Задачи для самостоятельной работы

1. Составьте таблицу, показывающую, как записываются целые числа в различных системах счисления, с основаниями: 10, 2, 3, 8, 16. В таблице запишите натуральные числа, стоящие подряд от 1 до 16, а затем числа 27, 32, 1023, 1024.

2. Решите задачу «найти двузначное число (состоящее из двух цифр), сумма цифр которого в два раза меньше самого числа», в различных системах счисления (по основанию 2, 3, 5, 8, 10, 16.

3. Составьте таблицу, показывающую, как записываются рациональные числа в форме «с фиксированной запятой» в различных системах счисления с основаниями 10, 2, 3, 16. Вычислите и запишите в таблицу следующие величины: 0.1, 0.2, 0.5, 0.15, 0.16, 0.27, 0.32, 0.1023, 0.1024, 1/3, 0.125, 0.0625.

4. Переведите число из шестнадцатеричной системы счисления в двоичную: 1996₁₆, 1А2В₁₆, FFFF₁₆, С87.543₁₆, D00.00E₁₆, 110.101₁₆.

5. Составьте таблицу сложения в восьмеричной системе, вычислив: 0₈+1₈, 1₈+10₈, 2₈+10₈, 3₈+10₈, 4₈+10₈, 5₈+10₈, 6₈+10₈, 7₈+10₈, 1₈+7₈, 2₈+7₈, 3₈+7₈, 4₈+7₈, 5₈+7₈, 6₈+7₈, 7₈+7₈, 2₈+6₈, 3₈+6₈, 4₈+6₈, 5₈+6₈, 6₈+6₈, 3₈+5₈, 4₈+5₈, 5₈+5₈, 4₈+4₈.

6. Составьте таблицу сложения в шестнадцатеричной системе, вычислив 1₁₆+9₁₆, 1₁₆+A₁₆, 1₁₆+B₁₆, 1₁₆+C₁₆, 1₁₆+D₁₆, 1₁₆+E₁₆, 1₁₆+F₁₆, 2₁₆+8₁₆, 2₁₆+9₁₆, 2₁₆+A₁₆, 2₁₆+B₁₆, 2₁₆+C₁₆, 2₁₆+D₁₆, 2₁₆+E₁₆, 3₁₆+7₁₆, 3₁₆+8₁₆, 3₁₆+9₁₆, 3₁₆+A₁₆, 3₁₆+B₁₆, 3₁₆+C₁₆, 3₁₆+D₁₆, 4₁₆+6₁₆, 4₁₆+7₁₆, 4₁₆+8₁₆, 4₁₆+9₁₆, 4₁₆+A₁₆, 4₁₆+B₁₆, 4₁₆+C₁₆, 5₁₆+5₁₆, 5₁₆+6₁₆, 5₁₆+7₁₆, 5₁₆+8₁₆, 5₁₆+9₁₆, 5₁₆+A₁₆, 5₁₆+B₁₆, 6₁₆+4₁₆, 6₁₆+5₁₆, 6₁₆+6₁₆, 6₁₆+7₁₆, 6₁₆+8₁₆, 6₁₆+9₁₆, 6₁₆+A₁₆, 7₁₆+3₁₆, 7₁₆+4₁₆, 7₁₆+5₁₆, 7₁₆+6₁₆, 7₁₆+7₁₆, 7₁₆+8₁₆, 7₁₆+9₁₆, 8₁₆+2₁₆, 8₁₆+3₁₆, 8₁₆+4₁₆, 8₁₆+5₁₆, 8₁₆+6₁₆, 8₁₆+7₁₆, 8₁₆+8₁₆, 9₁₆+1₁₆, 9₁₆+2₁₆, 9₁₆+3₁₆, 9₁₆+4₁₆, 9₁₆+5₁₆, 9₁₆+6₁₆, 9₁₆+7₁₆, 1₁₆+9₁₆, 1₁₆+A₁₆, 1₁₆+B₁₆, 1₁₆+C₁₆, 1₁₆+D₁₆, 1₁₆+E₁₆, 1₁₆+F₁₆

Расположите данные в таблице так, чтобы стали наглядными закономерности изменения результатов сложения.

7. Выполните действия в шестнадцатеричной системе счисления, пользуясь таблицам сложения, полученными в задаче 6 и правилами «сложения в столбик». FFFF₁₆ +1₁₆, 1996₁₆+BABA₁₆, BAC₁₆+BEDA₁₆.

8. Запишите в разных системах счисления с основаниями 2, 3, 5, 8, 16 в точном виде, как число с фиксированной запятой с конечным числом цифр, или в виде периодической дроби результаты следующих арифметических действий: 1/2, 1/3, 1/5, 1/8, 1/16, 2/3, 3/5, 5/8,1/9.

9. Несложную периодическую дробь можно перевести в правильную дробь, поместив в знаменатель период, а в числитель число, полученное из цифр 9, взятых столько раз, сколько имеется цифр в периоде числа.

Например: 0.(3) = 3/9 = 1/3; 0.(15) = 15/99 = 5/33. Тот же принцип верен для любой системы счисления, только вместо цифры 9 необходимо брать «максимальную» цифру системы счисления.

10. Запишите в виде отношения двух натуральных чисел значения следующих периодических дробей, используя для записи сначала туже систему счисления, в которой изображена сама периодическая дробь, затем в десятичной системе счисления. Проверьте, нельзя ли упростить полученную правильную дробь. Исходные числа: 0.(1)₂, 0.(10)₂, 0.(1)₃, 0.(10)₃, 0.(1)₅, 0.(10)₅, 0.(1)₈, 0.(10)₈, 0.(1)₉, 0.(10)₉, 0.(1)₁₆, 0.(10)₁₆, 0.(2)₃, 0.(20)₃, 0.(4)₅, 0.(40)₅, 0.(7)₈, 0.(70)₈, 0.(F)₁₆, 0.(F0)₁₆.

11. Известно правило: чтобы перевести число из двоичной системы счисления в восьмеричную систему, нужно сгруппировать по три цифры, считая от запятой, отделяющей целую часть, и отдельно перевести двоичные числа, полученные из цифр каждой группы, в восьмеричные числа, каждое из которых выражается только одной восьмеричной цифрой. Записанные в том же порядке эти восьмеричные цифры образуют искомую восьмеричную запись числа. Можно ли сформулировать похожее правило для перевода чисел из троичной системы в систему счисления с основанием 9?

12. Из межпланетного путешествия астронавты привезли описание климата, природных условий и внешнего вида жителей планеты Z. Вот это описание: «На планете Z скудная поверхностная растительность почва каменистая. Очень много рек, озер и других водоемов. Растительный и животный мир водоемов очень разнообразен. Жители планеты Z физически очень сильны, но внешне чрезвычайно отличаются от землян. У каждого жителя планеты Z семь беспалых конечностей, каждая из которых заканчивается подобием присоски, тело скорее похоже на шар, поэтому невозможно сказать где верх, а где низ в нашем понятии. На теле есть два глаза».

Сделайте предположение о том, какая может быть система счисления у жителей на планете Z.

13. Используя правила умножения целых чисел в «столбик», Возведите в квадрат шестнадцатеричное число, состоящее из 15 единиц: 111111111111111₁₆, выполняя действия и получая результат в той же системе счисления. Если вы не знаете, как это сделать, возведите в квадрат десятичное число: 111111, выполняя действия в десятичной системе счисления. Решение послужит вам подсказкой к исходной задаче.

14. Имеются ящики: 4 черных, 3 красных, 2 желтых и 1 зеленый (ящики посчитаны в десятичной системе). В каждом черном ящике – (21)_p шара, красном – (23)_p шара, жёлтом – (23)_p шара, зелёном – (111)_p шара. Определить основание p системы счисления, в которой были посчитаны шары, если всего было (244)_p шаров. Чему равно общее число шаров в восьмеричной системе?

15. Числа A = (100)_x и B = (411)_y заданы, соответственно, в системах счисления с основаниями х и y (0 < x, y < 17). Найти x и y, если известно, что в десятичной системе счисления x в 2 раза больше y, а если от B отнять A, то получаем десятичное число 7. Найти А в шестнадцатеричной системе счисления.

16. Преступники украли в банке большую сумму денег. Их поймали, но похищенную сумму установить не удалось. Преступники категорически отказываются назвать ее, утверждая, что украли 1011₂ мешков. А в каждом было по 345_Х + 11101111_Х + 56_Х млн. руб.(основание минимальное для каждого числа). Экспертам удалось узнать основание системы счисления. Но ответить на вопрос, какая сумма была украдена, они не могут.

18. Число х = (176)_p (рассматриваемая в системе счисления с основанием р, 1 < р < 20) делится нацело на 16. Найти р (не перебирая все указанные р). Вычислить х в восьмеричной системе.

19. Какова разрядность двоичной системы счисления, в которой представим лишь диапазон чисел из интервала (–255; 255)?

20. Найти числа, соответствующие понятиям «нуль» и «бесконечность» в n-разрядной системе счисления и сравнить их. Указать эти числа для двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной систем.

21. Сформулировать признаки делимости на 8 (на 11) числа x записанного в системе счисления с основанием p = 12, не переводя эти числа в десятичную систему. Рассмотреть другое значение р.

22. Доказать, что число x = x_nx_n—1...x₁x₀ (в системе счисления с основанием p) кратно числу p – 1 только тогда, когда x_nx_n—1...x₁x₀ кратно числу р – 1.

23. Найти число х, записанное в системе счисления с основанием р, если оно совпадает со своим дополнительным кодом. При каких р это возможно?

24. В факториальной системе счисления целые числа записывают как линейную комбинацию факториалов, например, число 2457 в этой системе:

2457_! = 23! + 42! +51! + 70! (0! = 1, n! = 123...n).

Описать процедуры (формулы) переводов из десятичной системы в факториальную и обратно.

25. Трехзначное десятичное число оканчивается цифрой 3. Если эту цифру переместить на два разряда влево, т.е. с нее будет начинаться запись нового числа, то это новое число будет на единицу больше утроенного исходного числа. Найдите исходное число.

26. Шестизначное десятичное число начинается слева цифрой 1. Если эту цифру перенести с первого места слева на последнее место справа, то значение образованного числа будет втрое больше исходного. Найдите исходное число.

27. Какое из чисел 110011₂, 111₄, 35₈ и 1В₁₆ является: а) наибольшим; б) наименьшим.

28. Существует ли треугольник, длины сторон которого выражаются числами 12₈, 11₁₆ и 11011₂?

29. Какое наибольшее десятичное число можно записать тремя цифрами в двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной системах счисления?

30. В группе 111100₂ девушек и 1100₂ юношей. Сколько студентов в группе?

31. В группе 1000_q студентов, из них 120_q девушек и 110_q юношей. В какой системе счисления велся счет?

32. В саду 100_q фруктовых деревьев, из них 33_q яблони, 22_q груши, 16_q слив и 17_q вишен. В какой системе счисления посчитаны деревья?

33. Было 53_q яблока. После того как каждое из них разрезали пополам, стало 136_q половинок. В системе счисления с каким основанием вели счет?

34. У меня 100 братьев. Младшему 1000 лет, а старшему 1111 лет. Старший учится в 1001 классе. Может ли такое быть?

35. Некогда был пруд, в центре которого рос один лист водяной лилии. Каждый день число таких листьев удваивалось, и на десятый день вся поверхность пруда уже была заполнена листьями лилий. Сколько дней понадобилось, чтобы заполнить листьями половину пруда? Сосчитайте, сколько листьев выросло к десятому дню.

36. Путем подбора степеней числа 2, в сумме дающих заданное число, переведите в двоичную.

37. В кабинете физики имеется набор гирь: 100 г (1 штука), 50 г (1), 20 г (2), 10 г (1), 5 г (1), 2 г (2), 1 г (1). Укажите цифры и ключевые числа (базис) этой системы счисления. Запишите в виде разложения по заданному базису 133 г, 209 г., 86 г. Какие массы задаются числами 1121121, 10101, 1101100 этой системы?

38. Я утверждаю, что «на каждой руке у меня по пять пальцев, на двух ногах – 14 , а всего – у меня 30 пальцев». Может ли быть такое у нормального человека, если я использую, отличную от 10-ичной систему счисления?

39. Известно, что число 222 (р) равно числу 336 (н), найти (р) и (н), если число «н + р» – больший корень уравнения 6*х*х – 127*х + 342 = 0.

40. Вычислить наибольшее и наименьшее 5-разрядное целое число в системе счисления с основанием 4.

41. Запишите в разных системах счисления с основаниями 2, 3, 5, 8, 16 в точном виде, как число с фиксированной запятой с конечным числом цифр, или в виде периодической дроби результаты следующих арифметических действий: ½, 1/3, 1/5, 1/8, 1/16, 2/3, 3/5, 5/8,1/9.

42. Привести пример того, что любой набор двоичных цифр есть изображение числа в двоичной системе, но при этом не любой набор двоичных цифр в двоично-шестнадцатеричной системе есть представление десятичного числа.

43. Привести основные общие (различные) стороны множества чисел (-1;1) в обычной и машинной n-разрядной алгебре (арифметике).

44. Выяснить, в какой системе счисления было выполнено сложение, где * обозначены неизвестные числа (возможно, разные), т.е. найти основание системы счисления р: (33*5*)_p + (1*643)_p = (52424)_p

45. Найти число х, записанное в системе счисления с основанием р, если оно совпадает с его обратным кодом. При каких р возможно решение задачи?

46. Доказать, что mod(x,2)=0, если число х = 17С рассматривается в системе счисления с основанием р, 11 < р < 36. Чем может быть объяснены задаваемые границы на число р (приведите одну убедительную причину)?

47. В факториальной системе счисления целые числа записывают как линейную комбинацию факториалов, например, 2457 = 23! + 42! +51! + 70! (0! =1, n! =123...n).

Записать формулу перевода из факториальной системы в систему десятичную.

48. Определить разность двух чисел А и В: А равно частному от деления максимального 2000- разрядного двоичного числа на число В.

49. На факультете учится 12С(р) человек, из них 64(р) девушки и С8(р) юношей: в какой системе счисления производится подсчёт студентов?

50. Является ли прямоугольным треугольник со сторонами 777 (8), 666(9), 555(10)?

51. Существует ли треугольник, длины сторон которого выражаются числами 12₈, 11₁₆ и 11011₂?

52. Какое наибольшее десятичное число можно записать тремя цифрами в двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной системах счисления?

53. Когда 2*2=100?

54. Когда 6*6=44?

55. Когда 4*4=20?

56. Выпишите целые десятичные числа, принадлежащие следующим числовым промежуткам:

а) [1011012; 1100002]; б) [148; 208]; в) [2816; 3016].

57. В группе 111100₂ девушек и 1100₂ юношей. Сколько учащихся в классе?

58. У меня 100 братьев. Младшему 1000 лет, а старшему 1111 лет. Старший учится в 1001 классе. Может ли такое быть?

59. На далекой планете нашли обрывок математической рукописи

#@+#@+#@=### @$+@$+@$=$$$

Найдите основание системы счисления, которой пользуются на этой планете.

