§8. Системы случайных величин

Функцией системы двух случайных величин (x,y) называется функция .

Плотностью распределения системы непрерывных случайных величин называется функция, определенная следующим образом:

.

Плотность распределения случайных величин (x,y) неотрицательна и обладает свойством

.

Функция распределения F(x,y) выражается через плотность распределения формулой

.

Вероятность попадания случайной величины (x,y) в область D вычисляется по формуле

.

Плотности распределения вероятностей случайных величин, входящих в систему, равны:

.

Случайные величины x, y называются независимыми, если

.

Система двух дискретных случайных величин может быть задана таблицей(табл. 3), в которой приведены пары значений случайных величин и соответствующие им вероятности.

Здесь – вероятность события, заключающегося в одновременном выполнении равенств .

x y					…	…	…
					…	…	…
					…	…	…
					…	…	…
…	…	…	…	…	…	…	…	…
					…	…	…

При этом .

Законы распределения случайных величин, входящих в систему, определяются следующим образом:

Дискретные случайные величины называются независимыми, если

.

Многие важные характеристики пары случайных величин достаточно просто выражаются через начальные и центральные моменты системы случайных величин, которые находятся по формулам:

, .

Для дискретных случайных величин:

Для непрерывных случайных величин:

Точка называется центром рассеивания системы случайных величин .

Так, например, степень линейной зависимости случайных величин характеризует корреляционный момент:

Так как имеет размерность xy, то при изменении единицы масштаба его значение будет подвергаться изменению.

Чтобы избежать этого, введем коэффициент корреляции

Если случайные величины, входящие в систему, независимы, то . В общем случае из равенства не следует независимость случайных величин X, Y. Если , то

Задача 1. В двух ящиках содержатся шары, по 6 шаров в каждом. В первом ящике 1 с №1, 2 шара с №2, 3 шара с №3; во втором ящике 2 шара с №1, 3 шара с №2 и 1 шар с №3. Рассматриваются случайные величины: Х – номер шара, вынутого из первого ящика; Y – номер шара, вынутого из второго ящика. Из каждого ящика вынули по шару. Составить таблицу распределения системы случайных величин . Найти математические ожидания, дисперсии X и Y, коэффициент корреляции.

Решение.

Y X	1	2	3
1
2
3
				–

Вероятности вычисляются следующим образом:

,

т. к. шаров в первом ящике всего 6, а с номером 1 ровно один шар. Во втором ящике 2 шара с номером один, а всего 6 шаров. Эти события происходят одновременно, следовательно, их вероятности перемножают.

Аналогично

.

По таблице распределения вероятностей системы случайных величин можно составить законы распределения случайных величин, входящих в систему. Распределение случайной величины для Х получаем, складывая числа в вертикальных столбцах, а для Y – в горизонтальных строках.

Такой результат имеет место, так как Х и Y независимы по условию.

Задача 2. Система случайных величин подчинена закону распределения с плотностью

Область D – квадрат, ограниченный прямыми

Требуется:

1) определить коэффициент а;

2) вычислить вероятность попадания случайной точки в квадрат Q, ограниченный прямыми ;

3) найти математические ожидания и ;

4) найти средние квадратические отклонения , .

Решение.

1) Коэффициент находим из уравнения

,

откуда

2)

3) найдём математические ожидания и :

Следовательно, и .

4) Находим средние квадратические отклонения и :

Итак,

Задача 3. Дана плотность распределения вероятностей системы случайных величин :

Определить функцию совместного распределения системы .

Решение. Определим функцию , рассматривая области

.

т. к. какую бы точку (х, у) этой области не взяли, возможные значения случайных величин (Х, Y) будут меньше

Таким образом: