Статистические оценки параметров распределения.

Статистической оценкой неизвестного параметра теоретического распределения называют функцию от наблюдаемых случайных величин X₁,... , X_n.

Точечной называют статистическую оценку, которая определяется одним числом = f(x₁,...,x_n), где x₁,...,x_n - результаты n наблюдений над количественным признаком X.

Несмещенной называют точечную оценку, математическое ожидание которой равно оцениваемому параметру при любом объеме выборки.

Смещенной называют точечную оценку, математическое ожидание которой не равно оцениваемому параметру.

Эффективной называют статистическую оценку, которая (при заданном объеме выборки n) имеет наименьшую возможную дисперсию.

При рассмотрении выборок большого объема n к статистическим оценкам предъявляется требование состоятельности.

Состоятельной называют статистическую оценку, которая при стремится по вероятности к оцениваемому параметру. Например, если дисперсия несмещенной оценки при стремится к нулю, то такая оценка оказывается и состоятельной.

Несмещенной оценкой генеральной средней (математического ожидания) служит выборочная средняя

,

где - варианта выборки, частота варианты , - объем выборки.

Смещенной оценкой генеральной дисперсии служит выборочная дисперсия

.

Эта оценка является смещенной, так как . В связи с этим, часто используют величину

,

которая называется несмещенной оценкой генеральной дисперсии.

Групповая и общая средние

Допустим, что все значения количественного признака Х совокупности, безразлично-генеральной или выборочной, разбиты на несколько групп. Рассматривая каждую группу как самостоятельную совокупность, можно найти ее среднюю арифметическую.

Групповой средней называют среднее арифметическое значений признака, принадлежащих группе. Общей средней называют среднее арифметическое значений признака, принадлежащих всей совокупности.

Зная групповые средние (например и ) и объемы групп (например и ), можно найти общую среднюю: общая средняя равна средней арифметической групповых средних, взвешенной по объемам групп (в нашем случае ).

Для упрощения расчета общей средней совокупности большого объема целесообразно разбить ее на несколько групп, найти групповые средние и по ним общую среднюю.

Групповая, внутри групповая, межгрупповая и общая дисперсии

Допустим, что все значения количественного признака Х совокупности, безразлично – генеральной или выборочной, разбиты на k групп. Рассматривая каждую группу как самостоятельную совокупность, можно найти групповую среднюю и дисперсию значений признака, принадлежащих группе, относительно групповой средней.

Групповой дисперсией называют дисперсию значений признака, принадлежащих j –ой группе (j=1,2,…,m), относительно групповой средней

,

где частота значения номер группы; – групповая средняя группы j; – объем группы j.

Внутригрупповой дисперсией называют среднюю арифметическую дисперсий, взвешенную по объемам групп:

D_{внутригр.}=

где – объем всей совокупности.

Зная групповые средние и общую среднюю, можно найти дисперсию групповых средних относительно общей средней.

Межгрупповой дисперсией называют дисперсию групповых средних относительно общей средней:

D_межгр.= ,

здесь – групповая средняя группы j.

Чтобы избежать путаницы в обозначениях, обычную дисперсии всей совокупности иногда называют общей дисперсией.

Замечание. Общая дисперсия всегда равна сумме внутригрупповой и межгрупповой дисперсий. Этот факт имеет не только теоретическое, но и важное практическое значение. Например, если в результате наблюдений получены несколько групп значений признака, то для вычисления общей дисперсии можно группы в единую совокупность не объединять. С другой стороны, если совокупность имеет большой объем, то целесообразно разбить ее на несколько групп. В том и другом случаях непосредственное вычисление общей дисперсии заменяется вычислением дисперсий отдельных групп, что облегчает расчеты.