Задачи для самостоятельного решения

6.01. В партии из 10 деталей имеется 8 стандартных. Наудачу отобраны две детали. Составить закон распределения числа стандартных деталей среди отобранных. Найти систематическое ожидание и среднее квадратическое отклонение числа стандартных деталей.

6.02. Точка брошена наудачу внутрь круга радиусом R. Вероятность попадания точки в любую область, расположенную внутри круга, пропорциональна площади области. Найти функцию распределения, математическое ожидание и дисперсию расстояния точки до центра круга.

6.03. Случайная величина X имеет следующее распределение:

Х	-2	-1	0	1	2
р	0,1	0,2	0,2	0,4	0,1

Найти выражение и построить график функции распределения случайной величины X. Найти вероятность того, что случайная величина Х примет значение, не превосходящее по абсолютной величине 1. Найти математическое ожидание и дисперсию.

6.04. Непрерывная случайная величина X имеет плотность распределения:

Требуется:

а) найти коэффициент А;

б) построить график плотности распределения ;

в) найти ;

г) найти функцию распределения ;

д) найти математическое ожидание и дисперсию.

6.05. Производится три выстрела с вероятностями попадания в цель, равными:

Найти автоматическое ожидание общего числа попаданий.

6.06. Случайная величина Х подчинена закону Лапласа

.

Требуется:

а) найти коэффициент a;

б) построить графики плотности распределения и функции распределения;

в) найти и .

6.07. Функция распределения непрерывной случайной величины X имеет вид:

Определить постоянные и . Найти и .

6.08. Случайная величина X задана функцией распределения:

Построить график функции распределения. Найти вероятность того, что в результате четырёх независимых испытаний случайная величина Х ровно три раза примет значения, принадлежащие интервалу .

6.09. Два стрелка делают по одному выстрелу в одну мишень. Вероятность попадания в неё первым стрелком равна 0,5, вторым – 0,4. Составить закон распределения числа попаданий при двух выстрелах, найти математическое ожидание и дисперсию числа попаданий в мишень. Построить график функции распределения.

6.10. Случайная величина Х имеет распределение:

Х	-1	-0,5	0,1	0	0,1	0,2	0,5	1	1,0	1,5	2,0
р	0,005	0,012	0,074	0,102	0,148	0,231	0,171	0,16	0,081	0,081	0,016

Найти:

а) ;

б) ;

в) .

6.11. Непрерывная случайная величина имеет плотность распределения:

Требуется:

а) найти коэффициент С;

б) построить график плотности распределения ;

в) найти функцию распределения ;

г) найти и ;

д) найти .

6.12. Функция распределения непрерывной случайной величины имеет вид

Найти вероятность того, что в результате пяти независимых испытаний случайная величина Х ровно два раза примет значения, принадлежащие интервалу . Построить график функции распределения. Найти и .

6.13. Случайная величина X имеет плотность распределения:

Требуется:

а) найти коэффициент С;

б) найти и ;

в) построить график плотности распределения;

г) найти .

6.14. Функция распределения непрерывной случайной величины имеет вид

Найти и .

Построить график плотности распределения.

6.15. В урне 6 белых и 4 чёрных шара. Из неё пять раз подряд извлекают шар, причём каждый раз вынутый шар возвращают в урну и шары перемешивают. Приняв за случайную величину Х – число извлечённых белых шаров, составить закон распределения этой величины, определить и .

6.16. Пусть дана функция:

При каком значении функция может быть принята за плотность вероятности случайной величины Х? Определить и соответствующей случайной величины Х.

6.17. В урне имеются четыре шара с номерами от 1 до 4. Вынули два шара. Случайная величина X – сумма номеров шаров. Построить ряд распределения случайной величины Х. Найти и .

6.18. Стрелок производит по мишени три выстрела. Вероятность попадания в мишень при каждом выстреле равна 0,3. Построить ряд распределений случайной величины. Найти и .

6.19. Дан ряд распределения случайной величины X:

Х	10	20	30	40	50
р	0,2	0,3	0,35	0,1	0,05

Найти функцию распределения вероятности этой случайной величины.

6.20. Случайная величина X задана функцией распределения:

Вычислить вероятность попадания случайной величины Х в интервалы .

Найти плотность распределения случайной величины. Найти и .

6.21. Даны вероятности значений случайной величины Х; значение 10 имеет вероятность 0,3; значение 2 – вероятность 0,4; значение 8 – вероятность 0,1; значение 4 – вероятность 0,2. Построить ряд распределения случайной величины X. Найти и .

6.22. В урне 30 шаров, из них 5 белых. Вынули один шар. Случайная величина X – число вынутых белых шаров. Построить ряд распределения случайной величины Х. Построить функцию распределения .

6.23. Вероятность того, что станок, работавший в момент , не остановится до момента , дается формулой . Найти математическое ожидание и дисперсию рабочего периода станка (между двумя последовательными остановками).

6.24. Вероятность попадания при одном выстреле равна 0,8. Производится три выстрела. Построить ряд распределений случайной величины Х – числа попаданий при трёх выстрелах. Найти математическое ожидание и дисперсию.

6.25. Дана функция плотности распределения случайной величины X:

Определить a, , и .