- •Основные понятия, используемые в математической обработке психологических данных Признаки и переменные
- •Шкалы измерения
- •Математическая статистика. Первоначальные понятия математической статистики
- •Измерение значений психологических признаков
- •Разные виды случайных выборок
- •Статистическое распределение выборки.
- •Типы выборки
- •Эмпирическая функция распределения.
- •Гистограмма
- •Статистические оценки параметров распределения.
- •Групповая и общая средние
- •Групповая, внутри групповая, межгрупповая и общая дисперсии
- •Интервальные оценки.
- •Доверительные интервалы для оценки среднеквадратического отклонения нормального распределения
- •Характеристики вариационного ряда
- •Обычные, начальные и центральные эмпирические моменты
- •Эмпирические и выравнивающие (теоретические) частоты
- •Асимметрия и эксцесс
- •Метод моментов.
- •Метод наибольшего правдоподобия.
- •Элементы теории линейной корреляции.
- •Статистическая проверка гипотез о виде и о параметрах распределений.
- •Статистический критерий проверки нулевой гипотезы
- •Критерий Пирсона проверки гипотезы о нормальном распределении генеральной совокупности
- •Сравнение двух дисперсий нормальных генеральных совокупностей
- •Сравнение исправленной выборочной дисперсии с гипотетической генеральной дисперсией нормальной совокупности
- •Сравнение двух средних нормальных генеральных совокупностей, дисперсии которых известны (независимые выборки)
- •Сравнение двух средних произвольно распределенных генеральных совокупностей (большие независимые выборки)
- •Сравнение двух средних нормальных генеральных совокупностей, дисперсии которых неизвестны и одинаковы (малые независимые выборки)
- •Сравнение выборочной средней с гипотетической генеральной средней нормальной совокупности
- •Связь между двусторонней критической областью и доверительным интервалом
- •Определение минимального объема выборки при сравнении выборочной и гипотетической генеральной средних
- •Сравнение двух средних нормальных генеральных совокупностей с неизвестными дисперсиями (зависимые выборки)
- •Сравнение наблюдаемой относительной частоты с гипотетической вероятностью появления события
- •Сравнение двух вероятностей биномиальных распределений
- •Сравнение нескольких дисперсий нормальных генеральных совокупностей по выборкам различного объема. Критерий Бартлетта
- •Сравнение нескольких дисперсий нормальных генеральных совокупностей по выборкам одинакового объема. Критерий Кочрена
- •Проверка гипотезы о значимости выборочного коэффициента корреляции
- •Выборочный коэффициент ранговой корреляции Спирмена и проверка гипотезы о его значимости
- •Выборочный коэффициент ранговой корреляции Кендалла и проверка гипотезы о его значимости
- •Критерий Вилкоксона и проверка гипотезы об однородности двух выборок
- •Однофакторный дисперсионный анализ Сравнение нескольких средних. Понятие о дисперсионном анализе
- •Общая факторная и остаточная суммы квадратов отклонений
- •Общая, факторная и остаточная дисперсии
- •Сравнение нескольких средних методом дисперсионного анализа
- •Критические точки распределения
- •Критические точки распределения Стьюдента
- •Критические точки распределения f Фишера — Снедекора
- •Критические точки распределения Кочрена
- •Критические точки распределения Кочрена (продолжение)
- •Критические точки критерия Вилкоксона
- •Критические точки критерия Вилкоксона (продолжение)
- •Критические точки критерия Вилкоксона (продолжение)
Проверка гипотезы о значимости выборочного коэффициента корреляции
Пусть двумерная генеральная совокупность распределена нормально. Из этой совокупности извлечена выборка объема и по ней найден выборочный коэффициент корреляции , который оказался отличным от нуля. Так как выборка отобрана случайно, то еще нельзя заключить, что коэффициент корреляции генеральной совокупности также отличен от нуля. В конечном счете нас интересует именно этот коэффициент, поэтому возникает необходимость при заданном уровне значимости проверить нулевую гипотезу о равенстве нулю генерального коэффициента корреляции при конкурирующей гипотезе .
Если нулевая гипотеза отвергается, то это означает, что выборочный коэффициент корреляции значимо отличается от нуля (кратко говоря, значим), а X и Y коррелированны, т. е. связаны линейной зависимостью.
Если нулевая гипотеза будет принята, то выборочный коэффициент корреляции незначим, а X и Y некоррелированны, т. е. не связаны линейной зависимостью.
В качестве критерия проверки нулевой гипотезы примем случайную величину
.
Величина при справедливости нулевой гипотезы имеет распределение Стьюдента с степенями свободы. Поскольку конкурирующая гипотеза имеет вид критическая область – двусторонняя.
Обозначим значение критерия, вычисленное по данным наблюдений, через и сформулируем правил проверки нулевой гипотезы.
Правило. Для того чтобы при заданном уровне значимости проверить нулевую гипотезу о равенстве нулю генерального коэффициента корреляции нормальной двумерной случайной величины при конкурирующей гипотезе , надо вычислить наблюдаемое значение критерия: и по таблице критических точек распределения Стьюдента по заданному уровню значимости и числу степеней свободы найти критическую точку для двусторонней критической области.
Если – нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу.
Если – нулевую гипотезу отвергают.