60. Найти и записать закономерность в последовательности А вида: 1,10,11,100,111,1000,1111,100000,… . Рассмотреть отдельно случаи: а) числа заданы в десятичной системе; б) числа заданы двоичной системе.

61. Какое число следует за числом 111 в 4-ричной системе счисления?

62. Для 5 букв латинского алфавита заданы их двоичные коды (для некоторых букв – из двух битов, для некоторых – из трех). Эти коды представлены в таблице:

a	b	e	r	y
111	011	100	01	00

Определить, какой набор букв может быть закодирован двоичной строкой 01111101100.

63. Во сколько раз уменьшится число 12100 в с/с с основанием 3, если справа убрать два нуля?

64. Найти сумму всех натуральных чисел, кратных шести и не превосходящих 200. Результат записать в шестнадцатеричной с/c; в двоичной с/c.

65. Есть только два двузначных числа, каждое из которых равно неполному квадрату разности своих цифр. Найдите эти числа, записав их в семеричной с/с, если известно, что одно число на 11 больше другого. Меньшее число: р7 Большее число: р7. Сходным свойством обладают еще два двузначных числа: каждое равно неполному квадрату суммы своих цифр. Найдите эти числа, записав их в шестнадцатеричной с/с, зная, что одно число на 50 больше другого.

Найти большее и меньшее число в р7.

66. Определить основание системы счисления: 777 777_b + 1 = 1 000 000_b

67. Даны два числа: M = 345012.4, записанное в системе счисления, основание которой является положительным корнем x уравнения 153,4_x – 4₁₀*20.1_x = 61₇; N = 5603.5, записанное в десятичной системе счисления. Требуется в шестнадцатеричной системе счисления найти значение выражения: M₁₆ – N₁₆ .

68. Записать аналитическое выражение для вычисления значений и для двоичных чисел с фиксированной запятой, запись которых возможна в показанных ниже разрядных сетках, где: ЗН – знак; ЦЧ – целая часть числа; ДЧ – дробная часть числа.

ЗН		ЦЧ	,	ДЧ
1		n		m
а)
ЗН		ЦЧ	,	ДЧ
1		n-1 0		–1 –m
б)
ЗН		ЦЧ		ДЧ
0		1 n		n+1 m
в)
ЗН		ЦЧ		ДЧ
n+1		n m		m+1 0

69. Составить полное математическое описание множества чисел, которые могут быть записаны в разрядных сетках задачи 66.

70. Возможно ли в машинном представлении обеспечить работу с множеством чисел с фиксированной запятой, принадлежащих области ? Если возможно, то каким образом это достигается?

71. Составить описание прямого, обратного и дополнительного кодов максимального и минимального двоичного числа, представленного в разрядной сетке знаковым разрядом и тремя разрядами в целой части и двумя в дробной. Укажите значения этих чисел.

72. Составить полное описание множества кодов целых чисел со знаком, использующих четыре цифровых разряда. Числа кодируются прямым, обратным и дополнительным кодами.

73. Определить число разрядов для представления двоичных целых чисел, значения которых лежат в пределах от + 10₁₀ до +100_10.

74. Выполнить операцию сложения машинных кодов целых чисел C и D с фиксированной точкой в 16-ти разрядной сетке. В качестве ответа записать код результата (в 2-й или 16-й системе счисления) и десятичное число, соответствующее этому коду.

Коды чисел в шестнадцатеричной форме: Кс = 01DF Kd = FE16.

75. Выполнить операцию сложения машинных кодов целых чисел C и D с фиксированной точкой в 32-ти разрядной сетке. В качестве ответа записать код результата (в 2-й или 16-й системе счисления) и десятичное число, соответствующее этому коду. Можно использовать простые дроби. Коды чисел в шестнадцатеричной форме: Kc = C2111800; Kd = 42111400.

76. Для 5 букв латинского алфавита заданы их двоичные коды (для некоторых букв – из двух битов, для некоторых – из трех). Эти коды представлены в таблице:

a	b	c	d	e
000	11	01	001	10

Определить, какой набор букв может быть закодирован двоичной строкой 1100000100110 .

77. Для 5 букв латинского алфавита заданы их двоичные коды (для некоторых букв – из двух битов, для некоторых – из трех). Эти коды представлены в таблице:

a	b	e	r	y
111	011	100	01	00

Определить, какой набор букв может быть закодирован двоичной строкой 01111101100.

78. Выполнить операцию сложения машинных кодов двух вещественных чисел C и D с плавающей точкой в 32-х разрядной сетке. В качестве ответа записать код результата (в 2-й или 16-й системе счисления) и соответствующее этому коду десятичное число. Можно использовать простые дроби. Коды чисел в шестнадцатеричной форме: KС = С3103800; KD = 41ЕС0000.

79. Получить все числа, меньшие N, читающиеся одинаково как с начала, так и с конца, как в десятичной, так и в двоичной системах.

80. Выполнить операцию сложения машинных кодов двух целых чисел C и D с фиксированной точкой в 16-ти разрядной сетке. Коды чисел в шестнадцатеричной форме: K_С = FEFC; K_D = FF04. В качестве ответа записать код результата (в 2-й или 16-й системе счисления) и десятичное число, соответствующее этому коду.

81. Выполнить операцию сложения машинных кодов двух целых чисел С и О с фиксированной точкой в 16-ти разрядной сетке. В качестве ответа записать код результата (в 2-й или 16-й системе счисления) и десятичное число, соответствующее этому коду. Коды чисел в шестнадцатеричной форме:

Кс = FЕОО Кd = ООFА .

82. Выполнить операцию сложения машинных кодов двух вещественных чисел С и D с плавающей точкой в 32-ти разрядной сетке. В качестве ответа записать код результата (в 2-й или 16-й системе счисления) и соответствующее этому коду десятичное число. Можно использовать простые дроби. Коды чисел в шестнадцатеричной форме: Кс = 3F400000 Кd = 3F800000.

83. Записать уменьшающийся ряд чисел +3, +2, ..., –3 в однобайтовом формате: а) в прямом коде; б) в обратном коде; в) в дополнительном коде.

84. В начале 20 века при попытке определить методом радиолокации высоту расположения в атмосфере ионизированного (отражающего радиолучи) слоя был обнаружен интересный эффект. Эхо каждого посланного в небо радиосигнала было двойным: один ответный сигнал был отражен от слоя, а происхождение второго было неизвестно, причем интервалы между этими парами сигналов были разными. Записанные последовательности длительностей этих пауз (которые позже были названы сериями Штермера – по фамилии ученого, производившего эксперименты) до сих пор будоражат умы многих исследователей, считающих их посланиями другой цивилизации.

Расшифруйте две приведенные ниже серии Штермера, учитывая, что, по существующей гипотезе, последовательность двоичных представлений чисел-длительностей без учета незначащих нулей представляет собой зашифрованное изображение.

а) 19, 128, 4, 17, 196, 768, 72, 56, 19, 128, 1024, 11, 252, 20480, 98, 118, 54, 10, 4, 42, 71, 138, 16, 69, 48;

б) 7, 28, 68, 4, 47, 1, 30, 33, 400, 30, 35, 46, 5, 17, 74, 19, 39, 7, 17, 124, 5, 25.

85. Какое минимальное количество двоичных разрядов потребуется для того, чтобы закодировать прописные и строчные буквы русского алфавита и арабские цифры?

86. Выпишите целые числа, принадлежащие следующим числовым промежуткам:

a) [101101₂; 110000₂] в двоичной системе;

б) [202₃; 1000₃] в троичной системе;

в) [14₈; 20₈] в восьмеричной системе;

г) [28₁₆; 30₁₆] в шестнадцатеричной системе.

