2.1. Представление произвольного числа в позиционной системе счисления

В общем случае произвольное число в позиционной системе счисления (ППС) может быть представлено в виде полинома от основания S:

, (2.1)

где – число в -й системе счисления; – основание СС; – номер разряда (позиции); , – целые положительные числа; и (– ) – номера старшего и младшего разрядов; {0,1,…,( -1)} – коэффициенты, показывающие сколько единиц i-го разряда содержится в числе.

Пример 2.1.. Число 10 (десятичная система) можно представить следующим образом:

10 = 1 * 2³ + 0 * 2² + 1 * 2¹ + 0 * 2⁰ ,

где в качестве коэффициентов a_i стоят цифры 0 и 1, используемые в двоичной системе счисления.

Принято представлять числа в виде соответствующей формуле (2.2.) последовательности цифр:

(2.2.)

В этой последовательности точка отделяет целую часть числа от дробной (в литературе по вычислительной технике и программированию принято отделять целую часть числа от дробной точкой, а не запятой), т.е. коэффициенты при положительных степенях, включая ноль, от коэффициентов при отрицательных степенях. Точка опускается, если нет отрицательных степеней. Таким образом, число десять можно представить как: 1 0 1 0 в двоичной системе счисления.

В позиционных системах счисления значение каждого разряда больше значения соседнего справа разряда в число раз, равное основанию системы (S). Чтобы перевести число , заданное в системе счисления с основанием , в систему счисления с основанием , необходимо представить его в виде (2.1.). Разделив правую и левую части равенства на , получим

(2.3.)

и остаток от деления , который является младшей цифрой числа, записанной в символах -ичной системы счисления. Для получения следующих цифр числа в -ичной системе счисления необходимо равенство (2.3.) снова разделить на и продолжать деление до тех пор, пока частное от деления не окажется равным нулю.

Выражение (2.1) формулирует правило для вычисления числа по его цифрам в -ичной СС. Для уменьшения количества вычислений пользуются схемой Горнера. Она получается поочередным выносом за скобки:

(2.4)

результат вычисления многочлена будет всегда получен в той системе счисления, в которой будут представлены цифры и основание и по правилам которой будут выполнены операции

Схема Горнера применима и для перевода чисел в четверичную, восьмеричную, шестнадцатеричную и т.д. системы счисления. В этом случае необходимо только делить и умножать соответственно на 4, 8, 16 и т.д. Но в целом перевод чисел из одной системы счисления в другую – занятие довольно трудоемкое. И если ЭВМ работает в двоичной системе, а мы задаем исходные данные и получаем результаты в десятичной системе счисления, то нужно проделать большой труд по переводу исходной информации в двоичную систему, а результатов – в десятичную. Естественно было бы поручить такой перевод самой машине. Но машина воспринимает только последовательности из нулей и единиц. Поэтому нужен простой способ записи десятичных чисел с помощью двоичных цифр. Таким простым способом является представление чисел в смешанной – двоично-десятичной системе счисления. В ней для представления любой десятичной цифры отводится четыре разряда. При этом если десятичная цифра требует для своего представления меньше значащих двоичных цифр, то впереди этих цифр дописываются нули.