерия Вилкоксона
- •Критические точки критерия Вилкоксона (продолжение)
- •Критические точки критерия Вилкоксона (продолжение)
Сравнение двух средних нормальных генеральных совокупностей, дисперсии которых известны (независимые выборки)
Пусть генеральные совокупности Х и Y распределены нормально, причем их дисперсии известны (например, из предшествующего опыта или найдены теоретически). По независимым выборкам, объемы которых соответственно равны n и m, извлеченным из этих совокупностей, найдены выборочные средние и .
Требуется по выборочным средним при заданном уровне значимости проверить нулевую гипотезу, состоящую в том, что генеральные средние (математические ожидания) рассматриваемых совокупностей равны между собой, т. е. .
Учитывая, что выборочные средние являются несмещенными оценками генеральных средних, нулевую гипотезу можно записать так: .
Таким образом, требуется проверить, что математические ожидания выборочных средних равны между собой. Такая задача ставится потому, что, как правило, выборочные средние оказываются различными. Возникает вопрос: значимо или незначимо различаются выборочные средние? Если окажется, что нулевая гипотеза справедлива, т. е. генеральные средние одинаковы, то различие выборочных средних незначимо и объясняется случайными причинами и, в частности, случайным отбором объектов выборки.
Например, если физические величины имеют одинаковые истинные размеры, а средние арифметические результатов измерений этих величин различны, то это различие незначимое.
Если нулевая гипотеза отвергнута, т. е. генеральные средние неодинаковы, то различие выборочных средних значимо и не может быть объяснено случайными причинами, а объясняется тем, что сами генеральные средние (математические ожидания) различны.
В качестве критерия проверки Нулевой гипотезы примем случайную величину
.
Эта величина случайная, потому что в различных опытах х и y принимают различные, наперед неизвестные значения. Критерий Z – нормированная нормальная случайная величина, так как является линейной комбинацией нормально распределенных величин X и Y; сами эти величины распределены нормально как выборочные средние, найденные по выборкам, извлеченным из нормальных генеральных совокупностей.
Критическая область строится в зависимости от вида конкурирующей гипотезы.
Первый случай. Нулевая гипотеза . Конкурирующая гипотеза .
В, этом случае строят двустороннюю критическую область, исходя из требования, чтобы вероятность попадания критерия в эту область в предположении справедливости нулевой гипотезы была равна принятому уровню значимости .
Наибольшая мощность критерия (вероятность попадания критерия в критическую область при справедливости конкурирующей гипотезы) достигается тогда, когда, “левая” и “правая” критические точки выбраны так, что вероятность попадания критерия в каждый из двух интервалов критической области равна :
Поскольку Z – нормированная нормальная величина, а распределение такой величины симметрично относительно нуля, критические точки симметричны относительно нуля. Таким образом, если обозначить правую границу двусторонней критической области через , то левая граница равна .
Для нахождения используют функцией Лапласа . Известно, что функция Лапласа определяет вероятность попадания нормированной нормальной случайной величины, например Z, в интервал (0; z).
Так как распределение Z симметрично относительно нуля, то вероятность попадания Z в интервал равна 1/2. Следовательно, если разбить этот интервал точкой на интервалы и , то, и .
Отсюда заключаем: для того чтобы найти правую границу двусторонней критической области, достаточно найти значение аргумента функции Лапласа, которому соответствует значение функции, равное . Тогда двусторонняя критическая область определяется неравенством , а область принятия нулевой гипотезы неравенством .
Обозначим значение критерия, вычисленное поданным наблюдений, через и сформулируем правило проверки нулевой гипотезы.
Правило 1, Для того чтобы при заданном уровне значимости проверить нулевую гипотезу о равенстве математических ожиданий двух нормальных генеральных совокупностей с известными дисперсиями при конкурирующей гипотезе , надо вычислить наблюденное значение критерия и по таблице функции Лапласа найти критическую точку по равенству . Если – нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу.
Второй случай. Нулевая гипотеза . Конкурирующая гипотеза .
На практике такой случай имеет место, если профессиональные соображения позволяют предположить, что генеральная средняя одной совокупности больше генеральной средней другой. В этом случае строят правостороннюю критическую область, исходя из требования, чтобы вероятность попадания критерия в эту область в предположении справедливости нулевой гипотезы была равна принятому уровню значимости. В этом случае, для того чтобы найти границу правосторонней критической области , достаточно найти значение аргумента функции Лапласа, которому соответствует значение функции, равное . Тогда правосторонняя критическая область определяется неравенством , а область принятия нулевой гипотезы – неравенством .
Правило 2. Для того чтобы при заданном уровне значимости а проверить нулевую гипотезу о равенстве математических ожиданий двух нормальных генеральных совокупностей с известными дисперсиями при конкурирующей гипотезе , надо вычислить наблюдавшееся значение критерия – и по таблице функции Лапласа найти критическую точку из равенства .
Если – нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу. Если – нулевую гипотезу отвергают.
Третий случай. Нулевая гипотеза . Конкурирующая гипотеза .
В этом случае, задача сводится ко второму случаю. Для этого достаточно поменять местами случайные величины и .