87. Какое число предшествует каждому из данных:

а) 223₃; б) 1000₅; в) 233₄; г) 1001₂.

88. Поставить в соответствие каждой букве в равенстве цифру (разные буквы обозначают разные цифры): ДА^Д = РАД.

89. Два числа 5310 и 11112 пришли однажды в такое место , где валялось много разностей, и стали искать свою. Найди разность этих чисел в десятичной системе счисления.

90. Толя поспорил с Колей, что съест 1112 баночек гуталина, а съел только 1002. Сколько баночек гуталина не смог осилить Толя?

91. В бублике одна дырка, а в кренделе в 102 больше. На сколько меньше дырок в 710 бубликах, чем в 11002 кренделях?

92. Когда хозяин вышел в сад с ружьем, с одной яблони упало 11112 соседа, а с другой на 310 соседа больше. Сколько соседей упало со второй яблони? Ответ представить в 16 и 8-ичной системах.

93. В одной капле воды сидит 117416 микробов, в другой капле микробов сидит в два раза больше, чем в первой, а в третьей – в четыре раза меньше, чем во второй. Сколько микробов засядут в ученом с мировым именем Иннокентий, если он перепутает эти капли с валерьянкой и выпьет их залпом?

94. Сколько дырок окажется в клеенке, если во время обеда 125 раз проткнуть ее вилкой с 4 зубчиками?

95. В комнате веселилось 1425 мух. Петр Петрович открыл форточку и, размахивая полотенцем, выгнал из комнаты 225 мух. Но прежде чем он успел закрыть форточку, 213 мух вернулось обратно. Сколько мух теперь веселится в комнате? Решите эту задачу двумя разными способами.

96. В доме 11002 чашек и 10012 блюдечек. Дети разбили половину чашек и 1112 блюдечек. Сколько чашек осталось без блюдечек?

97. Коля свой дневник с двойками закопал на глубину 1012 метров, а Толя закопал свой дневник на глубину 11002 метров. На сколько метров глубже закопал свой дневник с двойками Толя?

98. Археологи далекого будущего когда-нибудь раскопают 2 окаменевших дневника с большим количеством окаменевших двоек. В Колином дневнике они найдут E016 окаменевших двоек, а в Толином 1/4 числа этих двоек. Сколько всего окаменевших двоек найдут археологи в двух дневниках?

99. В цирке 10103 рядов. В каждом ряду по 4405 мест. Каждый вечер цирк полон и все зрители умирают от смеха. Сколько человек каждый вечер умирает от смеха в цирке?

100. Существует ли система счисления, в которой одновременно

а) 3 + 4 = 10 и 3 · 4 = 15; б) 2 + 3 = 5 и 2 · 3 = 11?

101. Можно  ли найти два числа, идущих подряд, у первого из которых сумма цифр равна 8, а второе  – делится на 8?

102. Какую последнюю цифру имеет произведение всех нечётных чисел от 1 до 99? А от 1 до 199?

103. Отличник Поликарп и двоечник Колька составляли максимальное 5-значное число, которое состоит из различных нечётных цифр. Поликарп своё число составил правильно, а Колька ошибся  – он не заметил в условии слово "различных", и очень радовался, что его число оказалось больше, чем число Поликарпа. Какие числа составили Поликарп и Колька?

105. Одно трехзначное число состоит из различных цифр, следующих в порядке возрастания, а в его названии все слова начинаются с одной и той же буквы. Другое трехзначное число, наоборот, состоит из одинаковых цифр, но в его названии все слова начинаются с разных букв. Какие это числа?

106. Найдите наибольшее шестизначное число, у которого каждая цифра, начиная с третьей, равна сумме двух предыдущих цифр.

107. Отличник Поликарп составил огромное число, выписав подряд натуральные числа от 1 до 500: 123...10111213...499500. Двоечник Колька стёр у этого числа первые 500 цифр. Как вы думаете, с какой цифры начинается оставшееся число?

108. В 100-значном числе 12345678901234...7890, вычеркнули все цифры, стоящие на нечётных местах; в полученном 50-значном числе вновь вычеркнули все цифры, стоящие на нечётных местах, и т.д. Вычёркивание продолжалось до тех пор, пока было что вычёркивать. Какая цифра была вычеркнута последней?

109. Все натуральные числа, начиная с единицы, записаны в порядке возрастания 1234567891011121314…… Какая цифра стоит на сотом месте, а какая на тысячном?

110. На экране компьютера высвечивается число, которое каждую минуту увеличивается на 102. Начальное значение числа 123. Программист Федя имеет возможность в любой момент изменять порядок цифр числа, находящегося на экране. Может ли он добиться того, чтобы число никогда не стало четырёхзначным?  

111. Расставьте по кругу числа 14, 27, 36, 57, 178, 467, 590, 2345 так, чтобы любые два соседних числа имели общую цифру.

112. Подряд выписаны все целые числа от 1 до 100. Сколько раз в этой записи встречаются цифры: а) нуль? б) единица; в)три?

113. Трехзначное число начинается с цифры 4. Если эту цифру перенести в конец числа, то получится число, составляющее 0,75 исходного. Найти исходное число.

114. Девочка заменила каждую букву в своем имени ее номером в русском алфавите. Получилось число 2011533. Как зовут девочку?

115. Одно трехзначное число состоит из различных цифр, следующих в порядке возрастания, а в его названии все слова начинаются с одной и той же буквы. Другое трехзначное число, наоборот, состоит из одинаковых цифр, но в его названии все слова начинаются с разных букв. Какие это числа?

116. Из числа 1234567…5657585960 вычеркнуть 100 цифр так, чтобы оставшееся число было: а) наименьшим; б) наибольшим.

117. Вася задумал три различные цифры, отличные от нуля. Петя записал все возможные двузначные числа, в десятичной записи которых использовались только эти цифры. Сумма записанных чисел равна 231. Найдите цифры, задуманные Васей

118. Девять цифр: 1, 2, 3, ..., 9 выписаны в некотором порядке (так что получилось 9-значное число). Рассмотрим все тройки цифр, идущих подряд, и найдём сумму соответствующих семи трехзначных чисел. Каково наибольшее возможное значение этой суммы?

119. Двузначное число в сумме с числом, записанным теми же цифрами, но в обратном порядке, даёт полный квадрат. Найти все такие числа.

120. Заметим, что если перевернуть лист, на котором написаны цифры, то цифры 0, 1, 8 не изменятся, 6 и 9 поменяются местами, остальные потеряют смысл. Сколько существует девятизначных чисел, которые при переворачивании листа не изменяются?

121. Докажите, что в десятичной записи чисел 1990²⁰⁰³ и 1990²⁰⁰³ + 2²⁰⁰³ одинаковое число цифр.

122. Написано 1992-значное число. Каждое двузначное число, образованное соседними цифрами, делится на 17 или на 23. Последняя цифра числа 1. Какова первая?

123. И сказал Кощей Ивану-Царевичу: «Жить тебе до завтра. Утром явишься пред мои очи, задумаю я три цифры – x, y, z. Назовешь ты мне три числа – a, b, c. Выслушаю я тебя и скажу, чему равно ax + by + cz. Не отгадаешь цифры x, y, z – голову с плеч долой». Запечалился Иван-Царевич, пошёл думу думать. Как ему помочь?

124. Кащей Бессмертный загадывает три двузначных числа: a, b, c. Иван Царевич должен назвать ему три числа: X, Y, Z, после чего Кащей сообщает ему сумму aX + bY + cZ. Царевич должен отгадать задуманные числа, иначе ему отрубят голову. Какие числа он должен загадать, чтобы остаться в живых?

125. Дано число 123456789101112131415...99100. Вычеркнуть 100 цифр так, чтобы оставшееся число было наибольшим.

126. Шесть игральных костей нанизали на спицу так, что каждая может вращаться независимо от остальных (протыкаем через центры противоположных граней). Спицу положили на стол и прочитали число, образованное цифрами на верхних гранях костей.

Докажите, что можно так повернуть кости, чтобы это число делилось на 7. (На гранях стоят цифры от 1 до 6, сумма цифр на противоположных гранях равна 7).

127. Можно ли составить из цифр 2, 3, 4, 9 (каждую цифру можно использовать сколько угодно раз) два числа, одно из которых в 19 раз больше другого?

128. На какое целое число надо умножить 999 999 999, чтобы получить число, состоящее из одних единиц?

129. Можно ли расположить все трёхзначные числа, не оканчивающиеся нулями, в последовательности так, чтобы последняя цифра каждого числа была равна первой цифре следующего за ним?

130. Для каждого трёхзначного числа берём произведение его цифр, а затем эти произведения, вычисленные для всех трёхзначных чисел, складываем. Сколько получится? (Пояснение: берётся произведение всех цифр трёхзначного числа, так что если хотя бы одна из цифр – ноль, то и произведение – ноль).

131. Среди десятизначных чисел каких больше: тех, которые можно представить как произведение двух пятизначных чисел, или тех, которые нельзя так представить?

132. Найти все двузначные числа такие, что при умножении на некоторое целое число получается число, предпоследняя цифра которого – 5.

133. Можно ли выбрать 100 000 номеров телефонов из 6 цифр каждый так, чтобы при одновременном вычеркивании из всех этих номеров k-той цифры (k = 1, 2,...6) получились все пятизначные номера от 00000 до 99999?

134. Какую цифру надо поставить вместо знака «?» в числе 888...88?99...999 (восьмёрка и девятка написаны по 50 раз), чтобы оно делилось на 7?  

135. Как разложить по семи кошелькам 127 рублевых бумажек так, чтобы любую сумму от 1 до 127 рублей можно было бы выдать, не открывая кошельков?

136. Пусть a и b – целые числа. Запишем число b справа от числа a. Если число a чётное, то разделим его на 2, если оно нечётное, то сначала вычтем из него единицу, а потом разделим его на 2. Получившееся число a₁ напишем под числом a. Справа от числа a₁ напишем число 2b. С числом a₁ проделаем ту же операцию, что и с числом a, и, получив число a₂, напишем его под числом a₁. Справа от числа a₂ напишем число 4b и так далее. Этот процесс продолжаем до тех пор, пока не получим в левом столбце число 1. Доказать, что сумма тех чисел правого столбца, слева от которых стоят нечётные числа, равна произведению ab.

137. Для каждого целого неотрицательного числа i определим число M(i) следующим образом: запишем число i в двоичной форме; если число единиц в этой записи четно, то M(i) = 0, а если нечетно – то 1 (первые члены этой последовательности: 0,1,1,0,1,0,0,1, ... ).

а) Рассмотрим конечную последовательность M(0), M(1), ... , M(1000). Докажите, что число членов этой последовательности, равных своему правому соседу, не меньше 320.

б) Рассмотрим конечную последовательность M(0), M(1), ... , M(1000000). Докажите, что число таких членов последовательности, что M(i) = M(i+7), не меньше 450000.

138. Для передачи сообщений по телеграфу каждая буква русского алфавита (Е и Ё отождествлены) представляется в виде пятизначной комбинации из нулей и единиц, соответствующих двоичной записи номера данной буквы в алфавите (нумерация букв начинается с нуля). Например, буква А представляется в виде 00000, буква Б – 00001, буква Ч – 10111, буква Я – 11111. Передача пятизначной комбинации производится по кабелю, содержащему пять проводов. Каждый двоичный разряд передается по отдельному проводу. При приеме сообщения Криптоша перепутал провода, поэтому вместо переданного слова получен набор букв ЭАВЩОЩИ. Найдите переданное слово.

139. Путешественник, сняв в гостинице комнату на неделю, предложил хозяину в уплату цепочку из семи серебряных колец – по кольцу за день, с тем, однако, условием, что будет рассчитываться ежедневно. Хозяин согласился, оговорив со своей стороны, что можно распилить только одно кольцо. Как путешественнику удалось расплатиться с хозяином гостиницы?

140. Миша загадал число не меньше 1 и не больше 1000. Васе разрешено задавать только такие вопросы, на которые Миша может ответить «да» или «нет» (Миша всегда говорит правду). Может ли Вася за 10 вопросов определить загаданное число?

141. Дан мешок сахарного песка, чашечные весы и гирька в 1 г. Можно ли за 10 взвешиваний отмерить 1 кг сахара?

142. С числом разрешается производить две операции: «увеличить в два раза» и «увеличить на 1». За какое наименьшее число операций можно из числа 0 получить: а) число 100; б) число n?

143. Задача Иосифа Флавия. n человек выстраиваются по кругу и нумеруются числами от 1 до n. Затем из них исключается каждый второй до тех пор, пока не останется только один человек. Например, если n = 10, то порядок исключения таков: 2, 4, 6, 8, 10, 3, 7, 1, 9, так что остается номер 5. Для данного n будем обозначать через J(n) номер последнего оставшегося человека. Докажите, что а) J(2n) = 2J(n) - 1; б) J(2n + 1) = 2J(n) + 1; в) если n = (1b_{m - 1}b_{m - 2}...b₁b₀)₂, то J(n) = (b_{m - 1}b_{m - 2}...b₁b₀1)₂.

144. Имеется набор из 20 гирь, с помощью которых можно взвесить любой целый вес от 1 до 1997 г (гири кладутся на одну чашку весов, измеряемый вес –на другую). Каков минимально возможный вес самой тяжелой гири такого набора, если: а) веса гирь набора все целые; б) веса не обязательно целые?

145. Летела стая гусей. На каждом озере садилась половина гусей и еще полгуся. Остальные летели дальше. Все гуси сели на n озерах. Сколько всего гусей было в стае?

146. На доске выписаны числа 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128. Разрешается стереть любые два числа и вместо них выписать их разность - неотрицательное число. После семи таких операций на доске будет только одно число. Может ли оно равняться 97?

147. На доске выписаны числа 1, 2¹, 2², 2³, ..., 2¹⁰. Разрешается стереть любые два числа и вместо них выписать их разность - неотрицательное число. После нескольких таких операций на доске будет только одно число. Чему оно может быть равно?

148. Пусть представление числа n в двоичной системе выглядит следующим образом: n = 2^e₁ + 2^e₂ +...+ 2^e_r  (e₁ > e₂ >...> e_r 0).

Докажите, что n! делится на 2^{n - r}, но не делится на 2^{n - r + 1}.

149. Последовательность Морса. Бесконечная последовательность из нулей и единиц 0110 1001 1001 0110 1001... построена по следующему правилу. Сначала написан нуль. Затем делается бесконечное количество шагов. На каждом шаге к уже написанному куску последовательности приписывается новый кусок той же длины, получаемый из него заменой всех нулей единицами, а единиц – нулями.

а) Какая цифра стоит на 2001 месте?

б) Будет ли эта последовательность, начиная с некоторого места, периодической?

в) Докажите, что данная последовательность переходит в себя при замене каждого нуля на комбинацию 01, а каждой единицы — на комбинацию 10.

г) Докажите, что ни одно конечно слово из нулей и единиц не встречается в последовательности Морса три раза подряд.

150. Опишите все системы счисления, в которых число делится на 2 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 2. Решите задачу, заменив модуль 2 произвольным натуральным числом m > 1.