Выборочный коэффициент ранговой корреляции Спирмена и проверка гипотезы о его значимости
Допустим, что объекты генеральной совокупности обладают двумя качественными признаками. Под качественным подразумевается признак, который невозможно измерить точно, но он позволяет сравнивать объекты между собой и, следовательно, расположить их в порядке убывания или возрастания качества. Для определенности будем всегда располагать объекты в порядке ухудшения качества. При таком “ранжировании” на первом месте находится объект наилучшего качества по сравнению с остальными; на втором месте окажется объект “хуже” первого, но “лучше” других, и т. д.
Пусть выборка объема содержит независимые объекты, которые обладают двумя качественными признаками и . Для оценки степени связи признаков вводят, в частности, коэффициенты ранговой корреляции Спирмена и Кендалла.
Для практических целей использование ранговой корреляции весьма полезно. Например, если установлена высокая ранговая корреляция между двумя качественными признаками, то достаточно контролировать только один из признаков.
Расположим сначала объекты выборки в порядке ухудшения качества по признаку при допущении, что все объекты имеют различное качество по обоим признакам (случай, когда это допущение не выполняется, рассмотрим ниже). Припишем объекту, стоящему на -м месте, число – ранг равный порядковому номеру объекта.
Например, ранг объекта, занимающего первое место, ; объект, расположенный на втором месте, имеет ранг , и т. д. В итоге получим последовательность рангов по признаку .
Расположим теперь объекты в порядке убывания качества по признаку и припишем каждому из них ранг , однако (для удобства сравнения рангов) индекс при будет по-прежнему равен порядковому номеру объекта по признаку . Например, запись означает, что по признаку объект стоит на втором месте, а по признаку на пятом.
В итоге получим две последовательности рангов:
по признаку ,
по признаку .
Заметим, что в первой строке индекс совпадает с порядковым номером объекта, а во второй, вообще говоря, не совпадает. Итак, в общем случае .
Рассмотрим два “крайних случая”.
1. Пусть ранги по признакам и совпадают при всех значениях индекса . В этом случае ухудшение качества по одному признаку влечет ухудшение качества по другому. Очевидно, признаки связаны: имеет место “полная прямая зависимость”.
2. Пусть ранги по признакам и противоположны в том смысле, что если , то ; если , то ; …., если , то . В этом случае ухудшение качества по одному признаку влечет улучшение по другому. Очевидно, признаки связаны – имеет место “противоположная зависимость”.
На практике чаще будет встречаться промежуточный случай, когда ухудшение качества по одному признаку влечет для некоторых объектов ухудшение, а для других – улучшение качества. Задача состоит в том, чтобы оценить связь между признаками. Для ее решения рассмотрим ранги как возможные значения случайной величины X, а – как возможные значения случайной величины Y. Таким образом, о связи между качественными признаками и можно судить по связи между случайными величинами X и Y, для оценки которой используем коэффициент корреляции. Вычислим выборочный коэффициент корреляции случайных величин X и Y в условных вариантах, учитывая, что каждому рангу , соответствует только один ранг :
приняв в качестве условных вариант отклонения , . Учитывая, кроме того, что среднее значение отклонения равно нулю т.е. , получим более простую формулу вычисления выборочного коэффициента корреляции: .
Выразим через известные числа – объем выборки и разности рангов . Поскольку средние значения рангов равны между собой, то и следовательно . Несложный подсчет суммы квадратов дает . Отсюда . Таким образом .
Учитывая, что
,
получим: . Аналогично . Следовательно .
Подставив, найденные выражения в формулу для вычисления коэффициента корреляции получим выборочный коэффициент ранговой корреляции Спирмена
.
Приведем свойства выборочного коэффициента корреляции Спирмена.
Свойство 1. Если между качественными признаками A и B имеется “полная прямая зависимость” в том смысле, что ранги объектов совпадают при всех значениях , то выборочный коэффициент ранговой корреляции Спирмена равен единице.
Свойство 2. Если между качественными признаками A и B имеется “противоположная зависимость”, то выборочный коэффициент ранговой корреляции Спирмена равен минус единице.
Свойство 3. Если между качественными признаками A и B нет ни “полной прямой”, ни “противоположной” зависимостей, то коэффициент корреляции Спирмена заключен между и , причем чем ближе к нулю его абсолютная величина, тем зависимость меньше.
Замечание. Если выборка содержит объекты с одинаковым качеством, то каждому из них приписывается ранг, равный среднему арифметическому порядковых номеров объектов. Например, если объекты одинакового качества по признаку A имеют порядковые номера 5 и 6, то их ранги соответственно равны: .
Приведем правило, позволяющее установить значимость или незначимость ранговой корреляции связи.
Правило. Для того чтобы при уровне значимости проверить нулевую гипотезу о равенстве нулю генерального коэффициента ранговой корреляции Спирмена при конкурирующей гипотезе , надо вычислить критическую точку:
,
где – объем выборки, – выборочный коэффициент ранговой корреляции Спирмена, – критическая точка двусторонней критической области, которую находят по таблице критических точек распределения Стьюдента, по уровню значимости и числу степеней свободы .
Если – нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу. Ранговая корреляционная связь между качественными признаками незначима.
Если – нулевую гипотезу отвергают. Между качественными признаками существует значимая ранговая корреляционная связь.