Решение. Р – мало. Воспользуемся теоремой Пуассона:

; .

Задача 5. Испытанию подвергается партия транзисторов. Вероятность безотказной работы каждого транзистора равна 0,92. Определить, какое число транзисторов следует испытать, чтобы с вероятностью не менее 0,95 можно было зафиксировать хотя бы один отказ.

Решение. Обозначим количество испытуемых транзисторов через . Тогда вероятность их безотказной работы равна . События: “все транзисторы работают безотказно” и “хотя бы один транзистор не работает” – образуют полную группу событий. Значит, вероятность события “хотя бы один отказ” равна . По условию задачи эта величина больше 0,95, т.е.:

Следовательно, .

И, в заключение, рассмотрим задачу, иллюстрирующую все три формулы.

Задача 6. Работница обслуживает 800 веретен. Вероятность обрыва пряжи на каждом из них за промежуток времени t равна 0,005. Найти наиболее вероятное число обрывов и его вероятность.

Решение. Наиболее вероятное число обрывов будет λ=пр=4. Точное значение вероятности четырех обрывов равно (см. (1.12))

.

Пользуясь формулой Пуассона с λ = пр = 4, получаем (см. (1.15))

.

Вычисление по точной формуле дает 0,1945, так что ошибка при пользовании формулой Пуассона составляет 0,0009. Локальная предельная теорема Муавра–Лапласа дает для данного случая (см. (1.13))

,

ибо здесь , е⁰=1, так что ошибка составляет уже 0,0055, т. е. в шесть раз больше, чем при использовании формулы Пуассона, т. к. пр=4<10.

Задачи для самостоятельного решения

5.1. Большая партия изделий содержит 1% брака. Каков должен быть объем случайной выборки, чтобы вероятность встретить в ней хотя бы одно бракованное изделие была 0,95?

5.2. Вероятность любому абоненту позвонить на коммутатор в течение 1 часа равна 0,01. Телефонная станция обслуживает 300 абонентов. Какова вероятность того, что в течение 1 часа позвонят 4 абонента?

5.3. По мишени в тире при одинаковых условиях произведено 200 независимых выстрелов, которые дали 116 попаданий. Определить, какое значение вероятности попадания при каждом выстреле более вероятно: 1/2 или 1/3 , если до опыта обе гипотезы равновероятны и единственно возможны.

5.4. Линия связи, имеющая 130 каналов, связывает пункт А с пунктом В, где имеются 1000 абонентов, каждый из которых пользуется телефоном в среднем 6 минут в час. Найти вероятность безотказного обслуживания абонента.

5.5. В магазине 1000 книг. Вероятность продажи каждой из них в течение дня равна 0,8. Какое максимальное число книг будет продано в течение дня с вероятностью 0,999?

5.6. Принимая одинаково вероятным рождение мальчика и девочки, найти вероятность того, что в семье, имеющей 5 детей:

а) два мальчика;

б) мальчиков больше, чем девочек.

5.7. Среди вырабатываемых деталей бывает в среднем 4% брака. Какова вероятность того, что среди взятых на испытание 50 деталей будет 40% бракованных?

5.8. Бомбардировщик делает четыре захода на цель и каждый раз сбрасывает по одной бомбе. Вероятность попадания бомбы в цель равна 0,4. Попавшая бомба поражает цель с вероятностью 0,7. Найти вероятность поражения цели.

5.9. Завод отправил на базу 5000 доброкачественных изделий. Вероятность того, что в пути изделие повредится, равна 0,0002. Найти вероятность того, что на базу прибудут три негодных изделия.

5.10. Вероятность производства бракованных изделий равна 0,008. Найти вероятность брака 8 изделий в партии, содержащей 100 изделий.

5.11. Вероятность рождения мальчика равна 0,51. Найти вероятность того, что среди 100 новорожденных окажется 50 мальчиков.

5.12. В ящике содержится 80 стандартных и 20 нестандартных деталей. Найти вероятность того, что из пяти взятых наудачу деталей не менее четырёх окажутся нестандартными.

5.13. Для нормальной работы станции медицинской помощи требуется не менее 8 автомашин, а их имеется десять. Найти вероятность нормальной работы станции, если вероятность ежедневной неисправности каждой автомашины равна 0,1.

5.14. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 1/5. Найти вероятность того, что из десяти выстрелов не будет ни одного попадания.

5.15. Вычислить вероятность того, что при 100-кратном бросании монеты герб выпадет:

а) ровно 50 раз;

б) ровно 60 раз.

5.16. Вероятность того, что на странице книги могут оказаться опечатки, равна 0,002. Проверяется книга, содержащая 500 страниц. Найти вероятность того, что с опечатками окажутся от трёх до пяти страниц.

5.17. Вероятность промышленного содержания металла в каждой пробе руды равна 0,7. Отобрано 400 таких проб руды. Определить вероятность того, что число проб с промышленным содержанием металла среди них окажется не менее 275.

5.18. Вероятность повреждения аппаратуры при транспортировке равна 0,002. Какова вероятность того, что при перевозке 3000 изделий будут повреждены не более трёх?

5.19. Вероятность того, что наудачу взятое изделие стандартно, равна 0,9. Найти вероятность того, что из 100 проверенных изделий окажется стандартных не менее 84.

5.20. Вероятность появления события в каждом из независимых испытаний равна 0,25. Найти вероятность того, что событие наступит 50 раз в 243 испытаниях.

5.21. В среднем левши составляют 1%. Какова вероятность того, что среди 200 студентов найдётся 4 левши?

5.22. Из таблицы случайных чисел наудачу выписано 200 двузначных чисел (от 00 до 99). Определить вероятность того, что среди них 33 встретится:

а) три раза;

б) четыре раза.

5.23. Что вероятнее выиграть у равносильного противника (нечётный исход партии исключён): три партии из четырёх или пять из восьми?

5.24. Два баскетболиста делают по три броска мячом в корзину. Вероятности попадания мяча при каждом броске равны соответственно 0,6 и 0,7. Найти вероятность того, что у обоих будет равное количество попаданий.

5.25. Испытанию подвергается партия транзисторов. Вероятность безотказной работы каждого транзистора равна 0,92. Определить, какое число транзисторов следует испытать, чтобы с вероятностью не менее 0,95 можно было зафиксировать хотя бы один отказ.