151. Найдите наименьшее основание системы счисления, в которой одновременно имеют место следующие признаки делимости: 1) число делится на 5 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 5; 2) число делится на 7 тогда и только тогда, когда число, составленное из двух его последних цифр, делится на 7.

152. Один человек задумал 10 натуральных чисел – x₁, x₂, ... , x₁₀. Другой отгадывает их. Разрешается задавать вопросы вида: «чему равна сумма a₁x₁ + a₂x₂ + ... + a₁₀x₁₀ ?», где a₁, a₂, ... , a₁₀ – некоторые натуральные числа. Как за 2 вопроса узнать все загаданные числа?

153. Один школьный учитель заявил, что у него в классе 100 детей, из них 24 мальчика и 32 девочки. Какой системой счисления он пользовался?

154. С числом разрешается производить две операции: «увеличить в два раза» и «увеличить на 1». За какое наименьшее число операций можно из числа 0 получить: а) число 100; б) число n?

155. Число 127, 45 перевели из десятичной системы счисления в восьмеричную систему счисления. Найдите 1998 цифру после запятой.

156. Сумму восьмеричных чисел 17 + 1700 + 170000 + …..+ 1700 000000 перевели в шестнадцатеричную систему счисления. Найдите в записи числа, равного этой сумме, пятую цифру слева.

157. Пусть Z, YZ, XYZ – целые положительные числа в шестнадцатеричной системе счисления (соответственно, однозначное, двузначное и трехзначное). Здесь буквами X, Y, Z обозначены неизвестные цифры этих чисел, причем каждой букве соответствует одно и то же цифровое значение, а различным буквам – различные цифры. Известно, что сумма этих чисел равна трехзначному числу YYX. Найти эти числа. В ответе записать все возможные решения в шестнадцатеричной системе счисления.

158. Определить, в каких системах счисления с основанием не большим 10, выполняется равенство А + В = С, где А, В, С – целые числа, меньшие 1000. В ответе указать меньшее основание или сообщить, что такой системы счисления не существует.

159. Задано основание системы счисления К (2 ≤ K ≤ 109), в которой любит подавать декларацию о доходах в Центральный избирательный комитет некий кандидат в депутаты. Требуется найти все числа Q, для которых в этой системе счисления справедлив следующий признак делимости: «Если сумма цифр числа делится на Q, то и само число делится на Q». Рассматриваются лишь нетривиальные делители, то есть Q>1.

160. Составить таблицу, показывающую, как записываются целые числа в различных системах счисления, с основаниями 10, 2, 3, 8, 16. В таблице показать натуральные числа, стоящие подряд от 1 до 16, затем числа 27, 32, 1023, 1024.

161. Отметьте и последовательно соедините на координатной плоскости точки, координаты которых записаны в двоичной системе счисления. 1(101,101), 2(1000,1000), 3(1001,1000), 4(1011,110), 5(1100,110), 6(1100,111), 7(1011,111), 8(1011,10), 9(1001,10), 10(1001,11), 11(1010,11), 12(1010,100), 13(111,100), 14(111,10), 15(101,10), 16(101,11), 17(110,11), 18(110,1001), 19(111,1001), 20(111,1000), 21(10,1000), 22(10,1001), 23(11,1001), 24(11,110), 25(100,101).

162. Запишите наибольшее двузначное число и определите его десятичный эквивалент для следующих систем счисления: а) восьмеричной системы счисления; б) пятеричной системы счисления; в) троичной системы счисления; г) двоичной системы счисления.

163. Запишите наименьшее трехзначное число и определите его десятичный эквивалент для следующих систем счисления: а) восьмеричной системы счисления; б) пятеричной системы счисления; в) троичной системы счисления; г) двоичной системы счисления.

164. Запишите в двоичной системе целые числа, принадлежащие числовому промежутку [101101;110000].

165. Какое число предшествует каждому из данных: а)10001; 6)1000. Ответ для каждого числа запишите в двоичной и десятичной системах счисления.

166. Определите запись в десятичной системе счисления чисел 11010111, 0176 и 0*99, заданных соответственно в двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной системах счисления.

167. Определите запись в десятичной системе счисления чисел 100101010, 0201 и 0*A0, заданных соответственно в двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной системах счисления.

168. Определите запись в десятичной системе счисления чисел 111110101, 0143 и 0*12C, заданных соответственно в двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной системах счисления.

169. Определите запись в десятичной системе счисления чисел 100010101, 0355 и 0*2AA, заданных соответственно в двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной системах счисления.

170. Определите запись в десятичной системе счисления чисел 1010101011, 065 и 0*EE, заданных соответственно в двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной системах счисления.

171. Определите запись в десятичной системе счисления чисел 110100010, 0246 и 0*F4, заданных соответственно в двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной системах счисления.

172. Определите запись в десятичной системе счисления чисел 1110111011, 076 и 0*2BB, заданных соответственно в двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной системах счисления.

173. Определите запись в десятичной системе счисления чисел 111111000, 0333 и 0*2DF, заданных соответственно в двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной системах счисления.

174. Десятичное число перевели в системы счисления с основанием X и Y . При этом известно, что 56 X = 63 Y . Определить данное число и основания систем счисления Х и Y .

175. Вычислите значение выражения 1010₁₀ + (106₁₆ – 11011101₂)*12 ₈.

Ответ представить в 16-ой системе счисления.

176. Найти и записать закономерность в последовательности А вида: 1, 10, 11, 100, 111, 1000, 1111, 10000, ... . Рассмотреть отдельно случаи: а) числа заданы в десятичной системе; б) числа заданы в двоичной системе.

177. Выполните умножение чисел 1101₂ и 101₂ (это запись чисел 13 и 5 в двоичной системе счисления).

178. Выполнить сложение в модифицированном коде:

а) 0,101001+0,011011 г) 0,100001+0,011111,

б) 0,101011+0,010011 д) 0,101010+0,000111,

в) 0,110011+0,001111 е) 0,101110+0,010111,

ж) 0,100100+0,111011.

179. Выполнить сложение, используя в каждом случае дополнительный и обратный модифицированные коды:

а) 0,110001+(0,001011); г) (0,100111)+0,001001;

б) (0,010111)+(0,000001); д) (0,101010)+(0,011011);

в) (0,001010)+(0,011011); е) (0,011101)+(0,001010);

ж) (0,100101)+ (0,010111).

180. Выполнить вычитание, используя в каждом случае дополнительный и обратный модифицированные коды:

а) 0,1010110,001111, г) (0,101111) 0,101011,

б) 0,1110110,101110, д) 0,1001100,011000.

в) 0,1110110,110101, е) 0,1011100,010111,

ж) 0,1000010,001110.

181. Выполнить умножение двух чисел х и у в прямом коде:

а) х = 0,1101 д) х = 1,1011;

у = 0.0101; у = 0,1101;

б) х = 0,1110 е) х = 1,0010;

у = 1,0011 у = 1,1111;

в) х = 0,1000 ж) х = 0,0110;

у = 1.1010; у = 1,1001.

г) х = 1,0111

у = 1,1011;

182. Выполнить деление двух чисел х и у без восстановления остатка. Вычисления производить до получения 6 двоичных разрядов:

а) х = 0,10011; г) х = 0,011111

у = 0,11001; у = 0,101111;

б) х = 0,001011; д) х = 0,010000;

у = 0,111011; у = 0,101100;

в) х = 0,100011; е) х = 0,001011

у = 0,101001; у = 0,111111;

ж) х = 0,011001;

у = 0,111111.

183. При каких условиях правильная десятичная дробь может иметь точный двоичный эквивалент?

