2.3. Восьмеричная система счисления

В восьмеричной системе используются восемь цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Эта СС употребляется в ВТ как вспомогательная для записи информации в сокращенном виде. При представлении одной цифры восьмеричной системы используется три двоичных разряда – триада. Для восьмеричной системы аналитическое выражение выглядит следующим образом:

, (2.6.)

где коэффициенты принимают значения от 0 до 7.

Восьмеричная система счисления не нужна ЭВМ в отличие от двоичной системы. Она удобна как компактная форма записи чисел и используется пользователями ЭВМ (например, в текстах программ для более короткой и удобной записи двоичных кодов команд, адресов и операндов). В восьмеричной системе счисления вес каждого разряда кратен восьми или одной восьмой. Поэтому восьмиразрядное двоичное число позволяет выразить десятичные величины в пределах 0 ÷ 255, а восьмеричное охватывает диапазон 0 ÷ 99999999 (для двоичной это составляет 27 разрядов).

2.4. Шестнадцатеричная система счисления

В шестнадцатеричной системе для изображения чисел применяются 16 цифр от 0 до 15, при этом вводятся специальные обозначения для цифр, соответствующих числам от 10 до 15. Цифры обозначаются первыми шестью буквами латинского алфавита: 10 – A, 11 – B, 12 – C, 13 – D, 14 – E, 15 – F.

Для шестнадцатеричной системы счисления:

, (2.7.)

где коэффициентами A_i выступают числа от 0 до 15.

Шестнадцатеричная система счисления позволяет еще короче записывать многоразрядные двоичные числа и, кроме того, сокращать запись 4-разрядного двоичного числа, т.е. полубайта, поскольку 16 = 2⁴. Шестнадцатеричная система так же применяется в текстах программ для более короткой и удобной записи двоичных чисел.

2.5. Перевод чисел в систему с кратным основанием

Если основания систем счисления кратны, их можно представить в виде . Каждый символ системы счисления с основанием можно представить символами с основанием и, наоборот, символов системы с основанием S можно представить одним символом системы с основанием .

Пример 2.5. Перевод из двоичной системы счисления в восьмеричную. При переводе многоразрядного двоичного числа в восьмеричную форму поступают следующим образом: Исходное число разбивают на триады. При этом для целой части числа разбиение проводят от местонахождения запятой влево, а для дробной части - от этого же места вправо. Затем самая левая группа при необходимости дополняется незначащими нулями до образования триады, а самая правая группа только в дробной части дополняется нулями справа также до образования полной триады. После этого каждая триада заменяется соответствующей восьмеричной цифрой.

Пример 2.6. Представить двоичное число 1101100,01111101 в форме восьмеричного.

Разобьем исходное число на группы по три цифры, приняв в качестве точки отсчета местоположение запятой (для наглядности между триадами поместим пробелы): 1 101 100 , 011 111 01.

Теперь дополним до трех цифр нулями самую левую группу слева и самую правую группу справа: 001 101 100 , 011 111 010.

И, наконец, заменим каждую триаду соответствующей восьмеричной цифрой: 001 101 100 , 011 111 100 154,372.

Пример 2.7. Перевод из восьмеричной системы в двоичную. При переводе многоразрядного числа каждую цифру исходного восьмеричного числа представить всегда точно тремя двоичными цифрами, взятыми из приведенной выше таблицы. При этом если для записи соответствующей восьмеричной цифры в виде двоичной требуется менее трех двоичных цифр, двоичный эквивалент дополняется слева нулями (незначащие нули не исказят значения числа). Таким образом, например, при записи четырехразрядного восьмеричного числа должно получиться двенадцатиразрядное двоичное. После окончания такого преобразования можно отбросить старшие для всего числа незначащие двоичные цифры.

Отметим, что три цифры принято называть триадой. Поэтому можно сказать, что при описываемом переводе каждая восьмеричная цифра заменяется соответствующей ей триадой двоичных цифр.

Если исходное число дробное, т.е. имеет целую и дробную часть, то в двоичном числе запятая ставится между триадами, представляющими соответствующие цифры исходного числа.

Пример 2.8. Преобразовать восьмеричное число 371,62.

Запишем для каждой цифры соответствующую триаду:

Теперь можно записать число в двоичной форме (для наглядности между триадами поместим пробелы): 371,62 011 111 001, 110 010. Запишем полученное двоичное число, как это принято в математике, без незначащих нулей и отбросив правые нули в дробной части числа:

371,62 11111001,11001

Пример 2.9. Перевод из шестнадцатеричной системы счисления в двоичную. При переводе многоразрядного шестнадцатеричного числа в двоичную форму каждую цифру исходного числа заменяют группой точно из четырех двоичных цифр (заменяют тетрадой двоичных цифр). Местоположение запятой сохраняется по тем же правилам, что и в правиле П1. В окончательной записи можно отбросить самые левые (незначащие) нули и самые правые нули дробной части.

Пример 2.10. Преобразовать шестнадцатеричное число “6C,7D” в двоичную форму.

Для этого запишем для каждой цифры соответствующую тетраду:

6 0110

C 1100

7 0111

D 1101

Теперь можно записать число в двоичной форме (для наглядности между тетрадами поместим пробелы): 6C,7D 0110 1100, 0111 1101. Запишем полученное двоичное число так, как это принято в математике, без незначащих нулей: 6C,7D 1101100,01111101.

Пример 2.11. При переводе многоразрядного двоичного числа в шестнадцатеричную форму поступают следующим образом. Исходное число разбивают на тетрады. При этом для целой части числа разбиение проводят от местонахождения запятой влево, а для дробной части от этого же места вправо. Затем самая левая группа при необходимости дополняется незначащими нулями до образования тетрады, а самая правая группа только в дробной части дополняется нулями справа также до образования полной тетрады. После этого каждая тетрада заменяется соответствующей шестнадцатеричной цифрой.

Пример 2.12. Представить двоичное число 1101100,01111101 в форме шестнадцатеричного.

Разобьем исходное число на группы по четыре цифры, приняв в качестве точки отсчета местоположение запятой (для наглядности между тетрадами поместим пробелы): 110 1100 , 0111 1101.

Теперь дополним до четырех цифр нулями слева самую левую группу: 0110 1100 , 0111 1101.

И, наконец, заменим каждую тетраду соответствующей шестнадцатеричной цифрой: 0110 1100 , 0111 1101 6С,7D.

Пример 2.13. Перевести в двоичную систему счисления:

Пример 2.14. Перевести число 101000101₍₂₎ в десятичную систему счисления: