- •Введение
- •Глава 1. Элементы теории вероятностей
- •§1. Основные правила комбинаторики
- •1. Правило сложения
- •2. Правило умножения
- •3. Размещения
- •Перестановки
- •Сочетания
- •Задачи для самостоятельного решения
- •§2. Классическое определение вероятности
- •Задачи для самостоятельного решения
- •§3. Операции над событиями
- •Задачи для самостоятельного решения
- •§4. Формула полной вероятности. Формула Байеса
- •Задачи для самостоятельного решения
- •§5. Последовательность независимых испытаний (схема Бернулли) Теорема Пуассона. Локальная и интегральная теоремы Муавра – Лапласа
- •Последовательность независимых испытаний (схема Бернулли)
- •2. Локальная теорема Муавра – Лапласа
- •3. Интегральная теорема Муавра – Лапласа
- •4. Теорема Пуассона Если достаточно велико, а - мало, то
- •Решение. Р – мало. Воспользуемся теоремой Пуассона:
- •Задачи для самостоятельного решения
- •§6. Случайные величины. Законы распределения случайных величин. Числовые характеристики
- •Задачи для самостоятельного решения
- •§7. Важнейшие примеры распределений
- •1. Биноминальное распределение
- •2. Нормальный закон распределения
- •3. Распределение Пуассона
- •4. Равномерное распределение вероятностей
- •5. Геометрическое распределение
- •Задачи для самостоятельного решения
- •§8. Системы случайных величин
- •Задачи для самостоятельного решения
§5. Последовательность независимых испытаний (схема Бернулли) Теорема Пуассона. Локальная и интегральная теоремы Муавра – Лапласа
Последовательность независимых испытаний (схема Бернулли)
Испытания называются независимыми относительно события А, если вероятность появления события А в каждом из этих испытаний не зависит от результата, полученного в других испытаниях.
Пусть эксперимент состоит в проведении независимых испытаний, в каждом из которых может произойти некоторое событие А (назовем его “успехом”, тогда соответственно “неуспех”). Вероятность неуспеха равна . В качестве элементарных событий рассмотрим всевозможные произведения (в первом – успех, во втором – неуспех и т.д.).
Например, если производится 3 испытания и в них два успеха, то элементарные события: , . Вероятности всех этих событий равны: , а их число 3. Тогда вероятность события В (произошло 2 успеха в трёх испытаниях) равна .
Рассмотрим общий случай в рамках схемы Бернулли – нахождение вероятности того, что в испытаниях произойдёт ровно успехов . Обозначим эту вероятность . Событию В (произошло успехов в испытаниях) благоприятствуют те элементарные события, в которые входит множителей и множителей ; вероятности событий равны , а их число, как нетрудно видеть, равно числу способов, сколькими можно выбрать элементов из без учёта порядка, т. е. . Согласно определению вероятности
, (1.12)
где . Формулу (1.12) называют формулой Бернулли.
2. Локальная теорема Муавра – Лапласа
Пусть в схеме Бернулли , тогда при ,
где ; . Следовательно, при больших
. (1.13)
Для значений функции составлена таблица (прил. 1).
3. Интегральная теорема Муавра – Лапласа
Пусть в схеме Бернулли - число успехов в испытаниях и .
Тогда при больших
,
где , .
Если обозначить то получаем формулу для вычислений:
. (1.14)
Для значений функции , соответствующих значениям аргумента , имеется таблица (прил. 2). Для отрицательных значения можно получить, воспользовавшись нечётностью этой функции, а при можно считать , т. к. , и Ф(х) – функция возрастающая.
4. Теорема Пуассона Если достаточно велико, а - мало, то
, где (1.15)
В заключение соберём все результаты относительно в следующую схему:
Задача 1. В урне 20 шаров: 15 белых и 5 чёрных. Вынули подряд 5 шаров, причём каждый вынутый шар возвращали в урну, и перед извлечением следующего шары в урне тщательно перемешивались. Найти вероятность того, что из пяти вынутых шаров будет два белых.
Решение. Вероятность появления белого шара в каждом испытании , а вероятность непоявления белого шара . По формуле Бернулли (1.12) находим:
Задача 2. Найти вероятность того, что из 100 независимых выстрелов будет 75 попаданий, если вероятность попадания при одном выстреле равна 0,8.
Решение. Очевидно, мы находимся в рамках схемы Бернулли:
, , . - достаточно велико, воспользуемся формулой (1.13):
.
По таблице (см. прил. 1) находим: Тогда
Задача 3. Вероятность появления события при одном опыте равна 0,3. С какой вероятностью можно утверждать, что частота этого события при 100 опытах будет лежать в пределах от 0,2 до 0,4?
Решение. Для того, чтобы частота лежала в пределах от 0,2 до 0,4 в серии из 100 опытов, число появлений события должно быть не менее 20 и не более 40 .
Воспользуемся интегральной теоремой Муавра–Лапласа, формулой (1.14).
,
где , , .
Следовательно,
,
где значение Ф(2,18) найдено по таблице приложения 2.
.
Следовательно,
.
Задача 4. Аппаратура содержит 2000 элементов, вероятность отказа каждой из них р = 0,0005. Какова вероятность отказа 3-х элементов, если отказы происходят независимо друг от друга?