184. Имеет ли правильная двоичная дробь точный десятичный эквивалент и при каких условиях?

185. Каковы признаки переполнения для положительных и отрицательных чисел, записанных в модифицированных кодах?

186. Исходя из того, что объем оборудования для представления чисел в зависимости от основания системы счисления можно характеризовать произведением числа разрядов п на основании используемой системы счисления p, т. е. величиной цифроразрядов p-n, показать, какая система счисления окажется наиболее экономичной, если при выбираемых p и n требуется оперировать с п разрядными числами.

187. Перевод дробей в общем случае представляет бесконечный процесс, и поэтому он может быть осуществлен лишь приближенно. Число цифр в представлении q-ичного числа определяется из условия, что точность числа в q-ичной системе счисления должна соответствовать точности числа в исходной s-ичной системе счисления. Такое условие может быть записано в виде равенства

где n_p и n_q – количество цифр в изображении s-ичного и q-ичного числа.

Для уменьшения погрешности перевода в получаемом q-ичном изображении числа проводят округление по последнему разряду, используя правила, применяемые в десятичной системе счисления. В соответствие с изложенным определите необходимое число двоичных разрядов при переводе числа 0,31 десятичной системы счисления в двоичную систему счисления.

188. Сколько всего байт необходимо для запоминания одного экрана в памяти ЭВМ, если каждая точка может быть одного из 8 (16, 32, 200, 2ⁿ) различных цветов. Каждый цвет кодируется одним байтом, а экран дисплея может вмещать 1024*640 точек?

189. Найти и записать словесно и формульно закон формирования чисел в последовательностях: а) 10, 11, 100, 121, 1000, 1331,...; б) 1, 3, 15, 105, 945, ...

190. Найдите частное от деления числа 10010₂ на 11₂ (в десятичной системе счисления это деление числа 18 на 3).

191. Числа A=(100)_x и B=(411)_y заданы, соответственно, в системах счисления с основаниями х и y (0 < x, y < 17). Найти x и y, если известно, что в десятичной системе счисления x в 2 раза больше y, а если от B отнять A, то получаем десятичное число 7. Найти А в шестнадцатеричной системе счисления.

192. Число х = (176)_p (рассматриваемая в системе счисления с основанием р, 1 < р < 20) делится нацело на 7. Найти р (не перебирая все указанные р). Вычислить х в восьмеричной системе.

193. Какова разрядность двоичной системы счисления, в которой представим лишь диапазон чисел из интервала (–255; 255)?

194. Найти числа, соответствующие понятиям "нуль" и "бесконечность" в n-разрядной системе счисления и сравнить их. Указать эти числа для двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной систем.

195. Сформулировать какие–то признаки делимости на 8 (на 11) числа x записанного в системе счисления с основанием p = 12, не переводя эти числа в десятичную систему. Рассмотреть другое значение р.

196. Доказать, что число x = x_nx_n≈1...x₁x₀ (в системе счисления с основанием p) кратно числу p ≈ 1 только тогда, когда x_nx_n≈1...x₁x₀ кратно числу р ≈ 1.

197. Найти число х, записанное в системе счисления с основанием р, если оно совпадает со своим дополнительным кодом. При каких р это возможно?

198. Запишите числа 13₁₀, 17₁₀, –31₁₀ в формате целых чисел в восьмиразрядную ячейку памяти, изобразив ее схематически.

199. Записать в формате с фиксированной между шестым и седьмым разрядами запятой числа –13.75₁₀ и 16.34₁₀ в тринадцатиразрядную ячейку памяти.

200. Записать в формате с плавающей запятой числа 90₁₀, 6.25₁₀, –0.0023₁₀, если в тринадцатиразрядной ячейке памяти знак числа и знак порядка записываются, соответственно, в нулевой и первый старшие разряды ячейки, мантисса записывается в разряды 2 – 8, порядок ≈ в разряды 9 – 12.

201. Некоторая трехадресная ЭВМ имеет, например, команды вида: 01– сложить содержимое адресов 1 и 2 и результат поместить в адрес 3; 02 – переслать содержимое адреса 3 в адрес 2; 03 – обнулить содержимое адреса 1; 04 – сравнить содержимое адресов 1 и 2 и, если они равны, перейти к выполнению команды, извлекаемой из ячейки, номер которой указан в адресе 3. Расшифровав команды ЭВМ, определить результат выполнения программы приведенной ниже, если ячейки 100,101,102 содержат, соответственно, числа 5,10,20. Программа: 01100102103, 02101104103, 01104101104, 03101103102, 04101103104.

202. Какой минимально разрядности должна быть ячейка памяти у условной двухадресной ЭВМ, если ее память однородна и ЭВМ имеет набор из 50 различных операций и 4 мегабайт памяти; адресуется только машинное слово из двух байт?

203. Спроектировать память условной трехадресной ЭВМ фон-Неймана (найти минимально достаточную разрядность, определить структуру ячейки ОЗУ и регистров, сделать рисунок), если ячейки и все регистры ЭВМ – одинаковой длины (память ЭВМ – однородна), ЭВМ реализует n различных машинных операций, ОЗУ ЭВМ равно 2^m Мегабайт, а адресуется всегда слово из двух байт (три адреса – для двух операндов и результата операции).

204. Какое максимальное положительное и минимальное отрицательное число можно записать в 32-разрядную ячейку памяти?

205. Какой минимальной разрядности должна быть ячейка памяти у условной трехадресной ЭВМ с однородной памятью, если она имеет набор из 50 различных команд и 2 мегабайта адресуемой памяти, а адресуется байт.

206. Какова максимальная память (ОЗУ) ЭВМ, если ее разрядность равна восьми, число выполняемых команд – не более ста, адресность всех типов команд равна двум? Привести подтверждающие краткие расчеты.

207. Возможен ли теоретически процессор ЭВМ фон-Неймановского типа с быстродействием 10¹⁶ операций в секунду и вмещающийся в квадратную микросхему не более 1 кв. см?

208. Укажите содержимое ячеек 100, 101, 102, 103, 104 после выполнения команд трехадресной условной ЭВМ, если она имеет следующие команды: 01 – сложить содержимое ячеек, указанных в адресах первого и второго операнда и результат поместить в ячейку адреса номер 3; 02 – обнулить содержимое ячейки первого адреса; 03 – если равны содержимое ячеек первого и второго адресов, то закончить программу, безусловно, а если они не равны, то перейти к следующей команде; 04 – переслать число из ячейки, номер которой указан в первом адресе, в ячейку по второму адресу. В начале выполнения программы, ячейка номер 100 содержит число 5. Программа имеет вид: 04100101101, 01101100100, 02104101101, 01104104104, 04104103103, 01101103103, 03104103103, 01101103102 .

