1.2. Древнеегипетская система счисления

В древнеегипетской системе счисления насчитывается семь знаков, п ередающих разряды чисел. Запись цифр внутри каждого из разрядов производилась простым увеличением количества знаков по принципу простейшего сложения. Например, число "1" передавалось одной чертой (׀), "2"- , соответственно,- двумя (׀׀), "3" - тремя (׀׀׀)...."8" - восемью (׀׀׀׀׀׀׀׀), "9" - девятью (׀׀׀׀׀׀׀׀׀) и т.д. Числа, содержащие несколько разрядов единиц, записывались по такому же принципу; при этом единицы высших разрядов выносились в начало записи.

Цифра	Иероглиф	Что они изображают
1		Черта
10		Путы для скота
100		Веревка
1000		Лист лотоса
10000		Палец
100000		Головастик
1000000		Фигура божества с воздетыми кверху руками и молодым побегом на голове

Рис. 1.3. Пример представления цифр в древнеегипетской системе счисления.

Например, запись числа 1.124.624 выглядела следующим образом:

2. Вавилонская система счисления

Числовая запись у вавилонян возникла в очень отдаленную эпоху. Предполагают, что вавилоняне заимствовали ее у народов, которые жили на территории Вавилонского государства еще до его сформирования. Развитие способов представления чисел в Месопотамской долине вначале шло так же, как и в долине Нила, но затем жители Междуречья ввели совершенно новый принцип. Египтяне того же периода были в состоянии решать только простые линейные уравнения, а вавилоняне времен Хаммурапи (около 1950 г. до н.э.) полностью владели техникой решения квадратных уравнений. Они решали линейные и квадратные уравнения с двумя неизвестными, решали даже задачи, сводящиеся к кубическим и к биквадратным уравнениям. Такие задачи они формулировали только при определенных числовых значениях коэффициентов, но их методы не оставляют никакого сомнения относительно того, что они знали общие правила.

Приведем пример, взятый из одной из глиняных табличек этого периода.

«Площадь А, состоящая из суммы двух квадратов, составляет 1000. Сторона одного из квадратов составляет  стороны другого квадрата, уменьшенные на 10. Каковы стороны квадратов?»

В клинописном тексте решение ограничивается, как и во всех восточных задачах, простым перечислением этапов вычисления, необходимого для решения квадратного уравнения: «Возведи в квадрат 10; это дает 100; вычти 100 из 1000; это дает 900» и т. д.

Вавилоняне делали записи острой палочкой на мягких глиняных табличках, которые затем обжигались на солнце или в печи. Эти записи оказались исключительно долговечными, а потому, в отличие от египетских папирусов, дошедших до нас в весьма малом числе экземпляров, в музеях мира хранятся десятки тысяч клинописных табличек. Однако жесткость материала, на котором жители Месопотамии делали записи, оказала глубокое влияние на развитие числовых обозначений. Через некоторое время после того, как Аккад завоевал шумеров, система счисления в Месопотамии стала шестидесятеричной, хотя сохранилось также и основание 10. Казавшееся правдоподобным предположение относительно того, почему выбор пал на число 60 как на основу вавилонской системы счисления, и утверждавшее, будто это связано с тем, что продолжительность земного года считалась равной 360 дням, не получило подтверждения. Ныне принято считать, что шестидесятеричная система была выбрана из метрологических соображений: число 60 имеет много делителей. Число 60 кратно 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60. Такое обилие делителей у сравнительно небольшого числа упрощало расчеты: из шестидесяти предметов половиной являются тридцать из них, третью – двадцать, четвертой частью – пятнадцать и т.д. Из этих соображений, как полагает Теон Александрийский (конец IV и начало V в.н.э.), и возникла у вавилонян шестидесятеричная система нумерации. Такой же точки зрения придерживался и выдающийся математик XVII века Валлис, позднее к ним присоединился Лефлер.

Д ля малых чисел вавилонская система счисления в основных чертах напоминала египетскую. Одна вертикальная клинообразная черта (в раннешумерских табличках – небольшой полукруг) означала единицу; повторенный нужное число раз, этот знак служил для записи чисел меньше десяти; для обозначения числа 10 вавилоняне, как и египтяне, ввели новый коллективный символ – более широкий клиновидный знак с острием, направленным влево, напоминающий по форме угловую скобку, (в раннешумерских текстах – небольшой кружок).

Для сокращения записи использовался угловой клин, заменявший 10 вертикальных. Угловой клин можно было повторять до 5 раз, а вместо 6 угловых клиньев вновь писался вертикальный, но перед ними. Тем самым наборы от 1 до 9 вертикальных и от 1 до 5 угловых клиньев превращались в цифры (десятичные и шестидесятеричные). Еще один специальный символ (аналог нуля) использовался для указания пропуска пустых разрядов, т.е. для обозначения границы между шестидесятеричными классами, но лишь в тех случаях, когда без него запись числа могла бы стать двусмысленной.

Вавилоняне обожествляли известные им небесные тела: Солнце, Луну, Венеру. Юпитер, Марс, Меркурий, Сатурн. По их количеству возникло исчисление времени семидневными неделями..