209. Как-то раз землянин Гедеван Александрович – прославленный скрипач – решил посетить места былой славы в галактике Кин-Дза-Дза. Захотелось ему встретиться со старыми друзьями – пацаком Би и чатланином Уэфом, вновь вдохнуть запах кактусов на Альфе, проверить, жив ли еще ПЖ и не завезли ли воздух на Ханут. Он основательно подготовился к путешествию – раздобыл машинку перемещения и заказал на спичечной фабрике двадцать ящиков КЦ. Как известно, спички в галактике Кин-Дза-Дза ценятся очень хорошо, и по тамошним меркам Гедеван вез с собой огромное состояние – стоимость этих ящиков КЦ равнялась многим миллиардам чатлов. Путешествие прошло отлично. Гедеван насладился отменными видами Плюка, покатался на пепелаце, выпил лутца в компании знакомых эцилоппов. ПЖ был жив, и Гедеван был счастлив. Наконец пришло время возвращаться домой. Гедеван тепло распрощался с друзьями и знакомыми, и уже было готов был отправиться в обратную дорогу, но тут он вдруг обнаружил страшное – его машинка перемещения исчезла! Видимо, какой-то нечистый на руку эцилопп подло воспользовался добротой скрипача и присвоил ее себе на память. Теперь Гедеван не мог вернуться на Землю… Одно могло спасти землянина – гравицаппа. Ведь, как известно, пепелац с гравицаппой может доставить вас в любую точку Вселенной! Недолго думая, Гедеван отправился в магазин запчастей за гравицаппой, благо пара ящиков КЦ у него еще осталось. Совсем не мало, если учесть, что в переводе на плюканские деньги два ящика КЦ стоили N чатлов (N – десятичное целое число, 1 ≤ N ≤ 10³⁰⁰). В магазине Гедеван без особого труда обнаружил подходящую гравицаппу, но прикрепленный к ней ценник поверг его в шок! На ценнике было нацарапана длиннющая строка из букв и цифр. Постепенно до Гедевана дошло, что это – ничто иное, как цена гравицапы в чатлах, но записанная в плюканской B-ричной системе счисления (2 ≤ B ≤ 36).

"Нет, вы только посмотрите, до чего довел планету этот фигляр ПЖ!" – пробурчал Гедеван себе под нос, и принялся размышлять, хватит ли ему его КЦ, чтобы купить гравицаппу и попасть домой… Его не оставляла надежда, что он все-таки не только сможет купить гравицаппу, но у него еще останется X чатлов (X – B-ричное число), чтобы купить немного лутца в дорогу.

Ваша задача – определить, покроет ли стоимость его КЦ расходы на гравицаппу и если да, то сколько чатлов (в плюканской системе счисления) у него останется после покупки агрегата.

210. Чему равна в семеричной системе счисления сумма чисел 101₂+101₈+101₁o+101₁₆.

211. Последовательно выписаны целые числа, обладающие некоторым общим свойством: 45, 95,255,495,1215,1695,... Опишите это общее свойство. Появится ли в этой последовательности число 4415?

212. Переведите целое десятичное число А₁₀=1000 в шестнадцатеричную систему счисления по схеме А₁₀→А₂→A_16. Выберите верный путь:

1) 1000₁₀ =1111101000₂=3E8₁₆

2) 1000₁₀ =1111011000₂=3А8₁₆

3) 1000₁₀ =1110101000₂=3А8₁₆

4) 1000₁₀ =1110101000₂=3Е8₁₆

213. Переведите правильную дробь А₁₀ = 0,0202 из десятичной системы счисления в двоичную. Ответ запишите с точностью до 8 знаков.

1) 0,0202₁₀ = 0,00000101₂

2) 0,0202₁₀ = 0,00001001₂

3) 0,0202₁₀ = 0,00010101₂

4) 0,0202₁₀ = 0,00010011₂

214. Какое минимальное основание имеет система счисления, если в ней записаны числа 127, 222, 111? Определите десятичный эквивалент данных чисел в найденной системе счисления.

215. Выпишите целые десятичные числа, принадлежащие следующим числовым промежуткам: а) [101101₂; 110000₂]; б) [14₈; 20₈]; в) [28₁₆; 30₁₆]. 

216. Фокусник отгадывает задуманное число по спичкам. Загадавший должен в уме делить задуманное число пополам, полученную половину опять пополам и т.д. (для нечетных чисел берется целая часть от деления), и при каждом делении класть перед собой спичку, направленную вдоль, если делится число четное, и поперек, если нечетное. По полученной фигуре фокусник всегда безошибочно отгадывает число. Как он это делает?

217. Какое максимальное число можно записать в двоичной системе счисления с пятью цифрами?

218. Можно ли любое число представить в виде суммы степеней двойки?

219. Какой объем памяти в байтах будет занимать текст этого вопроса в компьютере?

220. В графическом режиме на экране дисплея пиксель можно отображать одним из 1024 цветов. Сколько бит требуется для описания цвета каждого пикмеля, если разрешение экрана составляет 800 х 600 пикселей?

Приложение 2.

Для выполнения арифметических операций в системе счисления с основанием P необходимо иметь соответствующие таблицы сложения и умножения.

+	0	1		´	0	1
0	0	1		0	0	0
1	1	10		1	0	1

 

+	0	1	2	3	4	5	6	7
0	0	1	2	3	4	5	6	7
1	1	2	3	4	5	6	7	10
2	2	3	4	5	6	7	10	11
3	3	4	5	6	7	10	11	12
4	4	5	6	7	10	11	12	13
5	5	6	7	10	11	12	13	14
6	6	7	10	11	12	13	14	15
7	7	10	11	12	13	14	15	16

 

´	0	1	2	3	4	5	6	7
0	0	0	0	0	0	0	0	0
1	0	1	2	3	4	5	6	7
2	0	2	4	6	10	12	14	16
3	0	3	6	11	14	17	22	25
4	0	4	10	14	20	24	30	34
5	0	5	12	17	24	31	36	43
6	0	6	14	22	30	36	44	52
7	0	7	16	25	34	43	52	61

  

+	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	A	B	C	D	E	F
0	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	A	B	C	D	E	F
1	1	2	3	4	5	6	7	8	9	A	B	C	D	E	F	10
2	2	3	4	5	6	7	8	9	A	B	C	D	E	F	10	11
3	3	4	5	6	7	8	9	A	B	C	D	E	F	10	11	12
4	4	5	6	7	8	9	A	B	C	D	E	F	10	11	12	13
5	5	6	7	8	9	A	B	C	D	E	F	10	11	12	13	14
6	6	7	8	9	A	B	C	D	E	F	10	11	12	13	14	15
7	7	8	9	A	B	C	D	E	F	10	11	12	13	14	15	16
8	8	9	A	B	C	D	E	F	10	11	12	13	14	15	16	17
9	9	A	B	C	D	E	F	10	11	12	13	14	15	16	17	18
A	A	B	C	D	E	F	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19
B	B	C	D	E	F	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	1A
C	C	D	E	F	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	1A	1B
D	D	E	F	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	1A	1B	1C
E	E	F	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	1A	1B	1C	1D
F	F	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	1A	1B	1C	1D	1E

 

´	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	A	B	C	D	E	F
0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
1	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	A	B	C	D	E	F
2	0	2	4	6	8	A	C	E	10	12	14	16	18	1A	1C	1E
3	0	3	6	9	C	F	12	15	18	1B	1E	21	24	27	2A	2D
4	0	4	8	C	10	14	18	1C	20	24	28	2C	30	34	38	3C
5	0	5	A	F	14	19	1E	23	28	2D	32	37	3C	41	46	4B
6	0	6	C	12	18	1E	24	2A	30	36	3C	42	48	4E	54	5A
7	0	7	E	15	1C	23	2A	31	38	3F	46	4D	54	5B	62	69
8	0	8	10	18	20	28	30	38	40	48	50	58	60	68	70	78
9	0	9	12	1B	24	2D	36	3F	48	51	5A	63	6C	75	7E	87
A	0	A	14	1E	28	32	3C	46	50	5A	64	6E	78	82	8C	96
B	0	B	16	21	2C	37	42	4D	58	63	6E	79	84	8F	9A	A5
C	0	C	18	24	30	3C	48	54	60	6C	78	84	90	9C	A8	B4
D	0	D	1A	27	34	41	4E	5B	68	75	82	8F	9C	A9	B6	C3
E	0	E	1C	2A	38	46	54	62	70	7E	8C	9A	A8	B6	C4	D2
F	0	F	1E	2D	3C	4B	5A	69	78	87	96	A5	B4	C3	D2	E1